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第六章　概率
§1　随机事件的条件概率
1.1　条件概率的概念
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　利用定义求条件概率
1.根据历年的气象数据,某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25,刮四级以上大风的概率为0.4,既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2,则在刮四级以上大风的情况下,发生中度雾霾的概率为(　　)
A.0.5　　　B.0.625　　　C.0.8　　　D.0.9
2.逢年过节走亲访友,成年人喝酒是经常的事,但是饮酒过度会影响健康,某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计,一次性饮酒4.8两,诱发某种疾病的频率为0.04,一次性饮酒7.2两,诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率,已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病,则他还能继续饮酒2.4两,未诱发这种疾病的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序,经智能检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检测.已知某批芯片经智能检测显示的合格率为90%,最终的检测结果的次品率为30%,则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下,人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率为　　　　.
题组二　利用古典概型求条件概率
4.甲、乙两名学生在学校组织的课后服务活动中,准备从①②③④⑤这5个项目中分别随机选择其中1个项目,记事件A:甲和乙选择的项目不同,事件B:甲和乙恰好一人选择①,则P(B|A)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
5.袋中装有大小、质地完全相同的3个小球,小球上分别标有数字4,5,6.每次从袋中随机摸出1个小球,记下它的号码,放回袋中,这样连续摸三次.设事件A为“三次记下的号码之和是15”,事件B为“三次记下的号码不全相等”,则P(B|A)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.某校举办中学生乒乓球比赛,高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛,并从中随机选取3人组成代表队参赛,在代表队中既有男生又有女生的条件下,女生甲被选中的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
7.如图所示,对编号为1,2,3,4的格子涂色,有红、黄、蓝、绿四种颜色可供选择,要求相邻格子不同色,则在1号格子涂红色的条件下,4号格子也涂红色的概率是　　　　.
题组三　条件概率的性质及应用
8.(多选题)下列说法错误的是(　　)
A.P(A|B)=P(B|A)
B.0C.若B与C是两个互斥事件,则P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A)
D.P(AB|A)=P(B)
9.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机抽取两瓶,若取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为　　　　.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组　条件概率的综合应用
1.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“四名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(A|B)的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.已知甲罐中有5个红球,5个白球,乙罐中有3个红球,7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球,用A1表示事件“从甲罐中取出的球是红球”,A2表示事件“从甲罐中取出的球是白球”,B表示事件“从乙罐中取出的球是红球”,则下列结论正确的是(　　)
A.P(B|A2)=
B.P(B|A1)=
C.P(B|A1)+P(B|A2)=
D.P(A1A2)=
3.已知某家族有A、B两种遗传性状,该家族某位成员出现A性状的概率为,出现B性状的概率为,A、B两种遗传性状都不出现的概率为,则该成员在出现A性状的条件下,出现B性状的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
4.甲、乙2名同学和另外5名同学站成两排拍照,前排3人,后排4人.若每个人都随机站队,且前后排不认为相邻,则在甲、乙站在同一排的条件下,两人不相邻的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
5.从集合{-3,-2,-1,1,2,3,4}中随机选取一个数记为m,从集合{-2,-1,2,3,4}中随机选取一个数记为n,则在方程=1表示双曲线的条件下,方程=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为　　(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.1889年7月,由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会,会议上宣布将5月1日定为国际劳动节.在五一假期期间,某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班,每天只需1人值班,且每人至少值班1天,已知甲在五一假期期间值班2天,则甲连续值班的概率是　　　　.
7.设b和c分别是抛掷一枚骰子先后两次得到的点数.
(1)求方程x2+bx+c=0有实根的概率;
(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根的概率.
答案与分层梯度式解析
第六章　概率
§1　随机事件的条件概率
1.1　条件概率的概念
基础过关练
1.A　设发生中度雾霾为事件A,刮四级以上大风为事件B,
则P(B)=0.4,P(AB)=0.2,
所以P(A|B)==0.5.
故在刮四级以上大风的情况下,发生中度雾霾的概率为0.5.故选A.
A　设事件A表示“这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病”,事件B表示“这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病”,则P(A)=1-0.04=0.96,
P(B)=1-0.16=0.84,
所以P(B|A)=.
故选A.
