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3.2　抛物线的简单几何性质
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　由抛物线的标准方程探究其几何性质
1.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,则下列点中一定在该抛物线上的是(　　)
A.(-m,-n)　　　　　　B.(m,-n)　　　
C.(-m,n)　　　　　　 D.(-n,-m)
2.已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为(　　)
A.8
3.(多选题)平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C.关于曲线C,下列结论正确的有(　　)
A.曲线C的方程为x2=4y
B.曲线C关于y轴对称
C.若点P(x,y)在曲线C上,则y≥2
D.若点P在曲线C上,则点P到直线l的距离d≥2
4.已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,且|MF|=2(F为焦点),若P为C上的一个动点,设点Q的坐标为(3,0),则|PQ|的最小值为　　　　.
题组二　由抛物线的几何性质求标准方程
5.以x轴为对称轴,坐标原点为顶点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线的方程是(　　)
A.y2=8x　　　　　　B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x　　D.x2=8y或x2=-8y
6.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的标准方程为(　　)
A.y2=8x　　　　　　B.y2=2x
C.y2=x　　　　　　 D.y2=x
7.(多选题)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F.点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点M的坐标可以为(　　)
A.(0,-1)　　　　　　B.(0,-2)　　　
C.(0,2)　　　　　　 D.(0,1)
8.斜率为的直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,若l与圆M:(x-2)2+y2=12相切,则p=(　　)
A.12　　　B.8　　　C.10　　　D.6
9.写出一个同时满足下列条件①②的抛物线的方程:　　　　.
①以原点为顶点;②以椭圆+x2=1的一个焦点为抛物线的焦点.
10.已知抛物线C的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过(-1,1),(1,),(2,-2),(-1,-2)四点中的两点,则抛物线C的方程为　　　　.
11.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
12.已知抛物线y=ax2(a>0)的焦点为F,P为抛物线上的动点,M为其准线上的动点,若△FPM是边长为2的等边三角形,求此抛物线的标准方程.
题组三　抛物线的焦点弦问题
13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与C交于M,N两点,若|MN|=10,则线段MN的中点到y轴的距离为(　　)
A.8　　　B.6　　　C.4　　　D.2
14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆=1的右焦点重合,斜率为k(k>0)的直线l经过点F,且与C交于点A,B.若|AF|=2|BF|,则k=(　　)
A.1　　　B.
15.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为的直线,交抛物线于A,B两点,若=2,则实数p的值为(　　)
A.
16.已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A与抛物线C的焦点F之间的距离为12,点A到y轴的距离为9.
(1)求p的值;
(2)若斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点F,且与抛物线C相交于M,N两点.求线段MN的长.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组　抛物线的几何性质及其应用
1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点为坐标原点O,并且经过点M(3,y0),若点M与该抛物线的焦点F之间的距离为6,则|OM|=(　　)
A.5　　　B.3
2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=8x,P为x轴正半轴上一点,线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点,若∠OAP=120°,则四边形OAPB的周长为(　　)
A.64　　　D.80
3.(多选题)已知P(x,y)为曲线x=2上一动点,则(　　)
A.
B.存在一个定点和一条定直线,使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
C.P到直线y=-x-2的距离的最小值小于
D.的最小值为6
4.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且,抛物线的准线l与x轴交于点C,AA1⊥l于点A1,若四边形AA1CF的面积为5,则准线l的方程为(　　)
A.x=-
C.x=-2　　　　　　 D.x=-1
5.(多选题)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线AB,CD过焦点F,分别交抛物线Γ于点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),其中A,C位于x轴同侧,且直线BC经过点,记直线BC,AD的斜率分别为kBC,kAD,则下列结论正确的有　　(　　)
A.y1y2=-p2
B.直线AD过定点
C.=4
D.|AD|的最小值为2p
6.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为(　　)
A.
7.已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物线于点B.过B作l的垂线,垂足为M,若AM⊥MF,则△AFM的面积S=　　　　.
8.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,定点A(1,2)和动点P都在抛物线C上,点B(2,0),则的最大值为　　　　.
