资源简介

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湘教版 数学 必修第一 册
课 标 要 求
1.结合实例,理解百分位数的统计含义.
2.能够用样本估计百分位数.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　百分位数
百分位数:百分位数是位于　　　　　　　　　　　　的一组数据中某一个百分位置的数值,以Pr表示,其中r是区间[1,99]上的整数,一个百分位数Pr将总体或样本的全部观测值分为两部分,至少有　　 　　　小于或等于它,且至少有(100-r)%的观测值大于或等于它.当r%=50%时,Pr即对应中位数.
按从小到大的顺序排列
r%的观测值
名师点睛
1.中位数就是P50.
2.按照定义可知,Pr可能不唯一,也正因为如此,各种统计软件所得出的Pr可能会有差异.
3.实际应用中,除了中位数外,经常使用的是P25(又称为第一四分位数)与P75 (又称为第三四分位数).
过关自诊
某班8名学生的体重(单位:kg)分别是:42,48,40,47,43,58,47,45.则这组数据的最大值是　　　　,P50是　　　　,P25是　　　　.
58
46
42.5
解析 将所给数据按从小到大的顺序排列是40,42,43,45,47,47,48,58.
这组数据的最大值是58.
因为这组数据共8个,处于中间位置的是第4个数和第5个数,
重难探究·能力素养速提升
探究点一 根据实际观测值求百分位数
【例1】 从某珍珠公司生产的产品中,任意抽取12颗珍珠,得到它们的质量(单位:g)如下:
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.
(1)分别求出这组数据的P25,P75,P95.
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量.
(3)若用P25,P75,P95把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据,给出该公司珍珠等级的划分标准.
解 (1)将所有数据从小到大排列,得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,
因为共有12个数据,
所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4,
(2)因为共有12个数据,所以12×15%=1.8,则P15是第2个数据,为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个,它们的质量分别为7.8,7.9.
(3)由(1)可知样本数据的P25是8.15 g,P50是8.5 g,P95是9.9 g,所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品,质量大于8.15 g 且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品,质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品,质量大于9.9 g的珍珠为特优品.
规律方法　求百分位数的一般步骤(以计算Pr为例,r是区间[1,99]上的整数)
(1)排序:按照从小到大的顺序排列:x1,x2,…,xn.
(2)计算:c=n×r%;
(3)求值:
分类 Pr
c不是整数 用m表示比c大的最小整数,则所求的Pr是xm
c是整数
变式训练1
某篮球运动员在12场比赛中的得分情况如下:
15,12,20,31,25,36,31,36,44,39,37,49.
求该运动员得分的P25,P75,P90.
解 将该组数据按从小到大的顺序排列为12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49.
因为12×25%=3,12×75%=9,12×90%=10.8,
探究点二 利用频率分布直方图求百分位数
【例2】 某省教育厅为了了解和掌握2023年高考考生的实际答卷情况,随机地取出了100名考生的数学成绩(单位:分),将数据分成了11组,制成了频率分布表如下:
(1)求样本数据的P60,P80.
(2)估计2023年高考考生的数学成绩的P90.
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
解 从频率分布表得,前六组的频率之和为0.01+0.02+0.04+0.14+0.24+0.15=0.60,
前七组的频率之和为0.60+0.12=0.72,
前八组的频率之和为0.72+0.09=0.81,
前九组的频率之和为0.81+0.11=0.92.
(1)由前六组的频率之和为0.60,得样本数据的P60为110,样本数据的P80一定在第八组[115,120)内,
(2)由前八组的频率之和为0.81,前九组的频率之和为0.92,知P90一定在第九组[120,125)内,
规律方法　根据频率分布直方图(表)计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算,其次估计百分位数在哪一组,再按比例求解.
变式训练2
为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,试估计60株树木的P50,P75.
解 由题意知分别落在各区间上的频数为
在[80,90)上有60×0.15=9,
在[90,100)上有60×0.25=15,
在[100,110)上有60×0.3=18,
在[110,120)上有60×0.2=12,
在[120,130]上有60×0.1=6.
从以上数据可知P50一定落在区间[100,110)上,
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1.已知一组数据为4,5,6,7,8,8,则P40是(　　)
A.8 B.7
C.6 D.5
C
解析 因为有6位数,所以6×40%=2.4,所以P40是第三个数6.故选C.
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2.(多选题)下列说法正确的是(　 　)
A.中位数就是P50
B.若一组样本数据各不相等,则其P75>P25
C.若一组样本数据的P10=23,则在这组数据中有10%的数据大于23
D.若一组样本数据的P24=24,则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24
ABD
解析 根据百分位数的定义,可知A,B,D正确;若一组样本数据的P10是23,则在这组数据中有10%的数据小于或等于23,因此C错误.
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3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查,所得样本的频率分布直方图如图.由图可知,这一批电子元件中寿命的P85为(　　)
A.500 B.450
C.350 D.550
A
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解析 电子元件寿命小于500 h的百分比为
100×(0.000 5+0.001 5+0.002 5+0.004)=85%,
则这批电子元件中寿命的P85为500.故选A.
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4.求2,2,3,4,5,6,7,8,9,10的P25为　　　　;P90为　　　　.
3
9.5
解析 因为数据个数为10,而且10×25%=2.5,10×90%=9,
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5.从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图的频率分布直方图.试利用频率分布直方图求这50名学生成绩的P75.
解 由题意可知,前四个小矩形的面积之和为0.6,前五个小矩形的面积之和为0.84>0.75,所以P75位于第五个小矩形内.

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