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(共49张PPT)
课 标 要 求
1.结合实例,能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义.
2.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数学建模能力.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　平均数
1.若样本容量为n,第i个个体是xi,则样本平均数为　　　　　　　　.
代表一组数据的平均水平
2.分层抽样中,用N表示总体A的个体总数,若将总体A分为L层,用Ni表示第i层(i=1,2,…,L)的个体总数,则有N=N1+N2+…+NL,称　　　　　　　　为第i层的层权.
3.对i=1,2,…,L,用 表示从第i层抽出样本的均值,我们称
　　　　 　　　　　 　是总体均值μ的简单估计.
名师点睛
平均数的特征
(1)样本的平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标,任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,尤其是一组数据中的最大值和最小值.
过关自诊
1.一组数据x1,x2,…,xn的平均数为3,则2x1,2x2,…,2xn的平均数为(　　)
A.3 B.6
C.5 D.2
B
2.分层抽样中,总体共分为2层,第1层的样本量为20,样本平均数为3,第2层的样本量为30,样本平均数为8,则该总体均值的简单估计值为　　　　.
6
知识点二　众数
众数:观测数据中　　　　　　　　　　　　是众数,用Mo表示.
名师点睛
一组数据的众数若存在则一定是观测数据中的数.
过关自诊
一组数据8,-1,0,4, ,4,3的众数是　　　　.
出现次数最多的数
4
知识点三　中位数
中位数:将一组观测数据按从小到大的顺序排列后,我们称
　　　　　　　　　的数是中位数,用Me表示.
当数据的个数是奇数时,　　　　　　　　　　　　就是中位数;当数据的个数是偶数时,则中间　　　　　　　　　即为中位数.
名师点睛
中位数不受数据组中极端值的影响.
处于中间位置
处于中间位置的数
两个数的平均数
过关自诊
已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)
A.平均数>中位数>众数
B.平均数<中位数<众数
C.中位数<众数<平均数
D.众数=中位数=平均数
D
解析 平均数、中位数、众数皆为50,故选D.
重难探究·能力素养速提升
探究点一 平均数的计算
1.给定具体数据的平均数的计算
【例1】 在某项比赛中,七位评委给某位选手打出的分数如下:
90,89,90,95,93,94,93.若计分规则是:去掉一个最高分,去掉一个最低分,然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分,则该选手的最后得分为(　　)
A.90分 B.91分
C.92分 D.93分
C
解析 (方法1)去掉一个最高分95分与一个最低分89分后,
所得的5个得分分别是90,90,93,94,93,
(方法2)去掉一个最高分95分与一个最低分89分后,所得的5个得分分别是90,90,93,94,93,由于所给数字都在90附近,因此可先将数据同时减去90后得0,0,3,4,3,
规律方法　给出一组数据的值求其平均数问题,可以直接利用公式
,当数据较大时,也可以将数据同时减去一个数后求其平均数,但是最后要加上整体所减数字.
2.频率分布直方图中平均数的计算
【例2】 某连锁超市的市场调研部为了解某城市居民是否赞成推广无人超市,随机调查了60人,作出了他们的年龄频率分布直方图(如图所示).根据频率分布直方图估计这60人年龄的平均数为　　　　.
43.5
解析 由频率分布直方图可知这60个人的年龄的平均数为(20×0.015+30×0.015+40×0.025+50×0.02+60×0.015+70×0.01)×10
=43.5,即这60人年龄的平均数估计为43.5.
规律方法　频率分布(表)直方图中平均数计算方法是:每一组的组中值(区间的两端点的平均数)乘以相应的频率求和.
3.分层抽样中总体平均数的计算
【例3】 高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛,高一年级有450人,高二年级有350人,通过分层抽样的方法抽取了160个样本,得到两年级的竞赛平均分分别为80分和90分,则
(1)高一、高二年级抽取的样本量分别为　　　、　　　　.