9.已知抛物线C:y2=2px(0(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,OA⊥OB,求证:AB过定点.
答案与分层梯度式解析
3.2　抛物线的简单几何性质
基础过关练
1.B　由抛物线方程可知其关于x轴对称,故点(m,-n)一定在该抛物线上.故选B.
2.A　由题意,可设另外两个顶点的坐标分别为(m>0),则tan 30°=,解得m=4,故这个等边三角形的边长为2m=8.故选A.
3.AB　由抛物线的定义知,曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其关于y轴对称,方程为x2=4y,所以A,B正确;由x2=4y知y≥0,点P到直线l的距离d≥1,所以C,D错误.故选AB.
4.答案　2
解析　∵点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,且|MF|=2(F为焦点),∴1-=2,解得p=2,
∴抛物线C:y2=4x.
设P(x0,y0)(x0≥0),则=4x0,
则|PQ|2=(x0-3)2+=(x0-3)2+4x0=(x0-1)2+8,
当x0=1时,|PQ|2取得最小值8,
∴|PQ|的最小值为2.
5.C　依题意设抛物线的方程为y2=±2px(p>0).因为焦点与原点之间的距离为2,所以=2,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x.故选C.
6.B　在y2=2px(p>0)中,令x=2,得y2=4p,解得y=±2,
不妨设D(2,2),如图,
因为OD⊥OE,所以=2×2-4p=0,解得p=1,
故C的标准方程为y2=2x.故选B.
7.BC　设M(0,y0),易知F,则B,过点B作准线的垂线,垂足为B1,如图所示:
则|BB1|=,解得p=,
∴抛物线方程为y2=2x,且B,
又点B在抛物线上,
∴,解得y0=±2.
∴点M的坐标为(0,2)或(0,-2).故选BC.
8.A　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,则直线l的方程为y=,即p=0.因为l与圆M:(x-2)2+y2=12相切,所以圆心(2,0)到l的距离d=,解得p=12(负值舍去).故选A.
9.答案　x2=4y(答案不唯一)
解析　因为椭圆+x2=1的焦点在y轴上,且c==1,所以椭圆的上焦点为(0,1),下焦点为(0,-1),不妨以椭圆的上焦点为抛物线的焦点,设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则=1,即p=2,所以x2=4y.(答案不唯一)
10.答案　y2=2x
解析　由所经过的点所在象限及对称性,结合抛物线的对称性可知,点(-1,1)和点(1,)不可能同时在抛物线C上,点(-1,1)和点(-1,-2)不可能同时在抛物线C上,点(2,-2)和点(-1,-2)不可能同时在抛物线C上,点(1,)和点(-1,-2)也不可能同时在抛物线C上,(-1,1),(2,-2)两点分别位于第二、四象限,这样的抛物线不存在,所以抛物线C只能过点(1,),点(2,-2),根据两点位置可设C:y2=2px(p>0),代入(1,),得2=2p,即p=1,所以y2=2x,此抛物线过点(2,-2),满足题意.
综上,抛物线C的方程为y2=2x.
11.解析　设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题知M.
因为|AF|=3,所以y0+=3.
因为|AM|=,所以=17,
所以=8,代入方程=2py0,得8=2p·,解得p=2或p=4.
故所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
12.解析　因为△FPM为等边三角形,所以|PM|=|PF|,由抛物线的定义可得PM垂直于抛物线的准线.
设P(m,am2),则M,又F,
所以有
所以抛物线的标准方程为x2=2y.
13.C　如图所示,设MN的中点为D,分别作MA,NB,DC垂直于准线于A,B,C三点,设CD交y轴于点E,易得CD为直角梯形ABNM的中位线,所以|CD|=,由抛物线的定义易得,|MA|+|NB|=|MN|=10,所以|CD|=5,又抛物线的准线方程为x=-1,所以|CE|=1,故线段MN的中点到y轴的距离为|DE|=|CD|-|CE|=4,故选C.
14.D　由椭圆方程可知F(3,0),则C:y2=12x,由题意可设直线l的方程为x=y+3,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x,得y2-y-36=0,即y1y2=-36,又|AF|=2|BF|,所以y1=-2y2,所以y2=-3,所以x1=6,x2=,则k=.故选D.
