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第十三章
三角形
八年级数学人教版·上册
13.3.2 三角形的外角
教学目标
1.理解并掌握三角形的外角的概念．
2.能够在复杂图形中找出外角.（难点）
3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和．（重点）
4.会利用三角形的外角性质解决问题.
新课导入
复习引入
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
48 °
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，
它们的和是180 °.
2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,
则∠ACB= ，∠ACD= .
A
B
C
D
50 °
130°
新课导入
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊.已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？∠BCD的度数又是多少？
新课导入
利用“三角形的内角和为180°”来求∠ACB，你会吗？
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
由三角形内角和易得
∠ACB=180°－∠A－∠CBA=70 ° ，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
新知探究
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
一、三角形的外角的概念
新知探究
问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
新知探究
A
B
C
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
新知探究
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
新知探究
F
A
B
C
D
E
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
练一练
新知探究
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
二、三角形的外角的性质
新知探究
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
新知探究
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
新知探究
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
知识要点
推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
新知探究
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
新知探究
例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°
∴ ∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
典例精析
新知探究
例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，
求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角
的性质即可求出∠A的度数．
E
新知探究
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°，
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
新知探究
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
新知探究
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
新知探究
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
新知探究
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；
如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.


图
图
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
新知探究
例3 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
三、三角形的外角和
解法二：过A作AM平行于BC，
∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝ ∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3
= ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM
= 360°.
M
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
结论：三角形的外角和等于360°.
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
D
E
F
新知探究
课堂小结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
课堂小测
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
×
×
×
√
√
√
课堂小测
2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于（ ）
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
课堂小测
3.（1）如图，∠BDC是________的外角,也是 的外角；
（2）若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
A
B
C
D
E
△ADE
△ADC
解：（2）根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE
=45 °+20 °+36 °
=101 °.
课堂小测
解：（1）因为∠ADC是△ABD的外角.
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，
求：（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
（2）在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180 -40 -70 =70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
A
B
C
D
·
课堂小测
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180 ,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180 .
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
能力提升：
课堂小测
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =________.
360°

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