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第二章　圆锥曲线
§1　椭圆
1.1　椭圆及其标准方程
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　椭圆的定义及其应用
1.已知F1,F2分别是椭圆E:=1的左、右焦点,P是椭圆E上一点,若|PF1|=2,则|PF2|=(　　)
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
2.已知点P(x,y)满足方程=6,则点P的轨迹为(　　)
A.圆　　　　　　B.椭圆　　　
C.直线　　　　　D.线段
3.已知a为实数,则“a>5”是“方程=1表示的曲线为椭圆”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知F为椭圆E:=1的右焦点,直线mx-y+m=0与椭圆交于点A,B,则△AFB的周长为(　　)
A.4　　　B.2
5.若椭圆+y2=1上一点A到左焦点F1的距离为2,B为AF1的中点,O是坐标原点,则|OB|的值为(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
题组二　椭圆的标准方程
6.过点(,2),且与椭圆=1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　)
A.=1
C.=1
7.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q,则此椭圆的标准方程是(　　)
A.+x2=1
B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1
D.以上都不对
8.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=,则椭圆C的标准方程为(　　)
A.+y2=1
C.=1
9.已知圆B:(x+2)2+y2=64,点A(2,0),动点C为圆B上任意一点,则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是　　(　　)
A.=1
C.=1
10.已知圆C1:(x+)2+y2=1与圆C2:(x-)2+y2=9相交于A,B两点,若圆C1,C2的圆心为椭圆E的焦点,A,B在椭圆E上,则椭圆E的标准方程为　　　　　　　　.
11.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,且满足|OP|=|OF|,|PF|=4,求椭圆C的标准方程.
题组三　椭圆的方程的应用
12.已知椭圆=1的一个焦点坐标为(0,2),则k的值为(　　)
A.3　　　B.5　　　C.11　　　D.83
13.点P(4cos α,2sin α)(α∈R)与椭圆C:=1的位置关系是(　　)
A.点P在椭圆C上
B.不能确定,与α的取值有关
C.点P在椭圆C内
D.点P在椭圆C外
14.(多选题)已知曲线C:=1,则(　　)
A.当m=8时,C是圆
B.当m=10时,C是焦距为4的椭圆
C.当C是焦点在x轴上的椭圆时,5D.当C是焦点在y轴上的椭圆时,815.已知F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,且|PF2|=|F1F2|,则点P到x轴的距离为(　　)
A.1　　　B.2　　　C.
16.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆C上的一点,且∠F1PF2=,求△F1PF2的面积.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　椭圆的定义的应用
1.已知F1,F2为椭圆=1的两个焦点,P为椭圆上一点,3|PF2|=5|PF1|,则△PF1F2的面积为(　　)
A.　　　　　　B.6
C.8　　　　　　 D.2
2.已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13　　　B.12　　　C.25　　　D.16
已知P为椭圆=1上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点,若
∠F1PF2=60°,则=(　　)
A.　　　B.3　　　C.6　　　D.2
4.已知点A(1,1),F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是椭圆上的动点,则|PA|+|PF1|的最大值和最小值分别为(　　)
A.6+
C.6+2
题组二　椭圆的标准方程及其应用
5.已知椭圆方程为=1(a>b>0),其右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为(　　)
A.=1
C.=1
6.一个动圆与圆C1:x2+(y+3)2=1外切,与圆C2:x2+(y-3)2=81内切,则这个动圆圆心的轨迹方程为(　　)
A.=1
C.=1
7.如图,F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是边长为2的正三角形,则b2的值是　　　　.
8.已知点P是椭圆=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若锐角△F1PF2外接圆的半径为4,则△F1PF2的面积是　　　　.
9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,∠F1PF2=120°,|PF1|=2+.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求点P的坐标.
答案与分层梯度式解析
第二章　圆锥曲线
§1　椭圆
1.1　椭圆及其标准方程
基础过关练
1.C　由椭圆E:=1可知a=3,因为P是椭圆上一点,所以|PF1|+|PF2|=2a=6,而|PF1|=2,所以|PF2|=6-|PF1|=4.故选C.