(2)高一和高二年级数学竞赛的总体平均分约为　　　　分.
90
70
84.375
规律方法　分层抽样中(以2层为例,其余以此类推)由于用第1层的样本平
变式训练1
(1)某班级统计一次数学测试后的成绩,并制成了如下的频率分布表,根据该表估计该班级的数学测试平均分为(　　)
分组 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
人数 5 15 20 10
频率 0.1 0.3 0.4 0.2
A.80 B.81
C.82 D.83
C
(2)从有400人参加的某项运动的达标测试中,通过简单随机抽样抽取50人的成绩统计成如下表格,则这400人成绩的平均数的估计值是　　　　　.
分数 5 4 3 2 1
人数 5 15 20 5 5
3.2
(3)在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时,甲同学抽取了一个容量为10的样本,并算得样本的平均数为5;乙同学抽取了一个容量为8的样本,并算得样本的平均数为6.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本,则合在一起后的样本均值约为　　　　.(结果保留1位小数)
5.4
探究点二 中位数与众数
【例4】 (1)篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表:
得分 8 13 18 22 28 33 37
频数 1 3 4 1 3 1 2
则这15场得分的中位数和众数分别为(　　)
A.22,18 B.18,18
C.22,22 D.20,18
B
解析 根据表中数据可知,得分频率最高的为18,故众数为18,将得分按从小到大顺序排序:8,13,13,13,18,18,18,18,22,28,28,28,33,37,37,排在中间位置的为18,故中位数为18,故选B.
(2)(多选题)某工厂组织员工进行专业技能比赛,下图是7位评委对甲、乙两位员工评分(满分10分)的雷达图.根据图中信息,下列说法正确的是(　　)
A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B.甲得分的众数大于乙得分的众数
C.甲得分的平均数与乙得分的平均数相等
D.甲得分的最高分小于乙得分的最高分
CD
解析 由雷达图可知,甲的得分从小到大排列依次是8.8,9.1,9.3,9.5,9.5,9.7,9.9;乙的得分从小到大排列依次是8.5,8.9,9.4,9.6,9.6,9.8,10.甲得分的中位数为9.5,乙得分的中位数为9.6, 9.5<9.6,故A错误;
甲得分的众数为9.5,乙得分的众数9.6,9.5<9.6,故B错误;
甲得分的最高分为9.9分,乙得分的最高分为10分,故D正确.故选CD.
规律方法　1.根据一组数据的观测数据求中位数的方法是按顺序排列后,最中间一个数或两数的平均数是中位数,众数是在一组数据中出现次数最多的数.
2.根据统计图表中的数据研究中位数、众数、平均数问题,首先要根据统计图表的特征从统计图表中提取数据后求解.
变式训练2
(1)一个样本数据如下:32,23,34,27,42,44,35,27,29,36,则该样本的中位数、众数分别为(　　)
A.33,27 B.33.5,27
C.32,27 D.32.5,27
A
解析 将这些数由小到大排列为23,27,27,29,32,34,35,36,42,44,
(2)某企业在举行的安全知识竞答活动中,随机抽取了30名员工,统计了他们的测试成绩(单位:分),并得到如图所示的统计图,设这30名员工的测试成绩的中位数为m,众数为n,平均数为 ,则(　　)
D
解析 由统计图可知,测试成绩按从高到低的顺序排好后,中间的两个测试成绩为80分,90分,
学以致用·随堂检测促达标
A 级 必备知识基础练
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1.数据:1,1,3,3的众数和中位数分别是(　　)
A.1或3,2 B.3,2
C.1或3,1或3 D.3,3
A
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2.某地区某村的前三年的经济收入分别为100万元,200万元,300万元,其统计数据的中位数为x,平均数为y;经过今年政府新农村建设后,该村经济收入在上年基础上翻番,则在这四年的收入的统计数据中,下列说法正确的是
(　　)
A.中位数为x,平均数为1.5y
B.中位数为1.25x,平均数为y
C.中位数为1.25x,平均数为1.5y
D.中位数为1.5x,平均数为2y
C
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3.(多选题)某射击运动员进行了14次射击训练,统计数据如下表,则(　　)
命中环数 6 7 8 9 10
频数 1 2 4 5 2
A.这组数据的中位数为8.5 B.这组数据的众数为8
C.这组数据的中位数为8 D.这组数据的众数为9
AD
解析 这组数据共有14个,由中位数是按大小顺序排列后的第7位数和第8位数的平均值,即为 =8.5.根据众数的定义可得众数是数据中出现次数最多的数,即为9.故选AD.
