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§2　双曲线
2.1　双曲线及其标准方程
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　双曲线的定义及其应用
1.已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P的轨迹是　　(　　)
A.一条射线　　　　　B.双曲线右支
C.双曲线　　　　　　D.双曲线左支
2.过双曲线x2-y2=8的右焦点F2有一条弦PQ,|PQ|=7,F1是双曲线的左焦点,那么△F1PQ的周长为(　　)
A.28　　　　　　B.14-8
C.14+8
3.设F1,F2分别是双曲线=1的下、上焦点,P是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积等于(　　)
A.14
4.已知双曲线=1(m>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为8,点M是双曲线上一点,且|MF1|=5,则|MF2|=　　　　.
5.点P是双曲线=1左支上的一点,其右焦点为F,若M为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为7,则|PF|=　　　　.
题组二　双曲线的标准方程
6.若双曲线=1的焦点与椭圆=1的长轴端点重合,则m的值为(　　)
A.2　　　B.4　　　C.-2　　　D.-4
7.方程=1(θ∈R)所表示的曲线是　(　　)
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.焦点在y轴上的双曲线
8.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),M是双曲线上一点且||MF1|-|MF2||=2,则双曲线C的标准方程为(　　)
A.=1
C.=1
9.求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)经过点A(4,3),且a=4;
(2)经过点A).
题组三　双曲线的综合运用
10.许多建筑融入了数学元素后更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1中是单叶双曲面(由双曲线绕其虚轴所在直线旋转形成的立体图形)型建筑,其上、下底面与地面平行,图2是其最细处附近的截面图形.现测得下底面直径AB=20米,上底面直径CD=20米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为(　　)
　
A.10米　　　　　　B.20米
C.10米　　　　　D.10米
11.双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F1(2,0),点A的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF1周长的最小值为8,则a为(　　)
A.　　　C.2　　　D.1
12.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P是双曲线C右支上一点,|OP|=|OF2|,且△POF1的面积为4,则实数b=(　　)
A.　　　D.4
13.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,且PF2的中点M在以O为圆心,OF1为半径的圆上,则|PF2|=　　　　.
14.双曲线x2-=1的左、右焦点分别是F1,F2,第一象限内的一点P在双曲线上,O是坐标原点.
(1)若|,求点P的坐标;
(2)设||=n,若∠F1PF2=90°,求m+n的值.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组　双曲线的方程及其综合应用
1.已知点A(0,-),B(2,0),P为函数y=2图象上的一点,则|PA|+|PB|的最小值为(　　)
A.1+2　　　B.7　　　C.3　　　D.不存在
2.已知F1,F2为椭圆)和双曲线x2-=1(b2>0)的公共焦点,P为它们的公共点,且∠F1PF2=,则△PF1F2的面积为(　　)
A.
3.一动圆P过定点M(-4,0),且与圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是(　　)
A.=1(x≥2)　　　　 B.=1(x≤2)
C.=1
4.已知双曲线C:=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为双曲线C左支上一点,直线AF2与双曲线C的右支交于点B,且|AB|=15,∠F1AF2=,则|AF1|+|AF2|=(　　)
A.　　　B.26　　　C.25　　　D.23
5.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线的右支相交于A,B两点,|BF1|=2|BF2|=4|AF2|,且△ABF1的周长为10,则双曲线C的焦距为　　　　.
6.过双曲线x2-=1的右支上一点P分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为　　　　.
7.中国海军在某次演习中派出三艘舰艇,某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点),如图中A,B,C,且OA=OB=OC=3,假设可疑舰艇在某处发出信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早(注:信号传播速度为v0),C处舰艇保持静止.
(1)建立适当的坐标系,并求可疑舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程;
(2)在A,B两处舰艇对可疑舰艇攻击后,C处舰艇派出无人机到可疑舰艇处观察攻击效果,则无人机飞行的最短距离是多少
答案与分层梯度式解析
§2　双曲线
2.1　双曲线及其标准方程
基础过关练
1.A　因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.
规律总结　已知定点M,N及动点P,当||PM|-|PN||<|MN|时,点P的轨迹是双曲线;当||PM|-|PN||=|MN|时,点P的轨迹是两条分别以M,N为端点的射线;当||PM|-|PN||>|MN|时,点P的轨迹不存在.
2.C　方程x2-y2=8可化为,c=4.根据双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=4,∴△F1PQ的周长=|PF1|+|QF1|+|PQ|=7+8,故选C.
