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　　直线与圆锥曲线的交点个数体现了直线与圆锥曲线的位置关系,判断直线l与圆锥曲线C
的位置关系时,可将直线l的方程与曲线C的方程联立,消去变量y(或x),得到一个关于变量x(或
y)的方程,再根据此方程进行判断.下面以消去变量y得到方程ax2+bx+c=0为例进行说明:
(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线
C相离.
(2)当a=0时,即得到一个一元一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双
曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行或重合于抛物线的对称轴.
提醒 (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交.当
§4 直线与圆锥曲线的位置关系
知识点 1 直线与圆锥曲线的交点
知识 清单破
直线与双曲线的渐近线平行且直线与双曲线相交时,直线与双曲线只有一个交点;当直线与
抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交,也只有一个交点.
(2)过双曲线外一点P的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下:
①P点在两条渐近线之间(不包括两条渐近线)且含虚轴的区域内时,有与渐近线平行的两条
直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共4条与双曲线只有一个公共点的直线;
②P点在两条渐近线之间(不包括两条渐近线)且含实轴的区域内时,有与渐近线平行的两条
直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共4条与双曲线只有一个公共点的直线;
③P点在两条渐近线上但非原点时,只有两条与双曲线只有一个公共点的直线:一条是与另一
渐近线平行的直线,一条是切线;
④P为原点时不存在这样的直线.
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点.
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ·|x2-x1|=
或|AB|= ·|y2-y1|= .直线的斜率不存在
时,|AB|=|y1-y2|.
知识点 2 弦长公式
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切. (　 )
2.过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2+ =1相交. (　 )
3.过点A(1,0)作与双曲线x2-y2=1只有一个公共点的直线,这样的直线可作2条. (　 )
4.若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切. (　 )
√
√


可作3条,其中1条垂直于x轴,另外2条分别平行于两条渐近线.
提示
1.直线与圆锥曲线相交所得弦的长
解决相交弦的长度问题,有两种方法:
(1)求出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,用两点间的距离公式求弦长;
(2)根据“设而不求”的思想,通过一元二次方程根与系数的关系,并借助弦长公式求解.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 直线与圆锥曲线的相交弦问题
2.直线与圆锥曲线相交弦的中点问题
　　直线与圆锥曲线相交弦的中点问题即中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差
法”求解.
(1)利用根与系数的关系:将直线方程与圆锥曲线的方程联立,消元后得到一个一元二次方程,
利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.
(2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入圆锥曲线方程,
通过作差,构造关于x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2的式子,从而建立中点坐标和斜率的关系.
典例 过点P(4,2)作直线AB,与双曲线C: -y2=1相交于A,B两点,若P为线段AB的中点,则|AB|=
(　 )
A.2 　 B.2 　 C.3 　 D.4
D
解析 解法一:由题意可知,直线AB的斜率存在.设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k
(x-4)+2.
由 消去y并整理,得(1-2k2)·x2+8k(2k-1)x-32k2+32k-10=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为P(4,2)为线段AB的中点,
所以x1+x2=- =8,解得k=1,
所以x1x2= =10,
所以|AB|= · =4 .
故选D.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则 - =1①, - =1②.
①-②得 (x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.
因为P(4,2)为线段AB的中点,
所以x1+x2=8,y1+y2=4.
所以4(x1-x2)-4(y1-y2)=0,
即x1-x2=y1-y2,
所以直线AB的斜率k= =1,
则直线AB的方程为y=x-2.
由 消去y并整理,得x2-8x+10=0,
所以x1+x2=8,x1x2=10,
所以|AB|= · =4 .
故选D.
解决圆锥曲线中的最值与范围问题,一般有两种途径:一是利用代数方法,即把要求的几何量
或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(或解析式),常用的代数方法有:判别式法、不等式
法、函数最值法;二是从几何角度考虑,利用圆锥曲线的定义、几何性质以及图形的几何性
质求解.
讲解分析
疑难 2 圆锥曲线中的最值与范围问题
典例 抛物线y=2x2上有一动弦AB,其中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为( )
A. 　 B. 　 C. 　 D.1
A
解析 易知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+b,
由 得2x2-kx-b=0,
由题意可得Δ>0,即k2+8b>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2= ,x1x2=- ,
因为|AB|= · =3,
所以b= × ,AB的中点M的纵坐标yM= = + =(x1+x2)2-2x1x2= +b= +
= + - ≥2 - = ,当且仅当 = ,即k=± 时取等号,
所以点M的纵坐标的最小值为 ,故选A.
