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(共54张PPT)
湘教版 数学 必修第一 册
课 标 要 求
1.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其解析式.
2.会用三角函数解决简单的实际问题.
3.可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　应用三角函数模型解决问题的一般程序
应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.
(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.
(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.
过关自诊
如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位:米)在某天从0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为　　　　　　.
解析 设h关于t的解析式为h=Asin(ωt+φ),
则有h(0)=0,即sin φ=0,
因此可取φ=0;
重难探究·能力素养速提升
探究点一 由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值)
C
规律方法　给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分,确定A,ω,φ的方法
(1)逐一定参法:先通过图象确定A和ω,再选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”),求得φ的值.
(2)待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.但需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入解析式.
(3)图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象平移规律确定相关的参数.
变式训练1
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(　　)
B
探究点二 三角函数模型在日常生活中的应用
【例2】 已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ).
∴ω≥300π>942,
又ω∈N+,
∴ω的最小正整数值是943.
规律方法　例题中的函数模型已经给出,观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数,从而确定函数解析式.此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言,其中,读图、识图、用图是数形结合的有效途径.
变式训练2
心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位: mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:
(1)求函数p(t)的周期;
(2)求此人每分钟心跳的次数;
(3)求出此人的血压在血压计上的读数.
(3)由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.
探究点三 数据拟合三角函数模型问题
【例3】 已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:米)是时间t(单位:时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5
经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图象.
(1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式;
(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动
(2)因为y>1时,才对冲浪爱好者开放,
又0≤t≤24,
所以0≤t<3或9所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动,
即上午9:00至下午15:00.
变式探究
若将本例(2)中“大于1米”改为“大于1.25米”,结果又如何
即12k-2又0≤t≤24,
所以0≤t<2或10规律方法　处理数据拟合和预测问题的几个步骤:
(1)根据原始数据,绘出散点图;
(2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线;
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.
学以致用·随堂检测促达标
A 级 必备知识基础练
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1.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π)部分图象如图所示,则函数y=f(x)的解析式为(　　)
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2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由
A.s1>s2 B.s1C.s1=s2 D.不能确定
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3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin( x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为(　　)
A.5 B.6
C.8 D.10
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4.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin (0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列时间段中,车流量增加的是(　　)
A.[0,5] B.[5,10]
C.[10,15] D.[15,20]
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5.如图是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移,若|φ|< ,则这个振子振动的函数解析式是　 .
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7.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为s=6sin(2πt+ ).
(1)作出函数的图象.
(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少
(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少
(4)单摆来回摆动一次需多长时间
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解 (1)利用“五点法”可作出其图象,如图.
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B 级 关键能力提升练
8.在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时,则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为(　　)
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9.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在区间[0,π]上的图象大致为(　　)
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12.(多选题)如图所示是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是
(　 　)
A.该质点的运动周期为0.8 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
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解析 由题干图可知, =0.7-0.3=0.4,所以T=0.8;最小值为-5,
所以振幅为5 cm;在0.1 s和0.5 s时,质点到达运动的端点,所以速度为0.
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14.如图为一个观光缆车示意图,该观光缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA所在直线与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设点B与地面距离为h m.
(1)求h与θ间关系的函数解析式;
(2)设从OA开始转动,经过t秒到达OB,求h与t间关系的函数解析式.
C 级 学科素养创新练
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解 (1)由题意可作图如图.过点O作地面平行线ON,
过点B作ON的垂线BM交ON于点M.
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15.为迎接夏季旅游旺季的到来,某景区单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈,景区的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物
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解 (1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),
根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;
由③可知,f(x)在区间[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.
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解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.
因为x∈N+,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10.
即只有6月份、7月份、8月份、9月份、10月份要准备400份以上的食物.

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