2.B　设点A(2,0),B(-2,0),则可表示|PA|,可表示|PB|,所以|PA|+|PB|=6,又|AB|=4<6,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.故选B.
3.A　由方程=1表示的曲线为椭圆,得解得a>1且a≠4,因为{a|a>5} {a|a>1且a≠4},所以“a>5”是“方程=1表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.故选A.
4.C　直线mx-y+m=0恒过定点(-1,0),而点(-1,0)恰为椭圆E的左焦点,记F1(-1,0).由椭圆的定义知,△AFB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=|AF|+|AF1|+|BF1|+|BF|=2a+2a=4a=8.故选C.
5.B　由已知得a=3,设椭圆的右焦点为F2,则|AF2|=2a-2=6-2=4,易知OB是△AF1F2的中位线,所以|OB|==2.故选B.
6.D　椭圆=1的焦点为(0,3)和(0,-3),设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则=1.故选D.
7.A　设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则
∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.
8.B　由题可设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),将x=1代入,得=1,解得y=±,
所以结合a>b>0,解得
所以椭圆C的标准方程为+y2=1,故选B.
9.C　由题意得|PA|=|PC|,则|PB|+|PA|=|PB|+|PC|=|BC|=8>|AB|=4,故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,其中a=4,c=2,∴b2=a2-c2=16-4=12,∴点P的轨迹方程是=1,故选C.
10.答案　=1
解析　易得圆C1的圆心为C1(-,0),半径r1=1,圆C2的圆心为C2(,0),半径r2=3,圆C1与圆C2的两个交点分别为(-,-1),不妨令A(-,-1).
由题意可设椭圆E的方程为=1(a>b>0),
则2a=|AC1|+|AC2|=r1+r2=1+3=4,2c=|C1C2|=2,
所以a=2,c=,所以b2=a2-c2=2,
故椭圆E的标准方程为=1.
11.解析　由题意可得,该椭圆的半焦距c=2,设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),右焦点为F1,则F1(2,0),连接PF1,如图.
因为|OP|=|OF|,所以|OP|=|OF1|,
所以PF⊥PF1.
又|PF|=4,|FF1|=4,
所以|PF1|==8,
所以2a=|PF|+|PF1|=12,即a=6,
所以b2=a2-c2=16,
所以椭圆C的标准方程为=1.
12.A　由椭圆=1的一个焦点坐标为(0,2),得椭圆的焦点在y轴上,a2=7,b2=k且c=2,又c2=a2-b2,所以7-k=4,解得k=3.故选A.
13.D　把(4cos α,2sin α)(α∈R)代入椭圆方程的左边,得=4(cos2α+sin2α)=4>1,因此点P在椭圆C外.故选D.
14.AB　对于A,当m=8时,曲线C:x2+y2=3,该曲线为圆,故A正确;对于B,当m=10时,曲线C:+y2=1,该曲线为椭圆且焦距为2=4,故B正确;对于C,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则解得815.C　由椭圆方程=1,知a=3,b=,c=2,则|PF2|=|F1F2|=2c=4,|PF1|=2a-2c=2,
在△PF1F2中,cos∠PF2F1=,
∴sin∠PF2F1=,∴点P到x轴的距离h=|PF2|·sin∠PF2F1=.故选C.
16.解析　因为∠F1PF2=,
所以|PF1|2+=4c2=4×(4-1)=12,
又|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以|PF1|·|PF2|
==2,
所以=1.
能力提升练
B　由椭圆方程=1,得a=4,c=2,故|PF1|+|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=4,又3|PF2|=5|PF1|,所以|PF1|=3,|PF2|=5,所以△PF1F2为直角三角形,
∠PF1F2=90°,所以×3×4=6.故选B.
C　由椭圆的方程知a=5,由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a=10,
∴|MF1|·|MF2|≤=25(当且仅当|MF1|=|MF2|=5时取等号),∴|MF1|·|MF2|的最大值为25.故选C.
3.D　根据椭圆的方程可知a=2,c==1.设||=n,由椭圆的定义和余弦定理得可得mn=4,故=mncos 60°=4×=2.故选D.