　　圆锥曲线中的探索性问题主要包括定值、定点等存在性问题.解决方法如下:
(1)从特殊情况入手,探索定值、定点,再推理论证该定值、定点与变量无关.
(2)直接推理计算,并在计算推理过程中消去参数,或求出参数的值,从而得到定值、定点.
讲解分析
疑难 3 圆锥曲线中的探索性问题
典例 已知椭圆C:x2+2y2=a2(a>0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线y=k(x-1)与椭圆C交于A,B两点,在x轴上是否存在点M(m,0),使得对任意的k∈R,
· 为定值 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解析 (1)设椭圆的短半轴长为b,半焦距为c,则b2= ,
由c2=a2-b2得c2=a2- = ,
由题意得 ×b×2c=4,
即 × ×2 =4,
所以a2=8,b2=4,
故椭圆C的方程为 + =1.
(2)存在.
由 得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2= ,x1x2= ,
所以 · =(x1-m,y1)·(x2-m,y2)
=x1x2-m(x1+x2)+m2+k2(x1-1)(x2-1)
=(k2+1)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+k2+m2
=(k2+1)· -(m+k2)· +k2+m2
=- +m2,
当5+4m=16,即m= 时, · =- ,为定值,
故存在点M ,使得 · 为定值.4　直线与圆锥曲线的位置关系
4.1　直线与圆锥曲线的交点
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　直线与椭圆的交点
1.直线y=x被椭圆x2+=1所截得的线段的长度为(　　)
A.
2.若直线mx-ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数是(　　)
A.至多为1　　　　　　B.2
C.1　　　　　　 D.0
3.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆=1总有公共点,则实数m的取值范围为　　　　.
题组二　直线与双曲线的交点
4.直线y=x+3与双曲线=1(a>0,b>0)的交点个数是(　　)
A.1　　　B.2　　　C.1或2　　　D.0
5.若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是　　(　　)
A.(-)
C.(-)　　　　　　 D.(-1,1)
6.过点P(4,3)与双曲线=1只有一个公共点的直线的条数为　(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
题组三　直线与抛物线的交点
7.若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有(　　)
A.1条　　　B.2条　　　C.3条　　　D.4条
8.两条直线y=kx(k>0),y=-2kx分别与抛物线y2=4x交于异于原点的A,B两点,且直线AB过点(1,0),则k=(　　)
A.　　　D.2
9.已知直线x-y+=0与抛物线y=x2交于A,B两点,过线段AB的中点P作一条垂直于x轴的直线m与直线l:y=-交于点Q,则△QAB的面积为(　　)
A.
10.已知抛物线C:y2=2px(p>0),A是抛物线C上的点.
(1)求抛物线C的方程及p的值;
(2)直线l与抛物线C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,y1y2<0,且=3,求|y1|+2|y2|的最小值并证明直线l过定点.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　直线与圆锥曲线的交点
1.斜率存在的直线l过点(0,-1)且与双曲线C:-x2=1有且只有一个公共点,则直线l的斜率为(　　)
A.±　　　　　　B.±2
C.2或或±2
2.曲线=1与直线=1的公共点的个数为(　　)
A.3　　　B.2　　　C.1　　　D.0
3.已知动圆M恒过点F(1,0),且与直线x=-1相切,设圆心M的轨迹为曲线C,直线l1:x-my-=0与曲线C交于P,Q两点(点P在x轴上方),与直线x=-1交于点R,若|QF|=3,则=(　　)
A.
4.已知两点A(-4,0),B(4,0),若直线上存在点P,使得|PA|-|PB|=4,则称该直线为“点定差直线”.下列直线中,不是“点定差直线”的是(　　)
A.2x-y+4=0　　　　　　 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0　　　　　　D.x-y+1=0
5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线l与一条渐近线垂直,垂足为M,直线l交双曲线右支于点N,,则双曲线的离心率e=(　　)
A.　　　D.2
6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点,若,则点A的坐标为　　　　.
7.设经过抛物线y2=8x的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于C点,则cos∠ACB=　　　　.