15.B　易得F,设直线AB的方程为y=,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-7px+,又|AF|=x1+=2 p=1.
16.解析　(1)设A(x,y),由题意得|AF|=9+=12,∴p=6.
(2)由(1)知抛物线C:y2=12x,则焦点F(3,0),
根据题意,得直线l:y=x-3.
联立消去y,得x2-18x+9=0,
Δ=182-4×9>0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=18,
∴|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+p=18+6=24.
能力提升练
1.B　由题意设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),因为点M(3,y0)到焦点F的距离为6,所以|MF|=3+=6,则p=6,所以抛物线的方程为y2=12x,令x=3,可得=36,所以|OM|=.故选B.
2.A　由题意得,线段AB与OP互相垂直平分,则四边形OAPB为菱形.设点P(2t,0),t>0,则线段OP的垂直平分线l的方程为x=t,令l与x轴交于点H,如图,
因为∠OAP=120°,所以∠OAH=∠OAP=60°,所以|AH|=,所以点A的坐标为,将其代入抛物线C:y2=8x,得=8t,所以t=24,在直角三角形OAH中,|OA|=2|AH|=2×,所以四边形OAPB的周长为4|OA|=64.故选A.
BD　由x=2,得x2=4y(x≥0),则曲线x=2为抛物线x2=4y的右半部分(包括原点).抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线l:y=
-1,=|PF|≥1,故A错误.由抛物线的定义易知B正确.原点到直线y=-x-2的距离为,其为点P到直线y=-x-2的距离的最小值,故C错误.设点A(1,5)到准线l:y=-1的距离为d,则=|PF|+|PA|≥d=5+1=6,故D正确.故选BD.
4.D　解法一:由题意知F,准线l的方程为x=-,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,由,得,即x2=(3p-2x1)①.由题意知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(k≠0),代入抛物线方程并整理,得k2x2-(k2p+2p)x+=0,所以x1x2=②.联立①②,消去x2得2-3px1+p2=0,解得x1=p或x1=(舍去),所以|y1|=p,因为·|y1|=5,所以,所以p=2,所以准线l的方程为x=-1,故选D.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),∠xFA=θ,则|AF|=,因为,所以|AF|=2|FB|,即,解得cos θ=,
则sin θ=,因为四边形AA1CF是直角梯形,其中|CF|=p,|AA1|=|AF|=p,高为|AF|sin θ=p·p,所以四边形AA1CF的面积为,所以p=2,所以准线l的方程为x=-1,故选D.
5.ABD　由抛物线Γ:y2=2px可得F.
设直线AB的方程为x=ty+,
由得y2-2pty-p2=0,
∴y1y2=-p2,
同理可得y3y4=-p2,故A正确.
由对称性可知,若直线AD过定点,则定点在x轴上,假设定点为M(m,0),
由直线BC经过点N,可得,
∴y2,
∴p2,
∵y1y2=-p2,y3y4=-p2,∴y1y4=-2p2,
由A,M,D三点共线得,
∴(x1-m)y4=(x4-m)y1,∴y1,
∴=p,
∴直线AD过定点(p,0),故B正确.
kBC=,同理kAD=,不为常数,故C错误.
设直线AD的方程为x=ny+p,
由得y2-2pny-2p2=0,
∴y1+y4=2pn,y1y4=-2p2,
∴|AD|=·|y1-y4|=,
当n=0时,|AD|的值最小,最小值为2p,故D正确.
故选ABD.
6.答案　B
信息提取　①凹槽的截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10];②清洁钢球的截面为圆;③求球的最大半径.
数学建模　建立抛物线与圆的位置关系求解实际问题.根据所给抛物线方程作出相应的平面直角坐标系,设钢球的圆心为(0,y0)(y0>0),表示出抛物线上的点(x,y)与圆心之间的距离的平方,结合钢球需触及凹槽的最底部这一条件,根据二次函数的性质求出y0的取值范围,即可确定清洁钢球的最大半径.