3.D　由题意得点P在双曲线的下支上,|F1F2|=2|PF2|=4,所以|PF2|=6,|PF1|=10,在△PF1F2中,由余弦定理得,cos∠F1PF2=,所以sin∠F1PF2=,所以|PF1||PF2|sin∠F1PF2=.故选D.
4.答案　7或3
解析　由已知得a2=m2,b2=15,2c=8,∴m2+15=42,解得m=1(m=-1舍去),即a=1.当M是双曲线左支上一点时,|MF2|-|MF1|=2a=2,则|MF2|=7≥a+c=5,当M是双曲线右支上一点时,|MF1|-|MF2|=2a=2,则|MF2|=3≥c-a=3.综上所述,|MF2|=7或|MF2|=3.
5.答案　22
解析　设双曲线的左焦点为F',连接PF',则OM(O为坐标原点)是△F'PF的中位线,∴|OM|=|PF'|,∵M到坐标原点的距离为7,∴|PF'|=14,又由双曲线的定义得|PF|-|PF'|=2a=8,∴|PF|=8+|PF'|=22.
6.A　易得椭圆=1的长轴端点为(0,2),(0,-2),所以双曲线的焦点为(0,2),(0,-2),故2+m=4,解得m=2.故选A.
7.C　∵-1≤sin θ≤1,∴2sin θ+4>0,sin θ-3<0,∴方程=1(θ∈R)所表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线.故选C.
8.D　设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),半焦距为c,则c=4,2a=2,故a=,b2=c2-a2=16-5=11.所以双曲线C的标准方程为=1.故选D.
9.解析　(1)因为a=4>3,所以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为=1(b>0),
因为点A(4,3)在双曲线上,所以=1,解得b2=9,
所以双曲线的标准方程为=1.
(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
因为点A)在双曲线上,
所以
所以双曲线的标准方程为=1.
10.B　取CD的中点E,以EG所在直线为y轴,EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.
易知D(10,-60),O为双曲线的中心.
设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则所以最细部分处的直径为2a=20(米).故选B.
11.D　设该双曲线的左焦点为F,如图所示,
由双曲线的定义可得|PF1|=|PF|+2a.
易得|AF|=|AF1|==3,|AP|+|PF|≥|AF|=3,当且仅当A,P,F三点共线时等号成立,
所以△APF1的周长为|AP|+|AF1|+|PF1|=|AF1|+|AP|+|PF|+2a≥|AF1|+|AF|+2a=6+2a,当且仅当A,P,F三点共线时,△APF1的周长取得最小值,即6+2a=8,解得a=1.故选D.
12.C　因为△POF1的面积为4,
所以△PF1F2的面积为8.
又|OP|=|OF2|,
所以|OP|=|OF2|=|OF1|=|F1F2|,
所以△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2.
设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a,m2+n2=4c2,
所以mn==2b2,
所以mn=b2=8,
又b>0,所以b=2.故选C.
13.答案　4
解析　如图,由双曲线方程=1,得a2=16,b2=20,则c==6,则|OM|=|OF1|=6,
易知OM为△F1PF2的中位线,∴|PF1|=2|OM|=12,
∴|PF2|=|PF1|-8=4.
14.解析　(1)设P(x,y),x>0,y>0,
则
∴P(,2).
(2)易知双曲线中a=1,b=2,∴c=,
∴∴2mn=16,
∴(m+n)2=20+16=36,∴m+n=6.
能力提升练
1.B　由y=2-x2=1(y>0).设点A'(0,),易知点A'(0,)分别为双曲线-x2=1的上、下焦点.由双曲线的定义得|PA|-|PA'|=4,则|PA|+|PB|=4+|PA'|+|PB|≥4+|BA'|=7.故选B.
2.C　根据题意作出图形如下,
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2,由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2,
所以|PF1|=-1,
则.故选C.
3.C　由已知得N(4,0),当两圆内切时,定圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4;当两圆外切时,有|PN|=|PM|+4,故||PN|-|PM||=4<|MN|=8,由双曲线的定义知,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线,且2a=4,c=4,所以a2=4,b2=12,故动圆圆心P的轨迹方程为=1.故选C.
4.B　由双曲线的定义得,|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a=10,令|BF2|=x,则|AF1|=x+15-10=x+5,|BF1|=x+10,在△ABF1中,|AB|=15,∠F1AB=,
则cos∠F1AB=,
即,解得x=3,故|AF1|=8,|AF2|=18,所以|AF1|+|AF2|=26.故选B.