4.A　设椭圆的右焦点为F2,把椭圆方程化为标准形式为=1,由已知得|PF1|+|PF2|=2a=6 |PF1|=6-|PF2|,∴|PA|+|PF1|=6-(|PF2|-|PA|).①当|PA|≥|PF2|时,有|PA|-|PF2|≤|AF2|,等号成立时|PA|+|PF1|的值最大,此时P是射线AF2与椭圆的交点,则|PA|+|PF1|的最大值是6+.②当|PA|≤|PF2|时,有|PF2|-|PA|≤|AF2|,等号成立时|PA|+|PF1|的值最小,此时P是射线F2A与椭圆的交点,则|PA|+|PF1|的最小值是6-.故选A.
5.C　设M(1,-1),则kFM=,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,两式相减,得=0,即=0,即a2=3b2,又c=4,a2=b2+c2,所以a2=24,b2=8,故椭圆的方程为=1.故选C.
6.A　设动圆的半径为r,圆心为M,根据题意可知,C1(0,
-3),C2(0,3),|MC1|=1+r,|MC2|=9-r,|C1C2|=3-(-3)=6,|MC1|+|MC2|=1+r+9-r=10>6,故动圆圆心的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,且焦点为C2(0,3)和C1(0,-3),其中2a=10,2c=|C1C2|=6,则a=5,c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16,故动圆圆心的轨迹方程为=1.
7.答案　2
解析　因为△POF2是边长为2的正三角形,所以c=|OF2|=2,点P的坐标为(1,),
又点P在椭圆上,所以=1,①
结合a2=b2+c2,得a2=b2+4,②
联立①②可解得b2=2.
8.答案　
解析　由已知得|F1F2|=2c=2,在锐角△F1PF2中,由正弦定理得=2R(R为△F1PF2外接圆的半径),即=8,
解得sin∠F1PF2=,故∠F1PF2=,
在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosF1PF2=|F1F2|2=48,
因为|PF2|+|PF1|=8,
所以82-3|PF2||PF1|=48,解得|PF2||PF1|=,
所以|PF2||PF1|sin∠F1PF2=.
9.解析　(1)由题及椭圆的定义,得a==2,
在△PF1F2中,-2|PF1|·|PF2|cos 120°=)=15,即4c2=15,得c2=,
∴b2=a2-c2=4-,
故椭圆C的方程为+4y2=1.
(2)设点P的坐标为(m,n),
∵|PF1|>|PF2|,∴m>0.
|PF1||PF2|sin 120°=,
又,
∴,解得n=±,
∵点P在椭圆C上,∴=1,
解得m=(负值舍去),
故点P的坐标为.
2(共19张PPT)
§1 椭圆
知识 清单破
知识点 1 椭圆的定义
知识点 2 椭圆的标准方程及其几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
图形
焦点坐标 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c),
F2(0,c)
范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性 对称轴为x轴、y轴,对称中心为原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 长轴长为2a,短轴长为2b 离心率 e= (0椭圆的通径,其长度为 知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.动点P到两定点A(0,-2),B(0,2)的距离之和为4,则点P的轨迹是椭圆. ( )
忽视了椭圆定义中2a>|F1F2|>0这一条件.
2.椭圆3x2+2y2=1的焦点在x轴上. ( )
该椭圆的标准方程为 + =1,可知其焦点在y轴上.
3.方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)表示的曲线是椭圆. ( )
当m=n>0时,该方程表示的曲线是圆.



提示:忽视了椭圆定义中2a>|F1F2|>0这一条件.
提示
提示
提示
4.椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( )
5.点P(2,1)在椭圆 + =1的内部. ( )
6.两个点可以确定椭圆的标准方程. ( )



提示
提示
提示
椭圆 + =1(a>b>0)中,因为a>c>0,所以0 越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,椭圆越接近于圆.
∵ + >1,∴点P在椭圆的外部.
由椭圆的标准方程可知,椭圆关于x轴,y轴对称,关于原点中心对称,故不关于上述对称的
两个点才能确定椭圆的标准方程.
1.用定义法求椭圆的标准方程
　　根据椭圆的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出椭圆的标准方程.
2.用待定系数法求椭圆的标准方程的一般步骤
(1)定位置:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴上都有可能.
