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湘教版 数学 必修第一 册
课 标 要 求
1.能够根据所给具体数据,作出频率分布表,画频率分布直方图.
2.能够利用频率分布直方图估计总体分布的数字特征.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　用频率分布直方图估计总体分布
根据平均数的意义可知,样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和,从而在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.这样我们就可近似估计样本的平均数.
根据中位数的意义可知,在样本中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可估计样本中位数的值.
根据众数的意义可知,可将频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点所对应的数据作为样本众数的估计值.
名师点睛
样本的频率分布直方图与总体的关系
(1)随机抽样得到的样本的频率分布直方图是总体分布的近似.
(2)由抽样的随机性可以想到,如果随机抽取另一个样本,所形成的样本频率分布直方图会与前一个样本的频率分布直方图有所不同.
过关自诊
一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为(　　)
A.10组 B.9组
C.8组 D.7组
B
重难探究·能力素养速提升
探究点一 频率分布直方图的绘制
【例1】 某高校在2024年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下:
分数分段 频数 频率
[160,165) 5 0.05
[165,170) ① 0.35
[170,175) 30 ②
[175,180) 20 0.20
[180,185] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据,并完成如图所示的频率分布直方图;
(2)为了选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试.
解 (1)由题意可知,第2组的频数为0.35×100=35,
频率分布直方图如图所示.
规律方法　绘制频率分布直方图应注意的问题
在绘制出频率分布表后,画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高.一般地,频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的,合理的定高方
变式训练1
为增强市民节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示:
分组(单位:岁) 频数 频率
[20,25) 5 0.05
[25,30) ① 0.20
[30,35) 35 ②
[35,40) 30 0.30
[40,45] 10 0.10
合计 100 1.00
(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据
(2)补全如图所示的频率分布直方图.
解 (1)设年龄在[25,30)岁的频数为x,年龄在[30,35)岁的频率为y.
解得x=20,y=0.35,故①处应填20,②处应填0.35.
(方法2)由题意得5+x+35+30+10=100,
0.05+0.20+y+0.30+0.10=1,
解得x=20,y=0.35,故①处填20,②处填0.35.
(2)由频率分布表知年龄在[25,30)岁的频率是0.20,组距是5,
补全频率分布直方图如图所示.
探究点二 频率分布直方图的应用
1.求频率分布直方图纵坐标中的参数
【例2】 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动,
为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分
学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本
(样本容量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),
[80,90),[90,100]的分组作出如图所示的频率分布直
方图,但由于不慎丢失了部分数据.已知得分在[50,60)
的有8人,在[90,100)的有2人,由此推测频率分布直方图中的x=(　　)
A.0.04 B.0.03
C.0.02 D.0.01
B
解析 得分在[50,60)的有8人,在[90,100)的有2人,
由频率分布直方图的性质可知(0.004+0.010+0.016+x+0.040)×10=1,
解得x=0.03.故选B.
规律方法　由于频率分布直方图中的纵坐标为 ,因此涉及纵坐标中含参数问题,应根据频率之和为1列式求解.
2.根据频率分布直方图求样本数据在某一区间内的频率(数)
【例3】 在某次数学测验后,将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图),则在该次测验中成绩不低于100分的学生人数是
(　　)
A.210 B.205
C.200 D.195
C
解析 由频率分布直方图,得在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率为1-(0.012+0.018+0.030)×10=0.4,则在该次测验中成绩不低于100分的学生人数为500×0.4=200.故选C.
规律方法　根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数要用频率乘以样本容量.
3.根据频率分布直方图求众数、中位数
【例4】 对某小区100户居民的月均用水量进行统计,得到样本的频率分布直方图如图,则估计此样本的众数、中位数分别为(　　)
A.2.25,2.5 B.2.25,2.02
C.2,2.5 D.2.5,2.25
B
解析 众数是指样本中出现频率最高的数,在频率分布直方图中通常取频率最大的组区间的组中值,所以众数为 =2.25,中位数是频率为0.5的分界点,由频率分布直方图可知前4组的频率和为(0.08+0.16+0.30+0.44)×0.5=0.49,因此中位数出现在第5组,设中位数为x,则(x-2)×0.5=0.01,则x=2.02,故选B.