5.答案　
解析　不妨设B在第一象限内,根据题意作出图形,如图所示,
设|AF2|=m,则|BF2|=2m,|BF1|=4m,
由双曲线的定义得,|BF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|,
即4m-2m=|AF1|-m,得|AF1|=3m.
又△ABF1的周长为10,
∴m+2m+4m+3m=10,解得m=1.
在△AF1F2和△BF1F2中,cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,
即=0,解得c=(负值舍去),
所以双曲线C的焦距为.
6.答案　13
解析　由已知得c2=1+15=16,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),圆C1的圆心为C1(-4,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(4,0),半径r2=1,∵PM,PN分别为两圆的切线,∴|PM|2=|PC1|2-=|PC2|2-1,∴|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3,∵P为双曲线右支上的点,且双曲线的焦点为C1,C2,∴|PC1|-|PC2|=2,又|PC1|+|PC2|≥|C1C2|=8(当P为双曲线的右顶点时取等号),∴|PM|2-|PN|2=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3≥8×2-3=13,即|PM|2-|PN|2的最小值为13.
7.信息提取　①OA=OB=OC=3;②设可疑舰艇的位置为P,则满足|PB|-|PA|=4;③无人机到可疑舰艇位置的最短距离即两点间的最短距离.
数学建模　以实际问题中的动点与两定点间的距离之差是定值为背景,建立双曲线模型.
解析　(1)以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设可疑舰艇的位置为P(x,y),
由题意可知|PB|-|PA|=v0×=4,|AB|=6,又4<6,因此P点的轨迹是以A,B为焦点,4为实轴长的双曲线的左支,故2a=4,c=3,∴a=2,b=,
∴所求的轨迹方程为=1(x≤-2).
(2)取曲线=1(x≤-2)上任意一点M(x0,y0)(x0≤-2),于是=1,即+4,
由题意知,求出M、C间的最短距离即可,
|MC|=
=
=,
当y0=时,|MC|min=.
∴无人机飞行的最短距离是2.
1(共20张PPT)
§2 双曲线
知识点 1 双曲线的定义
知识 清单破
知识点 2 双曲线的标准方程及其几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
图形
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
范围 x≤-a或x≥a,且y∈R y≤-a或y≥a,且x∈R
对称性 对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
离心率 e= ,e∈(1,+∞) 渐近线 y=± x y=± x
实、虚 轴 两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长度等于2a,
其中a叫作双曲线的实半轴长;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,
它的长度等于2b,其中b叫作双曲线的虚半轴长 a,b,c的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.已知点A(1,0),B(-1,0),若|AC|-|BC|=2,则点C的轨迹是双曲线. (　 )
2.在双曲线的标准方程 - =1中,a>0,b>0,且a≠b. (　 )
3.双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值. (　 )
4.共渐近线的双曲线的离心率相同. (　 )
5.双曲线C1: - =1(a>0,b>0)与C2: - =1的渐近线方程相同. (　 )




√
提示
提示
提示
因为|AC|-|BC|=2=|AB|,所以点C的轨迹不是双曲线.
a,b之间的大小关系没有限制.
C1的渐近线方程为y=± x,C2的渐近线方程为y=± x.两双曲线的渐近线不一定相同.
6.双曲线的离心率越大,开口越大. (　 )
7.椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围相同. (　 )

√

提示
椭圆的离心率的取值范围是(0,1),双曲线的离心率的取值范围是(1,+∞).
1.定义中的限制条件:“小于|F1F2|”“绝对值”“常数不等于零”.
(1)当2a<|F1F2|时,动点的轨迹是双曲线.若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,
此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,此时
动点的轨迹不存在.
(2)若定义中没有“绝对值”,即|MF1|与|MF2|仅满足|MF1|-|MF2|=2a(a>0),则当2a<|F1F2|时,轨迹
是双曲线的一支;当2a=|F1F2|时,轨迹是以F2为端点的一条射线;当2a>|F1F2|时,轨迹不存在.
(3)若将“常数不等于零”改为“常数等于零”,则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分
线.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 如何运用双曲线的定义解决双曲线问题
2.设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若点M在双曲线的右支上,则|MF1|>|MF2|,|MF1|-|MF2|=2a
(a>0);若点M在双曲线的左支上,则|MF1|<|MF2|,|MF1|-|MF2|=-2a(a>0),因此得到|MF1|-|MF2|=±2a.