(2)设方程:根据上述判断,设方程为 + =1(a>b>0)或 + =1(a>b>0)或mx2+ny2=1(m>0,n>
0,m≠n).
(3)找关系:根据已知条件建立关于a,b(或m,n)的方程组.
(4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,写出标准方程.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 椭圆的标准方程
3.利用椭圆的几何性质确定椭圆的标准方程
(1)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为 + =k1(k1>0,焦点在x轴上)或
+ =k2(k2>0,焦点在y轴上).
(2)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆方程为 + =1(k典例 已知F1,F2分别是椭圆E:x2+ =1(0点,若|AF1|=3|BF1|,AF2⊥x轴,求椭圆E的方程.
解析 由题意可得,F1(-c,0),F2(c,0).
∵AF2⊥x轴,
∴|AF2|=b2,
∴A点的坐标为(c,b2).
设B点的坐标为(x,y),
则由|AF1|=3|BF1|,得 =3 ,
即(-c-c,0-b2)=3(x+c,y-0),
∴ 解得
∴B点的坐标为 ,将其代入椭圆方程,得 + =1,
又1=b2+c2,
∴b2= ,c2= ,
∴椭圆E的方程为x2+ y2=1.
焦点三角形及其解法
(1)椭圆上异于长轴端点的一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解
关于椭圆的焦点三角形问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识.
(2)焦点三角形的常用公式:
①焦点三角形的周长C=2a+2c.
②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
③设P(xP,yP),则焦点三角形的面积S=c|yP|= |PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan .
④当且仅当点P位于短轴端点时,∠F1PF2最大,此时满足cos∠F1PF2=1-2e2.
讲解分析
疑难 2 椭圆的焦点三角形问题
典例 已知P是椭圆 + =1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=60°.
(1)求△F1PF2的面积;
(2)求点P的坐标;
(3)求 · 的值.
解析 (1)由椭圆方程知a2=25,b2= ,
所以c2= ,则c= ,即2c=5.
在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,
即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|.①
由椭圆的定义知10=|PF1|+|PF2|,所以100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|.②
②-①,得3|PF1||PF2|=75,
所以|PF1||PF2|=25,
所以 = |PF1||PF2|sin 60°= .
(2)设P(x0,y0),则 = |F1F2||y0|,
即 = ×5×|y0|,得|y0|= ,
所以y0=± ,将 代入椭圆方程,得 + =1,
解得 =0,所以x0=0,
所以点P的坐标为 或 .
(3)由(1)可得F1 ,F2 ,
由(2)可得P 或P ,
所以 = , = 或 = , = ,
故 · =- + = .
方法点拨 1.椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;
反之,对椭圆上任意一点M,|MF1|+|MF2|=2a.
2.应用椭圆的定义能对一些长度进行相互转化,从而简化解题过程.因此,解题过程中涉及椭
圆上的点到焦点的距离问题时,应先考虑能否利用椭圆的定义求解.
1.求椭圆的离心率的两种常用方法
(1)易求a,c时,直接用e= 求解;易求b,c时,利用e= 求解;易求a,b时,利用e= =
= 求解.
(2)若a,c的值不可求,则可列出只含a,c的齐次方程,列式时常用 代替式子中的b,然后将
等式两边同时除以a的最高次幂,从而利用e= 将其转化为只含未知数e的方程,解方程即可.
此时要注意02.求椭圆的离心率的取值范围
(1)根据条件建立关于a,b,c的不等式,借助a2=b2+c2将其转化为关于a,c的齐次不等式,再将不等
讲解分析
疑难 3 椭圆的离心率
式两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的不等式,解不等式即可求得e的范围.此时要注意0<
e<1.
(2)解题时常用几何性质结合几何图形得到等量关系或不等关系,这样可以简化运算.
典例 (1)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,且BF⊥BA,则椭圆
C的离心率e的值是　　　 ;
(2)已知椭圆 + =1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,
则椭圆的离心率e的取值范围为　　　 .
解析 (1)根据题意,得A(a,0),B(0,b),F(-c,0),∴ =(a,-b), =(-c,-b).