规律方法　1.众数在样本数据的频率分布直方图中,就是最高矩形的底边中点的横坐标.
2.中位数:中位数在频率分布直方图左右两边直方图的面积应相等,也就是累积频率为0.5时对应的样本数据,求解时常借助比例法求解.
变式训练2
某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况,从该年级的1 120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩,发现都在[80,150]内,现将这100名学生的成绩按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130), [130,140),[140,150]分组后,得到的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.频率分布直方图中a的值为0.040
B.样本数据低于130分的频率为0.3
C.总体的中位数(保留1位小数)估计为123.3分
D.总体分布在[90,100)的频数一定与总体分布
在[100,110)的频数相等
C
解析 由频率分布直方图得(0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.030,故A错误;
样本数据低于130分的频率为1-(0.025+0.005)×10=0.7,故B错误;
[80,120)的频率为(0.005+0.010+0.010+0.015)×10=0.4,[120,130)的频率为0.030×10=0.3,
故总体的中位数(保留1位小数)估计为120+ ×10≈123.3(分),故C正确;
样本分布在[90,100)的频数一定与样本分布在[100,110)的频数相等,总体分布在[90,100)的频数不一定与总体分布在[100,110)的频数相等,故D错误.
故选C.
4.根据频率分布直方图求方差
【例5】 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的组中值作代表).
解 质量指标值的样本平均数为
=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
质量指标值的样本方差为
s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
规律方法　根据频率分布直方图求一组数据的方差的方法:先利用组中值乘以频率(即每组矩形的面积)求和得 ,再将平均数减去每组的组中值平方后乘以该组的频率求和.
学以致用·随堂检测促达标
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1.某地一种植物一年生长的高度如下表:
高度/cm [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
棵数 20 30 80 40 30
则该植物一年生长在[30,40)内的频率是(　　)
A.0.80 B.0.65
C.0.40 D.0.25
C
解析 由频率含义可计算其结果.
由频率的定义得80÷(20+30+80+40+30)=0.40.
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2.(多选题)下列说法正确的是(　 　)
A.频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率
B.频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1
C.频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大
D.频数分布直方图中每个长方形的高就是该组的频数
BCD
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3.[2024甘肃庆阳校考学业考试]某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动,选取了n人参与问卷调查,将他们的成绩进行适当分组后,得到如图所示的频率分布直方图,且成绩落在[90,100]内的人数为10,则n=(　　)
A.60 B.80 C.100 D.120
C
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解析 由题图可知,10×(0.006+0.012+0.02+0.032+0.02+m)=1,解得m=0.01,则成绩在[90,100]内的频率为0.1.由0.1n=10,得n=100.故选C.
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4.为了了解某地区10 000名高三男生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17~18岁的高三男生体重(单位:kg),得到频率分布直方图如图.根据图示,请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是(　　)
A.40 B.400
C.4 000 D.4 400
C
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解析 依题意得,该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是
10 000×(0.03+2×0.05+0.07)×2=4 000.
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5.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则汽车时速的众数是　　　　.
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解析 由于最高矩形的底边中点的横坐标是65,因此众数是65.
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6.如表所示给出了在某校500名12岁男孩中,用随机抽样方法得出的120人的身高(单位:cm).
身高分段 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142)
人数 5 8 10 22 33
身高分段 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158]
人数 20 11 6 5
(1)列出样本频率分布表;
(2)画出频率分布直方图.
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解 (1)样本频率分布表如下:
分组 频数 频率
[122,126) 5 0.04
[126,130) 8 0.07
[130,134) 10 0.08
[134,138) 22 0.18
[138,142) 33 0.28
[142,146) 20 0.17
[146,150) 11 0.09
[150,154) 6 0.05
[154,158] 5 0.04
合计 120 1.00
(2)其频率分布直方图如下:

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