这与椭圆的定义中|MF1|+|MF2|=2a是不同的.
典例 双曲线 - =1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为 ( )
A.1或21　　　　 B.14或36
C.1　　　　　　　 D.21
D
解析 设点P到另一个焦点的距离为m(m>0),
∵点P到一个焦点的距离为11,
∴由双曲线的定义得|11-m|=10,
∴m=1或m=21.
∵a=5,c=7,m≥c-a,∴m≥7-5=2,
∴m=1不符合题意,舍去.故选D.
1.用定义法求双曲线的标准方程
　　根据双曲线的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出双曲线的标准方程.
2.用待定系数法求双曲线的标准方程的四个步骤
(1)定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上,还是二者都有可能.
(2)设方程:根据焦点的位置,设其方程为 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦点位置不
定时,亦可设为mx2+ny2=1(mn<0).
(3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b或m,n的方程组.
(4)得方程:解方程组,将a,b或m,n的值代入所设方程即可.
讲解分析
疑难 2 双曲线的标准方程
3.利用双曲线的几何性质设双曲线方程的方法与技巧
(1)与双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程为 - =λ(λ>0)和 - =λ(λ>
0).
　　注意:仅以离心率不能确定焦点位置.
(2)与渐近线有关的双曲线方程的设法:
①与双曲线 - =1(a>0,b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0).
②渐近线方程为y=±kx(k≠0)的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
③渐近线方程为ax±by=0(a>0,b>0)的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
(3)与双曲线 - =1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(λ≠0,-b2<λ典例 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)a=2 ,经过点A(2,-5),焦点在y轴上;
(2)经过点P ,Q ;
(3)与双曲线 - =1有公共焦点,且过点(3 ,2);
(4)双曲线的一条渐近线方程为y=2x,且双曲线经过点(4,4 ).
解析 (1)因为双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0).因为
a=2 ,且点A(2,-5)在双曲线上,所以 - =1,解得b2=16.
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
(2)解法一:若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),
因为点P 和点Q 在双曲线上,
所以 此方程组无实数解.
若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),
因为点P 和点Q 在双曲线上,
所以 解得
所以双曲线的标准方程为 - =1.
解法二:设双曲线的方程为 + =1(mn<0).因为P,Q两点在双曲线上,
所以 解得
所以双曲线的标准方程为 - =1.
(3)解法一:设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),由题意易求得c=2 ,
所以a2+b2=(2 )2.
因为双曲线过点(3 ,2),
所以 - =1,
所以a2=12,b2=8,
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
解法二:设双曲线的方程为 - =1(-4将(3 ,2)代入,得 - =1,
解得k=4或k=-14(舍去).
故所求双曲线的标准方程为 - =1.
(4)解法一:因为双曲线的一条渐近线方程为2x-y=0,所以可设双曲线的方程为4x2-y2=λ(λ≠0),
又双曲线经过点(4,4 ),所以4×42-(4 )2=λ,解得λ=16,所以双曲线的标准方程是 - =1.
解法二:根据题意,2×4>4 ,所以点(4,4 )在直线y=2x的右下方,所以该双曲线的焦点在x轴
上,设其标准方程为 - =1(a>0,b>0),则 =2,所以b=2a,又双曲线经过点(4,4 ),所以 -
=1,即 - = =1,解得a2=4,所以b2=16,所以双曲线的标准方程是 - =1.
1.求与双曲线的性质有关的问题的步骤
(1)将双曲线的方程化为标准形式: - =1 (a>0,b>0);
(2)根据已知条件确定a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b);
(3)求出c的值,再由双曲线的几何性质求解.
2.与双曲线有关的其他几何性质
(1)通径:过双曲线 - =1 (a>0,b>0)的焦点作垂直于实轴的直线,该直线被双
曲线截得的弦叫作通径,其长度为 .
(2)焦点三角形:双曲线上的点P(不在坐标轴上)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.设
讲解分析
疑难 3 双曲线的几何性质
∠F1PF2=θ,则焦点三角形的面积S= .
(3)距离:双曲线 - =1(a>0,b>0)的右支上任意一点M到左焦点的距离的最小值为a+c,到右
焦点的距离的最小值为c-a.焦点到渐近线的距离为b.