∵BF⊥BA,∴ · =0,
即(a,-b)·(-c,-b)=0,∴b2=ac,
又∵c2=a2-b2,∴c2-a2+ac=0,等式两边同时除以a2,得 + -1=0,
即e2+e-1=0,
解得e=- (舍去)或e= .
故答案为 .
(2)由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,∴|OP|=c≥b,
即c2≥a2-c2,∴a≤ c,
∵e= ,0基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　由椭圆方程研究其简单几何性质
1.(多选题)已知椭圆C:+y2=1,则下列关于椭圆C的说法正确的是(　　)
A.离心率为
B.焦点坐标为(±2,0)
C.椭圆C上的点到焦点的最短距离为1
D.椭圆C上的点的横坐标的取值范围是[-3,3]
2.椭圆=1与=1(0A.有相等的长轴长　　　　　B.有相等的焦距
C.有相同的焦点　　　　　　D.有相同的顶点
3.在椭圆=1中,A1,A2分别为椭圆的左、右顶点,F1为椭圆的左焦点,M是椭圆上的点,则△MF1A2的面积的最大值为(　　)
A.16　　　B.32　　　C.16
4.若P是椭圆+y2=1上一动点,A(0,3),则|PA|的最大值为　　　　.
5.已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　.
题组二　椭圆的离心率
6.某地的旅游地图如图所示,它的外轮廓线是椭圆,根据图中的数据可得该椭圆的离心率为(　　)
A.
C.
7.比较下列四个椭圆的形状,其中更接近于圆的是(　　)
A.9x2+y2=36　　　　　　B.3x2+4y2=48
C.x2+9y2=36　　　　　　D.5x2+3y2=30
8.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足MF1⊥MF2的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A.
C.
9.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在椭圆C上(点M位于第一象限),且点M,N关于原点O对称,若|MN|=|F1F2|,|MF2|=|NF2|,则椭圆C的离心率为(　　)
A.
10.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P在C上,且|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,则椭圆C的离心率为　　　　.
11.椭圆=1(a>b>0)的中心在原点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A,B分别是椭圆的上顶点和右顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求椭圆的离心率.
题组三　由椭圆的简单几何性质求椭圆的方程
12.F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是10,O为坐标原点,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为(　　)
A.=1
B.=1
C.=1或=1
D.=1或=1
13.已知椭圆E:=1(b>0)的两条弦AB,CD相交于点P(点P在第一象限内),且AB⊥x轴,CD⊥y轴.若|PA|∶|PB|∶|PC|∶|PD|=1∶3∶2∶4,则b=(　　)
A.2　　　B.
14.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积的结论.已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的面积为8π,且椭圆的离心率为,则椭圆C的标准方程是(　　)
A.=1
C.=1
15.已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),A,B为椭圆C的左、右顶点,且|AF|=3|FB|,则椭圆C的方程为　　　　　　.
16.如图,椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,若的最大值是12,求椭圆的方程.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　椭圆的简单几何性质及其应用
1.过点(2,1),焦点在x轴上且与椭圆=1有相同的离心率的椭圆方程为(　　)
A.=1
C.=1
2.椭圆有一个光学性质:从椭圆一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减,椭圆的方程为=1,则光线从椭圆的一个焦点发出,到首次回到该焦点所经过的路程不可能为(　　)
A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8
3.已知水平地面上有一篮球,球的中心为O',在斜平行光线的照射下,篮球的阴影为一椭圆(如图),在平面直角坐标系中,椭圆中心O为原点,椭圆的方程为=1,篮球与地面的接触点为H,则|OH|等于(　　)
A.
C.
4.已知点P在离心率为的椭圆E:=1(a>b>0)上,F是椭圆的一个焦点,M是以PF为直径的圆C1上的动点,N是半径为2的圆C2上的动点,圆C1与圆C2外离且圆心距|C1C2|=,若|MN|的最小值为1,则椭圆E的焦距的取值范围是　(　　)
A.[1,3]　　　　　　B.[2,4]
C.[2,6]　　　　　　D.[3,6]
5.(多选题)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球的半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则(　　)
A.a-c=m+R　　　　　　B.a+c=n+R
C.2a=m+n　　　　　　 D.b=
6.已知点F为椭圆C:=1的右焦点,点P是椭圆C上的动点,点Q是圆M:(x+3)2+y2=1上的动点,则的最小值是(　　)
A.