解析　如图所示:
设钢球的圆心为(0,y0)(y0>0),若钢球触及凹槽的最底部,则钢球的半径r=y0,抛物线上的点(x,y)与圆心之间的距离的平方为d2=x2+(y-y0)2=2y+(y-y0)2=y2+2(1-y0)y+,
若d2的最小值在(0,0)时取到,则钢球触及凹槽的最底部,
故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧,所以1-y0≥0,所以y0≤1,
所以0所以清洁钢球的最大半径为1.
7.答案　
解析　如图所示:
由抛物线的定义可知|BF|=|BM|,F.
∵AM⊥MF,∴由直角三角形的性质可知B为线段AF的中点,
∴B,
把点B的坐标代入抛物线方程,得1=2p×,解得p=(负值舍去),
∴B,
∴S△AFM=2S△BFM=2×.
8.答案　
解析　因为点A(1,2)在抛物线上,所以4=2p,解得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0).
设动点P(x,y)(x≥0),则y=±2,不妨令P(x,2),结合抛物线的定义可知x=|PF|-1,
当x=0时,P(0,0),=0;
当x>0时,,当且仅当x=2时取“=”.
综上可知,.
9.解析　(1)由题可知|y0|=4,
∵|DE|=,
整理,得p2-68p+256=0,
解得p=4或p=64,
∵0∴抛物线C的方程为y2=8x.
(2)证明:当直线l的斜率为0时,直线l与抛物线交于一点,不符合题意,
∴直线l的斜率不为0,
可设直线l的方程为x=my+n(n≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x并整理,得y2-8my-8n=0,
则Δ=64m2+32n,y1+y2=8m,y1y2=-8n,
∴x1·x2==n2,
∵OA⊥OB,∴=x1x2+y1y2=n2-8n=0,
∴n=8,此时满足Δ>0,
∴AB过定点(8,0).
1§3　抛物线
3.1　抛物线及其标准方程
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　抛物线的定义
1.在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　　
D.既不充分也不必要条件
2.已知动圆M经过定点A(1,0),且和直线x=-1相切,则点M的轨迹方程为(　　)
A.y2=2x　　　　　　 B.y2=4x
C.y2=-2x　　　　　　D.y2=-4x
3.若点P与点(0,2)之间的距离比点P到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为(　　)
A.y2=4x　　　B.x2=4y　　　C.y2=8x　　　D.x2=8y
题组二　抛物线的标准方程及其应用
4.抛物线y2=x的准线方程为(　　)
A.x=
C.x=-
5.已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6,则p=(　　)
A.2　　　B.3　　　C.6　　　D.8
6.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,若点A(,2)在C上,则|AF|=(　　)
A.
7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P(0,2),点Q在抛物线C上,且PQ⊥PF,则|QF|=(　　)
A.4　　　B.5　　　C.8　　　D.9
8.抛物线x=上的点与其焦点的距离的最小值为(　　)
A.2　　　B.1　　　C.
9.已知抛物线y2=-8x的焦点与双曲线-y2=1的左焦点重合,则实数m的值为　　　　.
10.已知抛物线C的准线与圆M:(x+2)2+(y+2)2=16相切,请写出一个抛物线C的标准方程:　　　　.
11.分别根据下列条件,求抛物线的标准方程.
(1)准线方程是4y+1=0;
(2)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(3)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组　抛物线的标准方程及其应用
1.抛物线有如下光学性质:经过抛物线焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴(或在对称轴上);反之,平行于抛物线对称轴(或在对称轴上)的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线E:y2=2px(1A.　　　D.3
2.设A是抛物线C:y2=-4x上的动点,B是圆M:(x+8)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值为(　　)
A.-1
C.2-1　　　　　　 D.27
3.已知抛物线C:y=x2的焦点为F,O为坐标原点,点A在抛物线C上,且|AF|=2,P是抛物线C的准线上一动点,则|PA|+|PO|的最小值为(　　)
A.