(4)中点弦:设M为双曲线 - =1(a>0,b>0)的弦AB(AB不平行于坐标轴)的中点,O为坐标原
点,则有kAB·kOM= .
3.等轴双曲线
中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线.它有如
下性质:
(1)方程形式为x2-y2=λ(λ≠0);
(2)渐近线方程为y=±x,所以两条渐近线互相垂直,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角;
(3)实轴长和虚轴长都等于2a,离心率e= .
典例 (1)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于 (　 )
A. 　 B. 　 C.1　 D.
(2)已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,
则该双曲线的离心率为 (　 )
A. +1　 B. +1　 C.2 　 D.2
B
B
思路点拨 (1)求出双曲线的顶点坐标及渐近线方程 求顶点到渐近线的距离.(2)不妨设
点P在双曲线的右支上 根据双曲线的定义和三角形特征推出∠PF2F1为直角 转化
为直角三角形三边之间的数量关系 建立关于a,c的方程求离心率
解析 (1)双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(±1,0),渐近线方程为y=±x,即x±y=0,
∴顶点到渐近线的距离为 .
(2)不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a.
∵△PF1F2是等腰直角三角形,
∴只能是∠PF2F1=90°,
∴|PF2|=|F1F2|=2c,
∴|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c,
∴(2a+2c)2=(2c)2+(2c)2,
即c2-2ac-a2=0,
等式两边同除以a2,得e2-2e-1=0.
∵e>1,∴e= +1.2.2　双曲线的简单几何性质
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　由双曲线的方程研究其简单几何性质
1.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:=1的上、下焦点,点P在C上,且C的实轴长等于虚轴长的2倍,则(　　)
A.m=2
B.顶点坐标为(±2,0)
C.C的离心率为
D.C的渐近线方程为y=±2x
2.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,焦距为6,点M在双曲线C上,且MF⊥AF,|MF|=2|AF|,则双曲线C的实轴长为(　　)
A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8
3.已知双曲线C:=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,则下列结论正确的是(　　)
A.的最大值为4
B.的最大值为2
C.的最小值为-4
D.的最小值为-2
4.若点A(10,2)是双曲线my2-4x2+4m=0上的点,试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标.
题组二　双曲线的离心率
5.北京冬奥会火种台(如图1)以“承天载物”为设计理念,创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型,其基座沉稳,象征“地载万物”,顶部舒展开阔,寓意迎接纯洁的奥林匹克火种.如图2,一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在直线旋转所成的曲面,尊高50 cm,上口直径为 cm,底座直径为25 cm,最小直径为20 cm,则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为(　　)
　
A.2　　　B.
6.已知椭圆C:=1的离心率与双曲线C':=1(b>0)的离心率互为倒数,则b=(　　)
A.2　　　C.4　　　D.6
7.已知A,B分别为双曲线E的左、右顶点,点M在双曲线E上,满足△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则双曲线E的离心率为(　　)
A.
8.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在一点P,使,求该双曲线的离心率的取值范围.
题组三　双曲线的渐近线
9.已知双曲线C:=1的一个焦点为(0,),则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x
C.y=±2x　　　　　　D.y=±4x
10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,则其渐近线的倾斜角为(　　)
A.
C.
11.已知方程=1表示双曲线.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,求双曲线的焦点到渐近线的距离.
题组四　由双曲线的简单几何性质求其方程
12.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线x-4y+2=0上的等轴双曲线的方程是(　　)
A.x2-y2=8　　　　　　B.x2-y2=4
C.y2-x2=8　　　　　　D.y2-x2=4
13.已知双曲线C:mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为,虚轴长为4,则C的方程为(　　)
A.3x2-4y2=1　　　　　　 B.x2-=1
C.=1
14.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=-x,且焦点到渐近线的距离为1,则双曲线C的标准方程为(　　)
A.-y2=1
C.=1
15.在平面直角坐标系xOy中,过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A,若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A,O两点,则双曲线的标准方程为　　　　　　　　.