7.已知P为椭圆=1(a>b>0)上的任意一点,P到焦点的距离的最大值为2+,最小值为2-,则的取值范围是　　　　.
8.已知F是椭圆=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆上,且P到原点O的距离等于半焦距,△POF的面积为6,则b=　　　　.
9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点A(0,1),若点B在椭圆C上,求线段AB长度的最大值.
题组二　求椭圆的离心率的值或取值范围
10.(多选题)已知点F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上的一点(异于左、右顶点),若存在以c为半径的圆内切于△PF1F2,则该椭圆的离心率可能为(　　)
A.
11.已知A,P,Q为椭圆C:=1(a>b>0)上不重合的三点,且P,Q关于原点对称,若kAP·kAQ=-,则椭圆C的离心率为(　　)
A.
12.已知椭圆C:=1(a>b>0),P是椭圆C上的点,F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C的左、右焦点,若≤2ac恒成立,则椭圆C的离心率e的取值范围是(　　)
A.-1]
C.-1,1)
13.设F1,F2分别为椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,且AF1⊥AF2,,则椭圆C的离心率为　　　　.
14.已知椭圆=1(a>b>0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,F为椭圆的右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,求该椭圆的离心率e的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.2　椭圆的简单几何性质
基础过关练
1.BD　由椭圆方程+y2=1,可知a=3,b=1,所以c=2,所以离心率e=,故A错误;易知焦点坐标为(±2,0),故B正确;由椭圆的几何性质,得椭圆上的点到焦点的最短距离为a-c=3-2,故C错误;因为椭圆C的焦点在x轴上,所以椭圆上的点的横坐标的取值范围是[-a,a],即[-3,3],故D正确.故选BD.
2.B　对于椭圆=1,a=5,b=3,c=4,设椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,则F1(-4,0),F2(4,0),长轴长2a=10,焦距2c=8.对于椭圆=4,设椭圆=1(03.A　由题意可知当M为短轴端点时,△MF1A2的面积取得最大值.因为椭圆方程为=1,所以a=5,b=4,c=3,因此△MF1A2的面积的最大值为×8×4=16.故选A.
4.答案　4
解析　令P(x,y),则|PA|=,又x2=4(1-y2),所以|PA|=,又-1≤y≤1,所以当y=-1时,|PA|取得最大值,最大值为4.
5.答案　18
解析　椭圆C:=1的长半轴长a=2,短半轴长b=3,半焦距c=,
由P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,得|OP|=|OQ|,又|OF1|=|OF2|,故四边形PF1QF2为平行四边形,不妨设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,如图,
又|PQ|=|F1F2|,所以 PF1QF2为矩形,
故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=60,
而|PF1|+|PF2|=2a=4,所以四边形PF1QF2的面积S=|PF1||PF2|=[(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|2+|PF2|2)]=18.
6.B　由题意可知2a=25.5,2b=20.4,则c=,所以椭圆的离心率e=.故选B.
7.B　由9x2+y2=36,得=1,a2=36,b2=4,∴c2=32,∴离心率e=;由3x2+4y2=48,得=1,a2=16,b2=12,∴c2=4,∴离心率e=;由x2+9y2=36,得=1,a2=36,b2=4,∴c2=32,∴离心率e=;由5x2+3y2=30,得=1,a2=10,b2=6,∴c2=4,∴离心率e=,且e越接近于0,椭圆就越接近于圆,∴椭圆3x2+4y2=48更接近于圆.故选B.
8.B　由MF1⊥MF2,得M在以F1F2为直径的圆上,此圆的方程为x2+y2=c2,由题知圆在椭圆内部,故c9.B　根据题意可作图如下:
因为|MN|=|F1F2|,线段MN,F1F2互相平分,
所以四边形MF1NF2是矩形,其中∠F1MF2=.
设|MF2|=x,则|MF1|=2a-x,
在Rt△MF1F2中,|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即(2a-x)2+x2=4c2,
整理得x2-2ax+2b2=0,解得x=a±.