8.已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率的积为,记M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)已知直线l:y=x-3与曲线C交于D,E两点,且曲线C上存在点P,使得(O为坐标原点),求m的值及点P的坐标.
9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),上顶点为B(0,2).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.
题组二　与交点有关的最值(或范围)问题
10.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A.[2,+∞)　　　　　　B.(1,2)
C.(2,+∞)　　　　　　D.(1,2]
11.若点(m,n)在椭圆9x2+y2=9上,则的最小值为(　　)
A.-　 B.-　 C.-　 D.-
12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A,B是椭圆C的长轴的端点,直线x=m(-aA.
13.过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,Q(1,2).若,则|PF|+|PQ|的最小值是(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
14.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心,C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点,分别记为M,N,若四边形F1MF2N的周长为4,则C的焦距的取值范围为　　　　.
15.若M是椭圆=1上的任意一点,则点M到直线x+y-7=0的距离的最大值为　　　　.
16.已知O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点F2恰为抛物线D:y2=4x的焦点,以F1F2为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l与D相交于A,B两点,记点A,B到直线x=-1的距离分别为d1,d2,|AB|=d1+d2.直线l与C相交于E,F两点,记△OAB,△OEF的面积分别为S1,S2.
①证明:△EFF1的周长为定值;
②求的最大值.
答案与分层梯度式解析
§4　直线与圆锥曲线的位置关系
4.1　直线与圆锥曲线的交点
基础过关练
1.B　联立=1,所以x=±,所以y=±.故直线y=x被椭圆x2+=1所截得的线段的长度为.故选B.
2.B　由题意知,圆心(0,0)到直线mx-ny-4=0的距离d=>2,整理得m2+n2<4,所以P(m,n)在以(0,0)为圆心,2为半径的圆内,又因为椭圆=1中a=3,b=2,所以P(m,n)在椭圆内,所以过点P(m,n)的直线与椭圆=1有2个交点.
3.答案　1≤m<5
解析　由题意得0因为直线y=kx+1过定点(0,1),设为P,且直线与椭圆=1总有公共点,
所以点P在椭圆上或在椭圆的内部,即≤1,解得m≥1,
所以1≤m<5.
4.A　双曲线=1的渐近线方程为y=±x,因为直线y=x+3与双曲线的一条渐近线平行,且在y轴上的截距为3,所以直线y=x+3与双曲线=1的交点个数是1.故选A.
5.D　当直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点,如图所示:
因为直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,所以实数k的取值范围为(-1,1),故选D.
6.B　因为双曲线的方程为=1,所以a=4,b=3,其渐近线方程为y=±x,易知点P(4,3)在直线y=x上,如图所示:
当过点P(4,3)的直线与直线y=-x平行或与x轴垂直(过右顶点)时,与双曲线只有一个公共点,
所以这样的直线有2条.故选B.
7.C　(1)当直线l的斜率不存在时,直线l为y轴,与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,符合题意.
(2)①当直线l与抛物线y2=2x的对称轴平行,即直线l的方程为y=2时,与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,符合题意;
②当直线l的斜率存在且不为0时,设直线方程为y=kx+2(k≠0),代入抛物线方程 y2=2x,消去y,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,则Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,故直线l的方程为y=x+2.
综上,符合题意的直线l共有3条.故选C.
8.C　联立x≠0,可得即A,
同理可得B,
因为直线AB过点(1,0),所以kAB=,解得k2=2,又k>0,所以k=.故选C.
9.B　联立不妨令A,B,如图,
因为P为线段AB的中点,所以P,
则|PQ|==1,
所以S△QAB=|PQ|·.故选B.
10.解析　(1)将A的坐标代入y2=2px,得p=1,∴抛物线C的方程为y2=2x.
(2)设直线l的方程为x=my+t,
由消去x并整理,得y2-2my-2t=0,
∴y1+y2=2m,y1y2=-2t<0,即t>0.
∴+y1y2=t2-2t=3,解得t=3或t=-1(舍去),
∴y1y2=-6,
∴|y1|+2|y2|≥2,
当且仅当|y1|=2|y2|,即|y1|=2时等号成立.
∴|y1|+2|y2|的最小值为4.
∵t=3,∴直线l:x=my+3,其恒过定点(3,0).