16.双曲线E:=1(a>0,b>0)的渐近线为菱形OABC的边OA,OC所在的直线(O为坐标原点),点B(2,0)为双曲线的焦点,若∠AOC=120°,则双曲线的方程为　　　　　　.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　双曲线的简单几何性质及其应用
1.已知双曲线C:=m(m≠0),则当实数m变化时,这些双曲线有(　　)
A.相同的焦点　　　　　　B.相同的实轴长
C.相同的离心率　　　　　D.相同的渐近线
2.直线l过圆M:(x-4)2+y2=1的圆心,且与圆M相交于A,B两点,P为双曲线=1右支上一个动点,则的最小值为(　　)
A.-2　　　　　　B.1
C.2　　　　　　 D.0
3.(多选题)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,A是C1,C2在第一象限内的交点,若|F1F2|=|F1A|,则(　　)
A.双曲线的渐近线方程为y=±8x
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的方程为=1
D.△AF1F2的面积为8
4.小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支,O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知,该双曲线的渐近线互相垂直,且AB与OC垂直,其中C为AB的中点,AB=80 cm,OC=20 cm,若该双曲线的焦点位于直线OC上,则距点O较近的焦点距点O　　　　cm.
5.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若双曲线上存在一点P,使=e,则的值为　　　　.
题组二　双曲线的离心率
6.双曲线的光学性质:如图①,从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分,如图②,其方程为=1(a>0,b>0),F1,F2为其左、右焦点,若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后,满足∠BAD=90°,tan∠ABC=-,则该双曲线的离心率e=(　　)
　
A.
C.
7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0),A为C的上顶点,B(0,5a).若在C的渐近线上存在一点P,使得∠APB=90°,则C的离心率e的取值范围为(　　)
A.
C.
8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,则当C的离心率e=　　　　时,满足sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.
9.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A、B,点C(0,2b),若线段AC的垂直平分线过点B,则该双曲线的离心率为　　　　.
10.已知双曲线Q:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,过双曲线的右焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6.
(1)求双曲线Q的离心率;
(2)求双曲线Q的方程.
11.双曲线C:=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.
(1)求C的离心率;
(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.
题组三　双曲线的渐近线
12.已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F作x轴的垂线,且与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A,B.若|AB|=|AF|,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=0
C.y=0
13.已知双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线y=kx与Γ交于A,B两点(点A在第一象限),线段AF的中点为P,O为坐标原点.若|OA|=|OF|,2|OP|=|OB|,则Γ的两条渐近线的斜率之积为(　　)
A.-4-2
C.3-2
答案与分层梯度式解析
2.2　双曲线的简单几何性质
基础过关练
1.CD　由题意得,a2=m,b2=5-m,且a=2b,所以m=4(5-m),解得m=4,故A错误;因为a2=m=4,焦点在y轴上,所以顶点坐标为(0,±2),故B错误;因为a2=4,b2=1,所以c2=5,故离心率e=,故C正确;因为双曲线的焦点在y轴上,所以渐近线方程为y=±x,即y=±2x,故D正确.故选CD.
2.A　把x=c代入=1,得y=±,即|MF|=,因为|AF|=a+c,|MF|=2|AF|,所以=2(a+c),结合a2+b2=c2,得c2-a2=2ac+2a2,又c=3,所以a2+2a-3=0,解得a=1(负值舍去),则2a=2.故选A.
3.D　根据题意,得F1(0,),设P(x,y),x∈R,则-y)·(-x,--y)=x2+y2-6,又y2=4=4+2x2,所以=x2+4+2x2-6=3x2-2,因为x∈R,所以当x=0时,取得最小值-2,没有最大值.故选D.
4.解析　因为点A(10,2)在双曲线my2-4x2+4m=0上,
所以m-4×102+4m=0,解得m=25,
所以双曲线的方程为25y2-4x2+100=0,即=1,
所以双曲线的焦点在x轴上,且a2=25,b2=4,c2=25+4=29,
因此实轴长为2a=10,虚轴长为2b=4,焦距为2c=2,焦点坐标为(,0),顶点坐标为(-5,0),(5,0).
5.B　如图,设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),
由最小直径为20 cm,可知a=10,
设点A,0则=1,
所以t=32,b=24,
所以c==26,故e=.故选B.
6.B　由椭圆C:=1的离心率与双曲线C':=1(b>0)的离心率互为倒数,且椭圆C:=1的离心率为,得双曲线C':=1(b>0)的离心率为=2,所以b=2.故选B.
7.D　不妨设点M在第一象限内,如图所示,
设双曲线E的方程为=1(a>0,b>0),
∵△ABM是顶角为120°的等腰三角形,
∴|BM|=|AB|=2a,∠MBx=60°,
∴点M的坐标为(2a,a),
又∵点M在双曲线E上,
∴4-=1,整理,得a2=b2,而c2=a2+b2=2a2,
∴e2==2,因此e=.故选D.