由于点M在第一象限,所以x=a-,
由|MF2|=|NF2|,得|MN|=2|MF2|,即2c=2(a-),
又b2=a2-c2,所以c2+2ac-2a2=0,所以-2=0,即e2+2e-2=0,解得e=-1+或e=-1-(舍去).故选B.
10.答案　
解析　因为|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
所以2a=6c e=.
11.解析　如图所示,由已知得A(0,b),B(a,0),F2(c,0),P,
所以=(a,-b).
因为PF2∥AB,
所以-2bc+a·=0,化简得b=2c.
所以a=c,
所以椭圆的离心率e=.
12.C　当焦点在x轴上时,不妨设F,A分别为右焦点与下顶点,如图所示,cos∠OFA=,
由已知得2a=10,所以a=5,c=4,则b2=a2-c2=9,
所以椭圆的标准方程为=1.
同理,当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为=1.
故选C.
13.D　设P(m,n),|PA|=t,则A(m,n+t),B(m,n-3t),C(m+2t,n),D(m-4t,n),
由题意知A,B关于x轴对称,C,D关于y轴对称,
所以n+t+n-3t=0,m+2t+m-4t=0,
即n=t,m=t,所以A(t,2t),C(3t,t),
因为A,C在椭圆E上,所以
即,解得b=(负值舍去).故选D.
14.B　由题意可得
故椭圆C的标准方程为=1,故选B.
15.答案　=1
解析　因为|AF|=a+c,|FB|=a-c,|AF|=3|FB|,
所以a+c=3(a-c),又c=1,所以a=2,
所以b2=a2-c2=3,
所以椭圆C的方程为=1.
16.解析　由题意知A(a,0),F(-c,0).
∵e=,∴a=3c.
设P(x0,y0),则-3c≤x0≤3c.
∵=(a-x0,-y0),
∴=(-c-x0,-y0)·(a-x0,-y0)
=-ac+cx0-ax0+
=-ac+cx0-ax0+
=-(a-c)x0+b2-ac
=-(a-c)x0+a2-c2-ac
=-2cx0+5c2
=(x0-9c)2-4c2,-3c≤x0≤3c.
∴当x0=-3c时,有最大值,且最大值为12c2,∴12c2=12,∴c2=1,∴a2=9,b2=a2-c2=8,
∴椭圆的方程为=1.
能力提升练
1.D　因为所求椭圆的焦点在x轴上且与椭圆=1有相同的离心率,所以可设所求椭圆的方程为=λ(λ>0).由椭圆过点(2,1),可得=λ,解得λ=,故所求椭圆的方程为,即=1.故选D.
2.B　由已知可得a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,所以a=2,c=1.①若光线从椭圆的一个焦点沿x轴方向发出,到长轴端点(较近的)反射后再次回到该焦点,则所经过的路程为2(a-c)=2;②若光线从椭圆的一个焦点沿x轴方向发出,到长轴端点(较远的)反射后再次回到该焦点,则所经过的路程为2(a+c)=6;③若光线从椭圆的一个焦点沿非x轴方向发出,则所经过的路程为4a=8.故选B.
3.答案　B
信息提取　①根据平行光线照射特点可知,|AB|等于椭圆的长轴长,球的直径等于椭圆的短轴长;②椭圆的方程为=1;③三角形O'HO为直角三角形.
数学建模　通过一个关于椭圆与球的实际问题,结合平行光线照射的特点与球的性质建立关于椭圆的方程与性质的数学模型.在平行光线照射过程中,椭圆的短半轴长等于球的半径,球心到椭圆中心的距离等于椭圆的长半轴长,过球心向地面作垂线,垂足即为接触点H,得到一个直角三角形,求|OH|即可.
解析　连接OO',O'H,O'A,O'B.
由椭圆方程可知,椭圆的长轴长为4,短轴长为2.在平行光线照射的过程中,椭圆的短半轴长等于球的半径,所以球的半径为.
因为AA',AB,BB'均与球相切,
所以∠O'AB+∠O'BA=(∠A'AB+∠B'BA)=,
所以∠AO'B=.
又O是AB的中点,故|OO'|=|AB|=2.
在直角三角形O'HO中,|O'H|=,∠O'HO=,
所以|OH|=.故选B.