3.答案　
解析　设事件A表示“一枚芯片经智能检测为合格品”,事件B表示“人工检测一枚芯片恰好为合格品”,
则P(A)=,
所以P(B|A)=.
4.B　由题意知,n(A)==8,
所以P(B|A)=.故选B.
5.A　事件A所包含的基本事件有(4,5,6),(4,6,5),(5,4,6),(5,6,4),(6,5,4),(6,4,5),(5,5,5),共7个,事件AB所包含的基本事件有(4,5,6),(4,6,5),(5,4,6),(5,6,4),(6,5,4),(6,4,5),共6个,所以P(B|A)=.故选A.
6.B　设事件A表示“代表队中既有男生又有女生”,事件B表示“女生甲被选中”,
则在代表队中既有男生又有女生的条件下,女生甲被选中的概率为P(B|A).
由题意得,n(A)==8+6=14,
∴P(B|A)=.故选B.
7.答案　
解析　设事件A表示“1号格子涂红色”,事件B表示“4号格子涂红色”,
则P(B|A)=.
8.ABD　对于A,前者是事件B发生的条件下事件A发生的概率,而后者是事件A发生的条件下事件B发生的概率,故A中说法错误;对于B,条件概率的性质与其他概率的性质一样,概率范围应该为0≤P(B|A)≤1,故B中说法错误;易知C中说法正确;对于D,不能把条件概率中事件的分界线当分数线处理,故D中说法错误.故选ABD.
9.答案　
解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”,事件B为“另一瓶是红色”,事件C为“另一瓶是黑色”,事件D为“另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥,易求得P(A)=,故P(D|A)=P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A)=.
能力提升练
1.D　由题意得P(B)=,
故P(A|B)=.
故选D.
2.C　对于A,当A2发生时,乙罐中有3个红球,8个白球,所以P(B|A2)=,故A错误.
对于B,当A1发生时,乙罐中有4个红球,7个白球,所以P(B|A1)=,故B错误.
对于C,P(B|A1)+P(B|A2)=,故C正确.
对于D,因为A1,A2是对立事件,所以P(A1A2)=0,故D错误.
故选C.
3.B　记事件E:该家族某位成员出现A性状,事件F:该家族某位成员出现B性状,则P(E)=,则P(E∪F)=1-P(,
又因为P(E∪F)=P(E)+P(F)-P(EF),
所以P(EF)=P(E)+P(F)-P(E∪F)=,
所以P(F|E)=.
故选B.
4.B　记事件A表示“甲、乙站在同一排”,事件B表示“甲、乙不相邻”,
则n(A)==2 160,n(AB)==960.
由条件概率公式,得P(B|A)=.
故选B.
5.A　设事件A为“方程=1表示双曲线”,事件B为“方程=1表示焦点在y轴上的双曲线”,
由题意得,P(A)=,则P(B|A)=.故选A.
6.答案　
解析　记“甲在五一假期期间值班2天”为事件A,“甲连续值班”为事件B,
则n(A)==24,
所以P(B|A)=,
所以甲在五一假期期间值班2天的情况下连续值班的概率为.
7.解析　(1)设该试验的样本空间为Ω,记“方程x2+bx+c=0没有实根”为事件A,“方程x2+bx+c=0有两个相同实根”为事件B,“方程x2+bx+c=0有两个相异实根”为事件C,则Ω={(b,c)|b,c=1,2,…,6},
A={(b,c)|b2-4c<0,b,c=1,2,…,6},
B={(b,c)|b2-4c=0,b,c=1,2,…,6},
C={(b,c)|b2-4c>0,b,c=1,2,…,6},
所以Ω中的样本点个数为36,A中的样本点个数为17,B中的样本点个数为2,C中的样本点个数为17.又B、C是互斥事件,故所求概率P=P(B)+P(C)=.
(2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D,“方程x2+bx+c=0有实根”为事件E,易得P(D)=,
P(DE)=,
所以P(E|D)=.