8.解析　在△PF1F2中,由正弦定理得,因为,所以.
因为a所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=,
又|PF2|>c-a,所以>c-a,整理得e2-2e-1<0,
所以19.C　由题意得,该双曲线的焦点在y轴上,则双曲线C:=1,所以a2=4,b2=-m,c2=()2=5,由c2=a2+b2可得4-m=5,解得m=-1,所以b2=1,即双曲线C的方程为-x2=1,所以该双曲线的渐近线方程为y=±2x.故选C.
10.D　∵双曲线C的离心率e==2,解得(负值舍去),
又双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即y=±x,
所以其渐近线的斜率为或-,所以其渐近线的倾斜角为.故选D.
11.解析　(1)因为方程=1表示双曲线,所以(4-m)(2+m)>0,解得-2故实数m的取值范围为(-2,4).
(2)当m=2时,双曲线的方程为=1.
所以a=,
所以双曲线的焦点为(,0),
易得渐近线方程为y=±x,
故焦点到渐近线的距离d==2.
12.B　因为双曲线的实轴在x轴上且焦点在直线x-4y+2=0上,所以双曲线的焦点在x轴上,令y=0,得x=-2,则c=2.因为双曲线为等轴双曲线,所以a=b,又a2+b2=c2,所以a2=b2=4,所以双曲线的方程为=1,即x2-y2=4.故选B.
13.D　将双曲线方程化为标准形式为=1,
由题意可得
所以C的方程为=1.故选D.
14.A　易知双曲线的右焦点为(c,0),
由题意可得
又c2=a2+b2,∴a2=3,b2=1,∴双曲线C的标准方程为-y2=1.故选A.
15.答案　=1
解析　设右焦点为F(c,0),由题意得双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨设A(a,b),由题意得|OF|=|AF|=4,所以c=4,所以(4-a)2+b2=16,又c2=a2+b2,所以a=2,b=2,所以双曲线的标准方程为=1.
16.答案　x2-=1
解析　不妨设A在第一象限内.由题意知OA所在直线的倾斜角为∠AOC的一半,即∠AOB=60°,故=tan 60°=,又点B(2,0)为双曲线的焦点,所以a2+b2=4,所以4a2=4,解得a=1(负值舍去),故b=.所以双曲线的方程为x2-=1.
能力提升练
1.D　当m>0时,方程=m可化为=1,则a=2,双曲线C的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为,渐近线方程为y=±x;当m<0时,方程=m可化为=1,则a=,双曲线C的焦点在y轴上,实轴长为2,离心率为,渐近线方程为y=±x.所以这些双曲线有相同的渐近线.故选D.
2.D　由题意,得圆M的圆心M的坐标为(4,0),半径为1.设P(x0,y0),x0≥3,则)·()·(-8x0+8,令f(x)=x2-8x+8,其图象开口向上,对称轴为直线x=,因为x0≥3,所以当x0=3时,取得最小值,且最小值为×9-8×3+8=0.故选D.
3.BD　设双曲线的方程为=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为=1(a2>b2>0),则=8,所以a1=1,b1=2,c=3,所以
F1(-3,0),F2(3,0),|F1F2|=6,所以|F1A|=6.由双曲线的定义可得,|F1A|-|F2A|=2a1=2,所以|F2A|=4.由椭圆的定义可得,|F1A|+|F2A|=10=2a2,所以a2=5,所以-c2=16,所以椭圆的方程为=1,所以椭圆的离心率e=,故B正确,C错误;对于A,根据双曲线的方程易知,双曲线的渐近线方程为y=±x,故A错误;对于D,在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠F1AF2=,所以
sin∠F1AF2=,所以|AF1||AF2|
sin∠F1AF2=,故D正确.故选BD.
4.答案　30-30
信息提取　①灯光的边界类似双曲线的一支;②渐近线互相垂直;③AB=80 cm,OC=20 cm.
数学建模　利用双曲线模型解决问题.先建立平面直角坐标系,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),根据题意求方程,再根据双曲线的性质求解即可.
解析　以OC所在直线为x轴,垂直于OC的直线为y轴且使O为双曲线的右顶点,建立平面直角坐标系(图略).设该双曲线的方程为=1(a>0,b>0).
因为该双曲线的渐近线互相垂直,所以a=b.