C.3
4.(多选题)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A,B是抛物线上两动点,下列说法正确的有(　　)
A.抛物线的准线方程为x=-1
B.若|AF|+|BF|=8,则线段AB的中点到x轴的距离为3
C.以线段AF为直径的圆与x轴相切
D.以线段AB为直径的圆与准线相切
5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,与x轴平行的直线与C和l分别交于A,B两点,若|AF|=|BF|,则|AB|=　　　　.
6.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　.
7.已知O为坐标原点,P(a,0)(a>0),Q为抛物线y2=x上任意一点,且|PQ|≥|PO|恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
8.某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示),发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处(如图②所示),已知接收天线的口径(直径)为4.8 m,深度为1 m,求该抛物线的标准方程及其焦点坐标.
答案与分层梯度式解析
§3　抛物线
3.1　抛物线及其标准方程
基础过关练
1.B　当定点在定直线上时,点P的轨迹可以是过该定点且与该定直线垂直的直线;若点P的轨迹为抛物线,则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,故应为必要不充分条件.故选B.
2.B　因为动圆M经过定点A(1,0),且和直线x=-1相切,所以点M到点A(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,即M的轨迹是以点A(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则=1,解得p=2,故所求轨迹方程为y2=4x.故选B.
3.D　由题意得,点P与点(0,2)之间的距离等于点P到直线y=-2的距离,所以点P的轨迹是以(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,设其方程为x2=2py(p>0),则=2,解得p=4,所以点P的轨迹方程是x2=8y.故选D.
4.D　抛物线y2=x的焦点在x轴上,且开口向右,故2p=1,∴-,∴抛物线y2=x的准线方程为x=-,故选D.
5.C　记抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,作MN⊥l,垂足为N,如图,
由抛物线的定义可知,|MN|=|MF|,则3+=6,解得p=6.故选C.
6.C　解法一:因为点A(,2)在C上,所以()2=2p·2,解得p=,所以C:x2=y,其准线方程为y=-.
由抛物线的定义知,|AF|=2+.故选C.
解法二:因为点A(,2)在C上,所以()2=2p·2,解得p=,所以F,
所以|AF|=.故选C.
7.B　由题意得F(1,0),设Q(y0≥0),因为PQ⊥PF,所以=0,则·(1,-2)=0,所以-2(y0-2)=0,即-8y0+16=0,所以y0=4,所以Q(4,4),所以|QF|=4+1=5,故选B.
8.B　抛物线的方程可化为y2=4x,设焦点为F,则F(1,0),准线方程为x=-1.设抛物线上的动点P(x0,y0),根据抛物线的定义可知,|PF|=1+x0,因为x0∈[0,+∞),所以|PF|=1+x0≥1,故该抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为1.故选B.
9.答案　3
解析　易得抛物线y2=-8x的焦点为(-2,0),结合题意得m+1=(-2)2,则m=3.
10.答案　y2=-8x(答案不唯一)
解析　若抛物线的对称轴为坐标轴,顶点为原点,
则抛物线C的准线方程可能为x=2,x=-6,y=2,y=-6,
所以抛物线C的标准方程可能为y2=-8x,y2=24x,x2=-8y,x2=24y.
11.解析　(1)准线方程4y+1=0可化为y=-,所以抛物线的焦点在y轴上,开口向上,设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),则,所以p=,
所以抛物线的标准方程是x2=y.
(2)双曲线的标准方程为- =1,左顶点为(-3,0),
所以抛物线的焦点为(-3,0),所以抛物线的开口向左,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则=3,所以p=6,
所以抛物线的标准方程是y2=-12x.
(3)若抛物线的开口向右,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),当y=-3时,x=,
则|AF|==5,即p2-10p+9=0,解得p=1或p=9,
所以抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.
若抛物线的开口向左,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),当y=-3时,x=-,
则|AF|==5,解得p=1或p=9,
所以抛物线的标准方程为y2=-2x或y2=-18x.
综上可知,抛物线的标准方程为y2=±2x或y2=±18x.