11.3　全概率公式
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　全概率公式及其应用
1.设A,B为两个事件,已知P(A)=,则P(A|B)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.在3张彩票中有2张有奖,甲、乙两人先后从中各取一张,则乙中奖的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.每年的6月6日是全国爱眼日,某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响,据调查,某高校大约有45%的学生近视,而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1 h,这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1 h的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
4.浙江省高考实行“七选三”选科模式,赋予了学生充分的自由选择权.甲、乙、丙三所学校分别有75%,60%,50%的学生选了物理,这三所学校的学生数之比为1∶1∶2,现从这三所学校中随机选取一名学生,则这名学生选了物理的概率为　　　　.
题组二　贝叶斯公式
5.“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过:小孩第一次喊“狼来了”,大家信了,但去了之后发现没有狼;第二次喊“狼来了”,大家又信了,但去了之后又发现没有狼;第三次狼真的来了,但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化,假设小孩是诚实的,则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1;小孩是不诚实的,则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否,所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知第一次他说谎了,那么他是诚实的小孩的概率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有下表所示的数据.设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且无区别标志.
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
甲 0.02 0.15
乙 0.01 0.80
丙 0.03 0.05
(1)在仓库中随机取一个元件,求它是次品的概率;
(2)在仓库中随机取一个元件,若已知取到的是次品,则此次品出自甲工厂的概率是多少
答案与分层梯度式解析
1.3　全概率公式
基础过关练
1.B　由P(B)=,得P(,显然P(A)=P(B)P(A|B)+P(),
即,所以P(A|B)=.
故选B.
2.B　设甲中奖为事件A,乙中奖为事件B,
则P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|.
故选B.
3.A　设事件A1表示“操作电子产品超过1 h的学生”,A2表示“操作电子产品不超过1 h的学生”,B表示“任意调查一名学生,此人近视”,则样本空间Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|A1)=0.5,P(B)=0.45,由题意,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2×0.5+0.8×P(B|A2)=0.45,解得P(B|A2)=,故选A.
4.答案　
解析　设事件A表示“这名学生来自甲学校”,事件B表示“这名学生来自乙学校”,事件C表示“这名学生来自丙学校”,事件D表示“这名学生选了物理”,
则P(A)=,
所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)·P(D|C)=.
5.D　设事件A表示“小孩诚实”,事件B表示“小孩说谎”,
则P(B|A)=0.1,P(B|)=0.1,
则P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9×0.1=0.09,
P()=0.1×0.5=0.05,
故P(B)=P(AB)+P(B)=0.14,
故P(A|B)=.
故选D.
6.解析　设事件A表示“取到的是一个次品”,事件B1表示“所取到的产品是由甲工厂提供的”,事件B2表示“所取到的产品是由乙工厂提供的”,事件B3表示“所取到的产品是由丙工厂提供的”,
则P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.
(1)由全概率公式可得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.02×0.15+0.01×0.80+0.03×0.05=0.012 5,
即在仓库中随机取一个元件,它是次品的概率为0.012 5.
(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)==0.24,
即在取到的元件是次品的条件下,此次品出自甲工厂的概率是0.24.
11.2　乘法公式与事件的独立性
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　乘法公式
1.已知P(B|A)=,则P(AB)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.(多选题)下列说法一定不成立的是(　　)
A.P(B|A)B.P(B)=P(A)P(B|A)
C.P(AB)=P(A)P(B)　　　　　　
D.P(A|A)=0
3.设P(A|B)=P(B|A)=,则P(B)等于　　　　.
4.设不透明的袋中有5个红球,3个黑球,2个白球,有放回地随机摸球三次,每次摸一球,则第三次才摸到白球的概率为　　　　;若以同样的方式不放回摸球,则第三次才摸到白球的概率为　　　　.