4.C　因为M是以PF为直径的圆C1上的动点,N是半径为2的圆C2上的动点,圆C1与圆C2外离且圆心距|C1C2|=,|MN|的最小值为1,所以|C1C2|=2+1+,解得|PF|=3,又因为P在椭圆E上,所以a-c≤|PF|≤a+c,因为椭圆E的离心率为,所以a=2c,所以c≤3≤3c,故1≤c≤3,所以2≤2c≤6.
5.ABD　由题意可得(*)
∴a-c=m+R,a+c=n+R,故A,B正确;
由(*)得m+n=2a-2R,即2a=m+n+2R,故C不正确;
由(*)可得∴(m+R)(n+R)=a2-c2,
∵a2-c2=b2,∴b2=(m+R)(n+R),
∴b=,故D正确.
故选ABD.
6.B　如图所示,
由椭圆方程=1,知a=5,b=4,c=3,则F(3,0),
圆M:(x+3)2+y2=1的圆心为M(-3,0),半径r=1,
易知圆心M(-3,0)为椭圆C的左焦点,由椭圆的定义可得|PF|+|PM|=2a=10,∴|PF|=10-|PM|,
由椭圆的几何性质可得a-c≤|PM|≤a+c,即2≤|PM|≤8,
由圆的几何性质可得|PQ|≤|PM|+|QM|=|PM|+1,
所以-1≥,
所以.故选B.
7.答案　[1,+∞)
解析　因为点P到椭圆焦点的距离的最大值为2+,最小值为2-,
所以
所以|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以=1,
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时,等号成立.
所以的取值范围是[1,+∞).
8.答案　2
解析　设P(x,y),则
由②得x2=c2-y2,
代入①式得=1 y2= |y|=.
∴S△POF=|OF|·|y|=b2=6,
∴b2=12,又b>0,∴b=2.
9.解析　(1)依题意,得2c=2,所以c=,离心率e=,所以a=2,
所以b=,
所以椭圆C的标准方程为=1.
(2)设B(x0,y0),y0∈[-],则=1,
所以.
由两点间的距离公式,得|AB|=,
所以当y0=-1,x0=±时,线段AB的长度最大,为.
10.CD　由椭圆的性质可知,×2c×b,∵存在以c为半径的圆内切于△PF1F2,∴c≤×2c×b,∴a+c≤b,
∴(a+c)2≤2b2=2(a2-c2),∴3c2+2ac-a2≤0,∴3e2+2e-1≤0,∴-1≤e≤.又011.A　解法一:设A(x0,y0),P(x1,y1),x0≠±x1,∵P,Q关于原点对称,∴Q(-x1,-y1),则kAP=,∴kAP·kAQ=,∵A,P均在椭圆上,∴=1 =1 -b2·,∴kAP·kAQ=,∴椭圆C的离心率e=.
解法二:不妨令P,Q分别为椭圆的左、右顶点,依据椭圆的第三定义,有kAP·kAQ=-=e2-1,∴椭圆C的离心率e=.
知识拓展　椭圆的第三定义
与两定点A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积为-(a>b>0)或e2-1(012.D　设P(x0,y0),则=1,-a≤x0≤a,=(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=+b2-c2,因为a>b>0,所以1->0,又0≤≤a2,所以当=a2时,取得最大值,为a2+b2-c2=a2-c2,又≤2ac恒成立,故a2-c2≤2ac,所以e2+2e-1≥0,又013.答案　
解析　因为,所以|AF1|=2|F1B|,设|F1B|=m,则|AF1|=2m,|AB|=3m,由椭圆的定义得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m.因为AF1⊥AF2,所以|AB|2+,即(3m)2+(2a-2m)2=(2a-m)2,解得m=,所以|AF1|=,在Rt△AF1F2中,|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即a2=4c2,即,故e=.
14.解析　如图所示,设椭圆的左焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形AFBF1为矩形,
∴|AB|=|FF1|=2c,|AF|+|BF|=2a.
∵|AF|=2csin α,|BF|=2ccos α,
∴2csin α+2ccos α=2a,
∴e=.
∵α∈,
∴sin,
∴,
∴椭圆的离心率e∈.
1

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