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4.从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图,则a的值为　　　　,该市中学生中的全体男生的平均身高的估计值为　　　　 cm.
0.01
172.5
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5.某网络调查机构调查了大量观众对某电影的评分,得到如下统计表:
评分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频率 0.03 0.02 0.02 0.03 0.04 0.05 0.08 0.15 0.21 0.36
观众评分的平均数为　　　　.
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6.某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过1 kg的包裹收费10元;重量超过1 kg的包裹,除1 kg收费10元之外,超过1 kg的部分,每超出1 kg(不足1 kg,按1 kg计算)需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表:
包裹重量/kg 1 2 3 4 5
包裹件数 43 30 15 8 4
估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值.
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解 样本中快递费用及包裹件数如下表:
包裹重量/kg 1 2 3 4 5
快递费/元 10 15 20 25 30
包裹件数 43 30 15 8 4
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B 级 关键能力提升练
A
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8.某单位组织“不忘初心,牢记使命”主题教育知识比赛,满分100分,统计20人的得分情况如图所示,若该20人成绩的中位数为a,平均数为b,众数为c,则下列判断错误的是(　　)
A.a=92 B.b=92
C.c=90 D.b+c<2a
B
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解析 由图可知:
得分 88 90 92 94 96 98 100
人数 4 5 3 4 2 1 1
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9.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据的分布形态有关.如图所示的统计图,记这组数据的众数为M,中位数为N,平均数为P,则(　　)
A.NC.MB
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10.(多选题)已知一组数据10,5,4,2,2,2,x,且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,则x所有可能的取值为(　 　)
A.-11 B.2
C.3 D.17
ACD
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11.某校高一年级有24个班,共1 000名学生,他们参加了一次数学测试.学校统计了所有学生的成绩,得到下列统计图.
(1)求该校高一年级学生本次测试成绩的平均数;
(2)假设随机抽取300名学生,按照比例分配的分层抽样的方法,问男女生各抽取多少样本数.
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解 (1)由题意并结合扇形统计图,可知男生共有1 000×60%=600(名),女生有1 000×40%=400(名).由成绩平均数条形统计图可得,该校高一年级学生本次测试成绩的平均数 =(80×600+82.5×400)÷1 000=81.
(2)随机抽取300名学生,采用按比例分配的分层抽样的方法,
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C 级 学科素养创新练
12.下表是某商家2024年连续20天的营业额(单位:元)与2023年同期对比,结果如下表格.
2023年 2 730 2 800 2 850 2 850 2 870 2 910 2 920 2 940 3 030 3 030
3 030 3 050 3 100 3 110 3 140 3 190 3 250 3 250 3 260 3 290
2024年 2 710 2 730 2 740 2 760 2 820 2 840 2 840 2 850 2 850 2 850
2 870 2 940 2 960 2 970 2 980 2 990 3 010 3 020 3 030 3 040
根据上述数据,对比商家两年的营业额,写出两个统计结论.
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解 由表格可以得到如下结论:(任写其二,答案不唯一)
①2019年该店营业额的平均数为3 030元,大于2020年该店营业额的平均数为2 890元.
②2019年该店营业额的中位数为3 030元,2020年该店营业额的中位数为2 860元.
③2019年该店营业额的众数为3 030元,2020年该店营业额的众数为2 850元.

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