能力提升练
1.D　由题知抛物线的焦点F,AB∥x轴,将y=2p代入y2=2px,得x=2p,则B(2p,2p),由题可知B,F,C三点共线,所以直线BC的方程为y=,即y=,代入抛物线方程并整理,得8x2-17px+2p2=0,设该方程的两实根分别为x1,x2,则x1+x2=,则|BC|=x1+x2+p=p,又点A(8,2p)到直线BC的距离d=,由S△ABC=·|BC|·d=p·,解得p=3或p=1(舍去).故选D.
2.C　圆M:(x+8)2+y2=1的圆心为M(-8,0),半径为1,设A,则|AM|2=(m2-24)2+28,当m2=24时,|AM|2取得最小值28,所以|AM|min=2,所以|AB|min=2-1.故选C.
3.A　易得抛物线的准线方程为y=-1.
∵|AF|=2,∴点A到准线的距离为2,故A点的纵坐标为1,把y=1代入抛物线方程,可得x=±2.
不妨设点A在第一象限,则A(2,1),设点O关于准线y=-1的对称点为M,则M(0,-2),连接AM,PM,如图:
则|PO|=|PM|,于是|PA|+|PO|=|PA|+|PM|≥|AM|,当且仅当A,P,M三点共线时,等号成立.
故|PA|+|PO|的最小值为|AM|=.故选A.
4.BC　对于A,抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,焦点为F(0,1),故A错误;对于B,设点A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y1+y2+2=8,解得y1+y2=6,所以线段AB的中点到x轴的距离为=3,故B正确;对于C,|AF|=y1+1,AF的中点坐标为,所以AF的中点到x轴的距离为|AF|,所以以线段AF为直径的圆与x轴相切,故C正确;对于D,因为点A,B没有任何限制条件,可以是抛物线上任意两点,所以以线段AB为直径的圆与准线不一定相切,故D错误.故选BC.
5.答案　4
解析　由抛物线的定义可知|AF|=|BF|=|AB|,所以△ABF为等边三角形.
设准线l与x轴交于点H,则|FH|=2,∠FBH=30°,所以|AB|=|BF|=2|FH|=4.
6.答案　6
解析　由题意得,F,准线方程为y=-.将y=-=1,得x=±,又△ABF为等边三角形,∴|AF|=,由勾股定理得|AF|2-=p2,可得p2=36,又p>0,∴p=6.
7.答案　
解析　设Q(x0,y0),则=x0.
因为|PQ|≥|PO|恒成立,
所以≥a,
则有-2ax0+x0=x0(x0-2a+1)≥0,
因为x0≥0,所以有x0-2a+1≥0,
进而有a≤恒成立,故a≤.
又a>0,所以a的取值范围是.
8.信息提取　①曲面与轴截面的交线为抛物线;②接收天线的口径(直径)为4.8 m,深度为1 m;③求抛物线的标准方程及其焦点坐标.
数学建模　建立抛物线模型研究实际问题.在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点与原点重合,焦点在x轴正半轴上(焦点在坐标轴上的位置可任选,合理即可),根据题意将有关数据转换成抛物线上的点的坐标,从而求得抛物线的标准方程以及焦点坐标.
解析　如图所示,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点与原点重合,焦点在x轴正半轴上.
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由已知条件可得,点A(1,2.4)在抛物线上,
所以2.42=2p,解得p=2.88,
所以抛物线的标准方程为y2=5.76x,焦点坐标为(1.44,0).
1(共15张PPT)
§3 抛物线
知识点 1 抛物线的定义
知识 清单破
　　平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛
物线.
这个定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线.
知识点 2 抛物线的标准方程及其简单几何性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦点坐标
准线方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
对称轴 x轴 y轴
顶点 坐标原点 离心率 e=1 参数p的 几何意义 参数p表示焦点到准线的距离,p越大,开口越大 知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.抛物线实质上就是双曲线的一支. (　 )
2.方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,其焦点坐标是 ,准线方程是x=
- .(　 )
3.无论抛物线的开口方向如何变化,焦点到准线的距离始终是不变的. (　 )


√
提示
抛物线与双曲线有本质的区别,双曲线有渐近线,而抛物线没有.