由题意知,=1,
所以a=b=30,又c2=a2+b2,所以c=30,
故距点O较近的焦点距点O(30-30)cm.
5.答案　2
解析　由双曲线方程x2-=1得a=1,c=2,由双曲线的定义得||||=2,因为=e=2,所以由正弦定理得=2,可求得||=2,又||=4,根据余弦定理可得cos∠PF2F1=,所以|·||·cos∠PF2F1=2×4×=2.
6.B　如图所示,连接AF1,BF1,易知F1,A,D共线,F1,B,C共线,AB⊥DF1.
设|AF1|=m,|AF2|=n,
由题意得tan∠ABF1=tan(180°-∠ABC)=-tan∠ABC=,所以|AB|=,
在Rt△ABF1中,|BF1|=,
由双曲线的定义可得
即
在Rt△AF1F2中,,即(3a)2+a2=(2c)2,即4c2=10a2,∴e=.
故选B.
方法点睛　双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质之一,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)有两种常见方法:
①求出a,c的值,代入公式e=求解;
②根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2将其转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a的最高次幂,转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值(取值范围).
7.D　设AB的中点为D,A(0,a),B(0,5a),则D(0,3a),
依题意,以D(0,3a)为圆心,2a为半径的圆与渐近线ax-by=0有公共点,如图,
所以D(0,3a)到渐近线ax-by=0的距离d=≤2a,即3b≤2c,即9b2≤4c2,
即9c2-9a2≤4c2,即5c2≤9a2,即,
所以1<,故e∈.
故选D.
8.答案　
解析　如图,在△PF1F2中,由sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2得|PF1|=3|PF2|,
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,
所以|PF2|=a,|PF1|=3a,
在△PF1F2中,∠F1PF2=60°,
由余弦定理,得4c2=9a2+a2-2×3a×a×cos 60°,
整理,得4c2=7a2,所以e2=,即e=.
故当e=时,满足sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.
9.答案　
解析　因为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,
所以A(-a,0),B(a,0),|AB|=2a,
又C(0,2b),线段AC的垂直平分线过点B,
所以|BC|=|BA|,即=2a,得b2=a2,
所以c2=a2+b2=a2+a2,
因此e=.
10.解析　(1)∵双曲线Q:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,
∴,即b=a,
∴c==2a,
∴双曲线Q的离心率e==2.
(2)由题意可画出图形,如图所示:
CD是该双曲线的一条渐近线y=x,即bx-ay=0.
作AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,垂足分别为C,D,E,则四边形ACDB是梯形.
∵F是AB的中点,∴|EF|==3,
又F(c,0),∴由点到直线的距离公式可得|EF|==b,
∴b=3,又b=,
故双曲线Q的方程为=1.
11.解析　(1)当BF⊥AF时,|BF|=|AF|=a+c,
∵|BF|=,
∴a2+ac=c2-a2,
∴2a2+ac-c2=0,∴e2-e-2=0,即(e-2)(e+1)=0,
又e>1,∴e=2.
(2)证明:设B(x,y),x>0,y>0,当x≠c时,tan∠BAF=kAB=,由(1)可知b=a,c=2a,
∴tan 2∠BAF=
=
==-kBF=tan∠BFA.
∵∠BAF,∠BFA∈,
∴∠BFA=2∠BAF.
当x=c时,|BF|=|AF|,∠BFA=90°=2∠BAF.
综上,∠BFA=2∠BAF.
12.B　由题意得F(c,0),双曲线C的渐近线方程为y=±x.设点A,B的纵坐标分别为y1,y2,y1>0,y2>0,
所以A(c,y1),将其代入双曲线C的方程中,得=1,所以y1=,
所以|AF|=,易得y2=,所以|BF|=.
因为|AB|=|AF|,所以|BF|=2|AF|,即,
即c=2b,所以a=b,故,
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故选B.
13.B　如图,设双曲线Γ的左焦点为F1,连接AF1,
根据双曲线Γ与直线y=kx的对称性,知|OA|=|OB|.
因为|OA|=|OF|,2|OP|=|OB|,线段AF的中点为P,
所以|AF1|=2|OP|=c,OP⊥AF,又|OF|=c,|OP|=c,所以|PF|=c,|AF|=2|PF|=c.
根据双曲线的定义,知|AF1|-|AF|=2a,
所以c-c=2a,
所以,
所以,所以,
所以双曲线Γ的两条渐近线的斜率之积为-,故选B.
1

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