能力提升练
1.D　由题意,设直线l的方程为y=kx-1,代入双曲线方程,化简可得(k2-4)x2-2kx-3=0,当k2=4,即k=±2时,(k2-4)x2-2kx-3=0只有一解,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点;当k≠±2时,令Δ=4k2+12(k2-4)=0,解得k=±,此时方程有两个相等的实数根,满足直线l与双曲线有且只有一个公共点.综上,k=±2或k=±.故选D.
2.B　当y≥0时,曲线=1的方程为=1,表示椭圆的上半部分(含与x轴的交点),此时曲线与直线=1的交点为(0,3),(4,0);
当y<0时,曲线=1的方程为=1,表示双曲线在x轴下方的部分,
其一条渐近线方程为=0,此时曲线与直线=1无交点.
综上所述,曲线=1与直线=1的公共点的个数为2.
故选B.
3.C　由题意得,点M与点F(1,0)之间的距离等于点M到直线x=-1的距离,所以点M的轨迹为抛物线,其方程为y2=4x,
如图所示,
由抛物线的定义得,|QF|=3=xQ+1,解得xQ=2.
联立消去y并整理,得x2-(4m2+2)x+5=0,∴2xP=5,得xP=,
则.故选C.
4.A　结合双曲线的定义,满足|PA|-|PB|=4的点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线C的右支,易得双曲线C的标准方程为=1,渐近线方程为y=±x,
依题意,若某直线为“点定差直线”,则这条直线必与双曲线C的右支相交,
直线x-y+1=0,x-y+1=0与双曲线C的右支相交,
直线x+y-1=0与双曲线C的一条渐近线平行,与右支有一个交点,
直线2x-y+4=0与双曲线C无交点,
故选A.
5.B　已知F1(-c,0),不妨取其中一条渐近线为y=-x,
由两直线垂直,斜率乘积为-1,得过F1的直线l的方程为y=(x+c),
由所以点M的坐标为,
因为,所以yN=4yM,故yN=,
因为点N在直线l上,所以(x+c),得x=,所以点N的坐标为,
又点N在双曲线上,所以=1,
化简,得9c2=25a2,故e=.故选B.
6.答案　(2,2)或(2,-2)
解析　由题意可知,抛物线的焦点为F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1,
由消去x得y2-4my-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4,
∵,∴-y1=2y2,即y2=-,
∴y1y2=-=-4,解得y1=±2=2,
∴点A的坐标为(2,2)或(2,-2).
7.答案　
解析　由题意得F(2,0),C(-2,0),直线l的方程为y=x-2,不妨设点A在第一象限,如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,并整理得x2-12x+4=0,
解得x1=6+4,
则A(6+4),
故|AC|=,
|BC|=,
|AB|=x1+x2+4=16,
在△ABC中,由余弦定理,得cos∠ACB=.
8.解析　(1)因为动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率的积为,所以,
即曲线C的方程为=1(x≠±2),C是除去左、右两个顶点的双曲线.
(2)联立消去y,得x2-12x+22=0.
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=12,y1+y2=x1+x2-6=6,
设P(x0,y0),由得(x1+x2,y1+y2)=(mx0,my0),
故=1,所以m2=18,
所以m=±3,
当m=3时,P(2);
当m=-3时,P(-2).
9.解析　(1)由题意可得c=2,b=2,由a2=b2+c2得a2=22+22=8,
故椭圆C的方程为=1.
(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G的坐标为(x0,y0),
由消去y,得3x2+4mx+2m2-8=0,则Δ=96-8m2>0,所以-2,
因为x1+x2=-,
所以x0=,
又因为点G(x0,y0)在圆x2+y2=1上,
所以=1,
解得m=±,满足-2,
所以m的值为±.
10.A　若直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率的绝对值,即≥4,∴e≥2.故选A.
11.D　求的最小值即求点(m,n)与点(3,0)连线的斜率的最小值,设过点(m,n)和点(3,0)的直线方程为y=k(x-3),联立 (9+k2)x2-6k2x+9(k2-1)=0,
易知当Δ=0时,直线斜率取得最小值,即Δ=(-6k2)2-4(9+k2)[9(k2-1)]=0 k2=,故当k=-时,斜率取得最小值,即的最小值为-.故选D.