方程y=ax2(a≠0)化为标准形式为x2= y(a≠0),它表示焦点在y轴上的抛物线,其焦点坐标
为 ,准线方程是y=- .
提示
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且垂直于对称轴的弦长是p. (　 )
5.在抛物线的标准方程中,p(p>0)是焦点到准线的距离. (　 )
6.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为焦点,则|PF|=x0+ . (　 )
√
√

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于点 , ,所以弦长为2p.
提示
1.求抛物线的标准方程的步骤
(1)定位:根据题中条件确定抛物线的焦点位置并设出方程.
(2)定量:求出方程中p的值,从而求出方程.
2.求抛物线标准方程的两种常用方法
(1)定义法:先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义,若符合,再根据定义求出方程.
(2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件确定参数的值.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 抛物线的标准方程
典例 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A(2,m)是抛物线C上的一点,且|AF|=4,则抛物线C的
方程是 (　 )
A.y2=4x　 B.y2=8x
C.y2=16x　 D.y2=32x
B
解析 由题意可得|AF|=2+ =4,解得p=4,则抛物线C的方程是y2=8x,故选B.
1.抛物线的几何性质与抛物线的标准方程密切相关,通过先定性(开口方向),再定量(焦准距p)
建立它们的联系.
2.抛物线与双曲线的一支都是开口的不封闭的光滑曲线,但它们有本质的区别,双曲线有渐近
线,而抛物线没有.作图时通常用有无渐近线来区分它们.
3.与椭圆、双曲线比较,抛物线性质的特点
(1)抛物线只位于半个坐标平面内,显然它可以无限延伸,但没有渐近线.
(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心.
(3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,还有一条准线.
(4)抛物线的离心率是确定的(e=1).
讲解分析
疑难 2 抛物线的几何性质
4.抛物线的通径
(1)抛物线的通径:过焦点且与对称轴垂直的直线与抛物线交于两点M1,M2,线段M1M2叫作抛物
线的通径,将x= 代入y2=2px(p>0),得y=±p,故抛物线y2=2px(p>0)的通径长为2p.
(2)通径的几何意义:通径长为2p,p越大,通径越长,抛物线的开口越大;反之,p越小,通径越短,抛
物线的开口越小.
典例 已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2x上,求这个正三角
形的边长.
解析 由题意得,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设其中一个顶点的坐标为 (y0>
0),边长为a,
则有tan = ,解得y0=2 ,
又sin = = ,所以a=4 .
有关抛物线焦点弦的结论
如图,已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜
角为θ,则有:

(1)|AB|=x1+x2+p= ;
讲解分析
疑难 3 抛物线的焦点弦问题
(2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2;
(3)|AF|= ,|BF|= ;
(4) + = ;
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切;
(6)以AB为直径的圆与准线相切;
(7)A,O,B'共线,A',O,B共线;
(8)∠A'FB'=90°;
(9)S△AOB= ;
(10)抛物线在A,B处的切线互相垂直且交点在准线上.
典例 已知抛物线y2=4x,经过其焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于M,N两点,且|MF|
=3|NF|,则k=　　　 .
解析 解法一:分别过M,N两点作准线的垂线,垂足分别为P,Q,过N向PM作垂线,垂足为S,
设|NF|=m(m>0),则|MF|=3m,
由抛物线的定义得|MP|=3m,|NQ|=m,
所以|MS|=2m,|MN|=m+3m=4m,
则sin∠MNS= = ,即∠MNS=30°,
故直线l的倾斜角等于60°,
所以k=tan 60°= .
解法二:设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ ,
因为|MF|= ,|NF|= ,且|MF|=3|NF|,
所以 = ,
解得cos θ= ,
所以k=tan θ= .
解法三:抛物线y2=4x中,p=2,
所以 + = =1,
又因为|MF|=3|NF|,
所以|MF|=4,|NF|= ,
于是|MN|= .
设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ ,
所以 = ,
解得sin θ= (负值舍去),
故k=tan θ= .
方法点拨 解决抛物线的焦点弦问题,熟记常用的结论非常关键,这样可以快速解决问题.

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