题组二　事件的独立性
5.已知事件A,B,且P(A)=0.2,P(B)=0.8,则下列说法正确的是(　　)
A.若A B,则P(A∪B)=0.8,P(AB)=0.6
B.若A与B互斥,则P(A∪B)=0.8,P(AB)=0
C.若A与B相互独立,则P(A∪B)=1,P(AB)=0
D.若A与B相互独立,则P(A∪B)=0.84,P(AB)=0.16
6.有6个相同的小球分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个小球,甲表示事件“第一次取出的小球上的数字为2”,乙表示事件“第二次取出的小球上的数字为3”,丙表示事件“两次取出的小球上的数字之和为8”,丁表示事件“两次取出的小球上的数字之和为7”,则(　　)
A.丙与丁相互独立　　　　　　B.甲与丙相互独立
C.乙与丙相互独立　　　　　　D.乙与丁相互独立
7.如图,已知电路中有5个开关,开关S5闭合的概率为,其他开关闭合的概率都是,且各开关是否闭合相互独立,则灯亮的概率为(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
8.已知A,B两个盒子中均有除颜色外其他完全相同的3个红球和3个白球,甲从盒子A中,乙从盒子B中各随机取出一个球,若2个球同色,则甲胜,且将取出的2个球全部放入盒子A中;若2个球不同色,则乙胜,且将取出的2个球全部放入盒子B中.按上述规则重复两次后,盒子A中恰有8个球的概率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
9.甲、乙两人参加玩游戏活动,每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘,已知甲每盘获胜的概率为,乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中,甲和乙获胜与否互不影响,各轮结果也互不影响,则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为　　　　.
答案与分层梯度式解析
1.2　乘法公式与事件的独立性
基础过关练
1.C　P(AB)=P(B|A)P(A)=,故选C.
2.AD　∵P(B|A)=,03.答案　
解析　∵P(AB)=P(B|A)P(A)=,
∴P(B)=.
4.答案　
解析　设事件A表示“第一次未摸到白球”,事件B表示“第二次未摸到白球”,事件C表示“第三次摸到白球”,
则事件“第三次才摸到白球”可表示为ABC.
有放回时:P(A)=,
则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=.
不放回时:P(A)=,
则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=.
5.D　对于A,若A B,则P(AB)=P(A)=0.2,故A错误;
对于B,若A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故B错误;
对于C,D,若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)=0.16,
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.84,故C错误,D正确.
故选D.
D　两次取出的小球上的数字之和为8有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5种情况,所以P(丙)=,两次取出的小球上的数字之和为7有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6种情况,所以P(丁)=,P(甲)=P(乙)=,P(丙丁)=0≠P(丙)·P(丁),故A错误;
P(甲丙)=≠P(甲)·P(丙),故B错误;P(乙丙)=≠P(乙)·P(丙),故C错误;P(乙丁)==P(乙)·P(丁),故D正确.
故选D.
7.A　解法一:灯亮的对立事件为灯不亮,则得到灯不亮的条件是S1,S2至少有一个断开,且S3,S4,S5同时断开,
∴灯亮的概率P=1-.
解法二:根据串联、并联,得灯亮有三种情况:
①S5闭合,则灯亮的概率P1=;
②S5断开,S1,S2均闭合,则灯亮的概率P2=;
③S5断开,S1,S2至少有一个断开,S3,S4至少有一个闭合,则灯亮的概率P3=.
综上,P(灯亮)=P1+P2+P3=.故选A.
8.C　若两次取球后,盒子A中恰有8个球,则两次取球均为甲胜,
若第一次取球甲、乙都取到红球,则概率为,
则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球,盒子B中有2个红球和3个白球,
第二次取同色球为取到红球或取到白球,概率为,
故盒子A中有8个球的概率为.
同理,若第一次取球甲、乙都取到白球,且两次取球后盒子A中有8个球的概率为.
故盒子A中恰有8个球的概率是,
故选C.
9.答案　
解析　设事件A1,A2分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘,事件B1,B2分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘,
则P(A1)=2×,
P(B1)=2×,
则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的事件为A1B2∪A2B1,且A1B2,A2B1互斥,
其概率为P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=.
1(共16张PPT)
§1 随机事件的条件概率
知识点 1 条件概率
知识 清单破
　
1.条件概率的概念
设A,B是两个事件,且P(A)>0,则称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概
率.
2.条件概率的性质
　　设P(A)>0,则
(1)P(B|A)∈[0,1].
(2)若B与C是两个互斥事件,则P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A).
(3)设 和B互为对立事件,则P( |A)=1-P(B|A).
　
　　由条件概率的定义P(B|A)= 可知,P(AB)=P(A)P(B|A)(其中P(A)>0),同理,P(AB)=P(B)
P(A|B)(其中P(B)>0),称这两个公式为乘法公式.
知识点 2 乘法公式
1.事件A与事件B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).