12.C　由题意,不妨设A(-a,0),B(a,0),P(m,y0),Q(m,-y0),
将点P的坐标代入椭圆C的方程,得=1,
∴,
∵k1=,
∴k1k2=,
故k1,k2同号,
故≥2,当且仅当4|k1|=|k2|=时取等号,
即.
故选C.
13.C　解法一:由题意可知F,直线AB的斜率存在且不为0.
设直线AB的方程为y=kx+,代入x2=2py得x2-2pkx-p2=0.
由根与系数的关系得xA+xB=2pk,xAxB=-p2,
所以|AB|=2p(1+k2).同理,|CD|=2p.
所以,
所以2p=4,即p=2.故x2=4y.分别过点P,Q作PM,QN垂直于抛物线的准线于M,N,连接MQ(图略),则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|≥|QN|=3,当Q,P,M三点共线且M与N重合时,等号均成立.故选C.
解法二:设直线AB的倾斜角为θ,直线CD的倾斜角为β,β>θ,则,
因为两条焦点弦互相垂直,所以β=+θ,
所以,所以2p=4,即p=2.故x2=4y.
分别过点P,Q作PM,QN垂直于抛物线的准线于M,N,连接MQ(图略),则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|≥|QN|=3,当Q,P,M三点共线且M与N重合时,等号均成立.故选C.
方法点拨　抛物线的焦点弦公式
已知AB是过抛物线的焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角是θ,直线AB的斜率为k.对于抛物线y2=2px(p>0),焦点弦|AB|=;对于抛物线x2=2py(p>0),焦点弦|AB|==2p(1+k2).
14.答案　[,2)
解析　易知点M,N关于x轴对称,且|MF2|=b,由双曲线的定义可得|MF1|=b+2a,
由题意可得|MF1|+|MF2|=2a+2b=2,所以a+b=1,则b∈(0,1),
所以c2=a2+b2=(1-b)2+b2=2b2-2b+1=2,
所以≤c<1,所以≤2c<2.
当b=时,a=,此时b>c-a,
即此时以F2为圆心,C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点,符合题意.
因此,C的焦距的取值范围为[,2).
15.答案　6
解析　设与直线x+y-7=0平行的直线方程为x+y=m(m≠7),当此直线与椭圆=1相切时,
联立得25x2-18mx+9m2-144=0,
则Δ=(-18m)2-4×25×(9m2-144)=0,
解得m=5或m=-5.所以与直线x+y-7=0平行,且与椭圆=1相切的直线的方程为x+y=±5.
取离直线x+y-7=0较远的切线x+y=-5,
此时切点M是椭圆=1上到直线x+y-7=0的距离最大的点,此距离的最大值等于两平行直线间的距离d=.
16.解析　(1)因为F2为抛物线D:y2=4x的焦点,所以F2(1,0),所以c==1.
又因为以F1F2为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点,所以b=c,
所以a=,b=1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)①证明:由题知,直线x=-1为抛物线D的准线,
由抛物线的定义知|AB|=d1+d2=|AF2|+|BF2|.
又因为|AB|≤|AF2|+|BF2|,当且仅当A,B,F2三点共线时等号成立,
所以直线l过定点F2.
根据椭圆的定义得|EF|+|EF1|+|FF1|=|EF2|+|EF1|+|FF1|+|FF2|=4a=4.
即△EFF1的周长为定值.
②若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1.
此时|AB|=4,|EF|=,所以.
若直线l的斜率存在,则可设直线l:y=k(x-1)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以x1+x2=.
设E(x3,y3),F(x4,y4),
由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
则x3+x4=,
所以|EF|=·|x3-x4|=,
则.
综上,.
14.2　直线与圆锥曲线的综合问题
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　相交弦问题
1.已知双曲线C:x2-y2=2,过其右焦点的直线交双曲线于A,B两点,若AB中点的横坐标为4,则弦AB的长为(　　)
A.3
2.(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点F1,F2在y轴上,短轴长为2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的有(　　)
A.椭圆C的方程为x2+=1
B.椭圆C的方程为+y2=1
C.|PQ|=
D.△PF2Q的周长为4
3.过点M(2,1)的直线l与椭圆=1相交于A,B两点,且M恰为AB的中点,则直线l的方程为　　　　　　　.
4.已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,斜率为1的直线l交抛物线于A,B两点,且|AB|=8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)在抛物线C上求一点D,使得点D到直线x-y+3=0的距离最短.
题组二　直线与圆锥曲线的综合问题
5.已知椭圆C:=1的上、下焦点分别为F1,F2,O为坐标原点.
(1)若点P在椭圆C上,且|PF1|=|PF2|,求∠F1PF2的余弦值;
(2)若直线l:x-y+1=0与椭圆C交于A,B两点,记M为线段AB的中点,求直线OM的斜率.
6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(2,y0)在抛物线C上,且|PF|=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l过点F且与抛物线C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点N,交直线l于点M,求证:为定值.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　与弦长有关的问题
1.已知双曲线C:=1(a>0),过其右焦点F的直线与双曲线C交于A,B两点,且|AB|=16,若这样的直线有4条,则实数a的取值范围是(　　)
A.
C.　　　　　　 D.(0,8)
2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,|AF|=3,则抛物线的标准方程是　　　　.
3.如图,设P是圆x2+y2=16上的动点,点D是点P在x轴上的射影,M为PD的中点.
(1)当点P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截得的线段的长度.
题组二　直线与圆锥曲线的综合问题
4.已知抛物线C:y2=4x,O为坐标原点,过点A(4,0)的一条直线l与拋物线C交于M,N两点,则△MON为(　　)
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角、直角、锐角三角形均有可能
5.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆,这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Г:=1(a>b>0)的蒙日圆为C:x2+y2=a2,过C上的动点M作Г的两条切线,分别与C交于P,Q两点,直线PQ交Г于A,B两点,则下列结论不正确的是(　　)
A.椭圆Г的离心率为
B.△MPQ面积的最大值为a2
C.M到Г的左焦点的距离的最小值为
D.若动点D在Г上且不与A,B重合,直线DA,DB的斜率存在且不为0,分别记为k1,k2,则k1k2=-
6.(多选题)设A,B是抛物线C:y2=4x上的两点,F为抛物线的焦点,O是坐标原点,OA⊥OB,则下列说法正确的是(　　)
A.直线AB过定点(4,0)
B.O到直线AB的距离不大于2
C.|OA|·|OB|≥32
D.连接AF,BF并延长分别交抛物线C于D,E两点,则kDE=4kAB
7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M,则tan∠MF1F2=　　　　.
8.从①离心率e=;②椭圆C过点;③△PF1F2面积的最大值为这三个条件中任选一个,补充在下面横线处,并解决下面两个问题.
设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P,Q两点,已知椭圆C的短轴长为2,　　　　.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若线段PQ的中垂线与x轴交于点N,求证:为定值.
9.如图,已知双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),焦点到渐近线的距离为1.M,N两动点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一象限和第四象限,P是直线MN与双曲线右支的一个交点,,cos∠MON=.
(1)求双曲线C的方程;
(2)当λ=1时,求的取值范围;
(3)试用λ表示△MON的面积S,设双曲线C上的点与其焦点的距离的取值范围为集合Ω,若∈Ω,求S的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
基础过关练
1.D　双曲线C:=1,则c2=4,设双曲线C的右焦点为F,则F(2,0),
易得过F的直线的斜率存在,设直线方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),
由得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0,
所以xA+xB=,
因为AB中点的横坐标为4,所以xA+xB==8,解得k2=2,所以xAxB==10,则(xA-xB)2=(xA+xB)2-4xAxB=82-4×10=24,则|AB|=.故选D.
2.ACD　设椭圆C的方程为=1(a>b>0),
由已知得,2b=2,∴b=1,
又,a2=b2+c2,∴a2=3.
∴椭圆C的方程为x2+=1,故A正确,B错误.
△PF2Q的周长为4a=4,故D正确.
如图,F1(0,-,
∴|PQ|=,故C正确.
故选ACD.
3.答案　x+y-3=0
解析　由椭圆方程得a2=16,b2=8,则a=4,b=2,
因为<1,所以点M在椭圆内.