2.当P(B)>0时,事件A与B相互独立的充要条件是P(A|B)=P(A).
知识点 3 事件的独立性
1.样本空间的划分
　　设Ω是试验E的样本空间,B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一组事件,若
(1)BiBj= ,其中i≠j(i, j=1,2,…,n),
(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω,
则称B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分.
2.全概率公式
设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分,若P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则对任意一个事件A有P(A)=
P(Bi)P(A|Bi),称该式为全概率公式.
知识点 4 全概率公式
设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分,若P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则P(Bi|A)=
,称该式为贝叶斯公式.
知识点 5 贝叶斯公式*
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.在事件A发生的条件下,事件B发生,相当于事件A,B同时发生. (　 )
2.P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| ).(　 )
3.全概率公式的主要作用是“由结果推测原因”. (　 )
4.P(A|B)= = . (　 )
√
√


提示
全概率公式的主要作用是“由原因推测结果”.
提示
根据全概率公式可得当00时,有P(A|B)=
= .
条件概率的求法
(1)在样本空间Ω中,先求概率P(AB)和P(A),再按定义计算P(B|A);
(2)随机事件A的样本点构成了一个小样本空间A,在样本空间A中求事件B的概率,就得到
P(B|A).
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 条件概率的求法
典例 现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2
个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
解析 设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到
舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数n(Ω)= =30,
根据分步乘法计数原理,知n(A)= =20,
于是P(A)= = = .
(2)因为n(AB)= =12,
所以P(AB)= = = .
(3)解法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)
= = = .
解法二:因为n(AB)=12,n(A)=20,
所以P(B|A)= = = .
　　当所求事件的概率比较复杂时,往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件,求
出这些简单事件的概率,再利用概率的加法公式便可求得较复杂事件的概率.
求较复杂事件的概率的一般步骤:
(1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示;
(2)厘清事件之间的关系,列出关系式;
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
　　当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求
出符合条件的事件的概率.
讲解分析
疑难 2 求较复杂事件的概率
典例 某次考试的规则如下:从20道题中随机抽取6道题,若考生至少能答对其中的4道题,则考
试通过;若至少能答对其中的5道题,则获得优秀.已知某考生能答对20道题中的10道题,并且
知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀的概率.
解析 设事件A为“该考生6道题全答对”,
事件B为“该考生答对了其中的5道题”,
事件C为“该考生答对了其中的4道题”,
事件D为“该考生在这次考试中通过”,
事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,
则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,
由古典概型的概率公式及加法公式可知,
P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= + + = .
因为P(AD)=P(A),P(BD)=P(B),
所以P(E|D)=P[(A∪B)|D]=P(A|D)+P(B|D)= + = + = .
所以在他已经通过的条件下,获得优秀的概率是 .
　　全概率公式的意义在于,当直接计算事件A发生的概率P(A)较为困难时,可以先找到样本
空间Ω的一个划分,如Ω=B1∪B2∪…∪Bn,B1,B2,…,Bn两两互斥,将B1,B2,…,Bn看成是导致A发生
的一组原因,这样事件A就被分解成了n个部分,分别计算P(A|B1),P(A|B2),…,P(A|Bn),再利用全
概率公式求解.
运用全概率公式的一般步骤如下:
(1)求出样本空间Ω的一个划分B1,B2,…,Bn;
(2)求P(Bi)(i=1,2,…,n);
(3)求P(A|Bi)(i=1,2,…,n);
(4)求目标事件的概率P(A).
讲解分析
疑难 3 对全概率公式的理解与应用
典例 甲、乙、丙三个地区暴发了某种流行病,三个地区感染此病的比例分别为 , , .若三
个地区人口相近,现从这三个地区中任意抽取一个人.
(1)求此人感染此病的概率;
(2)若此人感染此病,求此人来自乙地区的概率.
解析 将甲、乙、丙三个地区依次编号为1,2,3,设Ai=抽取的人来自第i个地区,i=1,2,3,B=抽
取的人感染此病.
则P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,
P(B|A1)= ,P(B|A2)= ,P(B|A3)= .
(1)P(B)= P(Ai)P(B|Ai)= .
(2)P(A2|B)= = .

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