当直线l的斜率不存在时,直线l:x=2,当x=2时,y=±,不妨令A(2,),
显然M不是线段AB的中点,所以直线l的斜率存在,设为k.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,
两式相减并化简,得-,
即-·k=k k=-1,
所以直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
4.解析　(1)由已知得焦点F,
∴直线l的方程为y=x-,
联立消去y并整理,得x2-3px+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,
|AB|==x1+x2+p=4p=8,∴p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设D,则点D到直线x-y+3=0的距离d=,
当y0=2时,dmin=,此时=1,∴D(1,2).
5.解析　(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=6,
则|PF1|=|PF2|=3,
易知|F1F2|=2,
在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则
①-②得,=0,
则=0,即=0,
即kOM·kAB+=0,
因为直线l:x-y+1=0的斜率kAB=1,
所以kOM=-,故直线OM的斜率为-.
6.解析　(1)由抛物线的定义得|PF|=2+=3,∴p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明:由题意知直线l的斜率存在且不为0,
易知F(1,0),设直线l的方程为x=ty+1(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去x并整理,得y2-4ty-4=0,
则y1+y2=4t,
∴x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,∴M(2t2+1,2t),
∴直线MN的方程为y-2t=-t(x-2t2-1).
令y=0,得x=2t2+3,∴N(2t2+3,0),
∴|MN|2=4+4t2,|FN|=2t2+2,
∴=4,为定值.
能力提升练
1.B　由已知,得F(c,0),在=1(a>0)中,令x=c,则y=±,
当A,B在双曲线的右支上时,则有|AB|min=;
当A,B在双曲线的两支上时,则有|AB|min=2a,
因为|AB|=16,且这样的直线有4条,
所以即实数a的取值范围是.故选B.
2.答案　y2=3x
解析　如图所示,过点A作AA1⊥准线于点A1,过点B作BB1⊥准线于点B1,设准线与x轴交于点D.
由抛物线的定义可知,|AA1|=|AF|=3,|BB1|=|BF|,
∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,
∴在Rt△CB1B中,∠BCB1=30°,
∴在Rt△CA1A中,|AC|=2|AA1|=6,
∴F为线段AC的中点,线段DF为△CA1A的中位线,
∴|DF|==p,
∴抛物线的标准方程为y2=3x.
3.解析　(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x',y'),
由题意得
因为点P在圆x2+y2=16上,所以x'2+y'2=16,
即x2+(2y)2=16,整理得=1,
故点M的轨迹C的方程为=1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),
设该直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y并整理,得89x2-384x+176=0,
所以x1+x2=,
故|AB|=
=
=,
所以所求直线被C所截得的线段的长度为.
4.B　设直线l的方程为x=my+4.
由消去x并整理,得y2-4my-16=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=4m,y1y2=-16.
所以=x1x2+y1y2=(my1+4)(my2+4)+y1y2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16+y1y2=0,
所以OM⊥ON.
故△MON为直角三角形.故选B.
5.B　依题意,过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线,过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线,则这两条垂线的交点(a,b)在圆C上,
所以a2+b2=a2,得a2=2b2,所以椭圆Γ的离心率e=,故A中结论正确;
因为点M,P,Q都在圆C上,且∠PMQ=90°,所以PQ为圆C的直径,所以|PQ|=2×a,
所以△MPQ面积的最大值为a2,故B中结论不正确;
设M(x0,y0),Γ的左焦点为F(-c,0),连接MF(图略),
因为c2=a2-b2=a2,所以|MF|2=(x0+c)2+ax0,
又-a≤x0≤a,
所以(2-)a2≤|MF|2≤(2+)a2,
则M到Γ的左焦点的距离的最小值为,故C中结论正确;
易知直线PQ经过坐标原点,由此易得点A,B关于原点对称,
设A(x1,y1),D(x2,y2),则B(-x1,-y1),k1=,
因为=0,所以,所以k1k2=-,故D中结论正确.
故选B.
6.ACD　当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b,k≠0,与C的方程y2=4x联立并消去y,得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,
因为OA⊥OB,
所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,
即(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,
所以(1+k2)·+kb·+b2=0,解得b=0或b=-4k,
当b=0时,直线AB经过原点,故A,B中有一点与原点重合,不符合题意,舍去,
当b≠0时,b=-4k,直线AB的方程为y=k(x-4),它过定点(4,0).
当直线AB的斜率不存在时,
不妨设A(m,2),m>0,
由OA⊥OB,得=m2-4m=0,
解得m=4或m=0(舍去),
所以直线AB也过定点(4,0).
综上,直线AB过定点(4,0),故A正确.
当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=4,
此时O到直线AB的距离为4,大于2,故B错误.
当直线AB的斜率不存在时,不妨设点A在第一象限,则A(4,4),B(4,-4),
此时|AB|=8,S△ABO=|AB|×4=16;
当直线AB的斜率存在时,b=-4k,
|AB|=,
此时点O到直线AB的距离为,
故S△ABO=>16.
综上,S△ABO≥16.
因为OA⊥OB,所以S△ABO=|OA|·|OB|≥16,即|OA|·|OB|≥32,故C正确.
设直线AB:x=my+4(m≠0),
将x=my+4代入y2=4x,得y2-4my-16=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-16,
由题意得F(1,0),
设直线AD:x=ny+1,D(x3,y3),E(x4,y4),
将x=ny+1代入y2=4x,得y2-4ny-4=0,
则y1y3=-4,则y3=-,
同理可得y4=-,
所以kDE=,
因为kAB=,所以kDE=4kAB,故D正确.
故选ACD.
7.答案　
解析　因为双曲线C的一条渐近线方程是y=x,所以,
又c2=a2+b2,所以,
由题意得,点M的横坐标为c,
将其代入双曲线方程,得=1,即,即y2=,
又点M在x轴的上方,所以M,
所以tan∠MF1F2=.
8.解析　(1)选①,
由题意可得
∴椭圆C的方程为=1.
选②,依题意得2b=2,
∴椭圆的方程为=1.
又点在椭圆上,∴=1,
解得a2=4,故椭圆C的方程为=1.
选③,由题意得当P为上、下顶点时,最大,
因此,,即bc=,
又2b=2,∴c=1,
从而a2=1+3=4.
故椭圆C的方程为=1.
(2)证明:(i)当k=0时,由(1)可得|PQ|=2a=4,|NF1|=c=1,
∴=4.
(ii)当k≠0时,由(1)可得F1(-1,0).
设直线PF1的方程为y=k(x+1),
由消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
显然Δ>0,且x1+x2=-,
∴|PQ|=
=
=,
y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=,
∴线段PQ的中点为,
则线段PQ的中垂线的方程为y-,
令y=0,可得x=-,即N,
又F1(-1,0),
∴|NF1|=,
∴=4,
综上,为定值4.
9.解析　(1)双曲线的渐近线方程为bx±ay=0.
设∠MON=2θ.
由a>0,b>0得tan θ=,所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=,即a2=4b2.
易得=1,所以b=1,所以a2=4,
所以双曲线C的方程为-y2=1.
(2)结合(1),设M(2m,m),N(2n,-n),m>0,n>0,
当λ=1时,,则P,
所以=1,整理得mn=1.
又,
所以mn≤-mn=-1,当且仅当m=n=1时,等号成立.所以∈(-∞,-1].
(3)同(2),设M(2m,m),N(2n,-n),m>0,n>0.
由),
即(1+λ),
则.
所以P.
把点P的坐标代入双曲线的方程得=1,即(m+λn)2-(m-λn)2=(1+λ)2,
所以mn=.
当直线MN的斜率不存在时,其方程为x=2m.
当直线MN的斜率存在时,kMN=,
所以直线MN的方程为y-m=(x-2m),
即(m+n)x-2(m-n)y-4mn=0.
经检验,斜率不存在时,直线方程也满足上式,所以直线MN的方程为(m+n)x-2(m-n)y-4mn=0,
点O到直线(m+n)x-2(m-n)y-4mn=0的距离d=,
又|MN|=,
所以S=·|MN|·d=2mn=+1.
记双曲线的左、右焦点分别为F1(-,0),P(x,y)(x≥2),则|PF1|>|PF2|.
又|PF2|=
=x-2,
所以|PF2|∈[-2,+∞),即双曲线C上的点与其焦点的距离的取值范围Ω=[-2,+∞).
因为∈Ω,所以λ∈[5-10,+∞).
令f(x)=+1,x∈[5-10,+∞),
任取x1,x2∈[5-10,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)·<0,所以f(x1)所以f(x)在x∈[5-10,+∞)上单调递增,
因此f(x)min=f(5,
即Smin=.
所以S∈.
1

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