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(共14张PPT)
　　在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定
的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果
的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,ξ,η等来表示.
§2 离散型随机变量及其分布列
知识点 1 随机变量
知识 清单破
1.离散型随机变量
取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
　　若离散型随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,…,随机变量X取xi的概率为pi(i=1,2,…,n,…),记作
P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…).①
①式也可以列成表如下:
知识点 2 离散型随机变量的分布列
xi x1 x2 … xn …
P(X=xi) p1 p2 … pn …
　　上述表格或①式称为离散型随机变量X的分布列,简称为X的分布列.
3.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi>0(i=1,2,…,n,…);
(2)p1+p2+…+pn+…=1.
　　如果随机变量X的分布列如下表:
知识点 3 两点分布
X 1 0
P p q
　　其中0努利分布).
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.随机试验的结果与随机变量是一种映射关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值
与之对应. (　 )
2.离散型随机变量的分布列中,各概率之和可以小于1.(　 )
3.离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出. (　 )
4.离散型随机变量的分布列中,每个随机变量的取值对应的概率都相等. (　 )
√



提示
提示
提示
依据随机变量的概念可知,每一个随机变量的取值都是由试验结果得到的,故是一种映
射关系.
离散型随机变量的取值是有限的,且每一个取值都对应一个概率值,故可以一一列.
分布列中的每个随机变量的取值代表的随机事件并非都是等可能发生的事件.
5.若随机变量X的分布列如下表所示,则X服从两点分布. (　 )

X 2 5
P 0.3 0.7
服从两点分布的随机变量的可能取值为0,1.
提示
求离散型随机变量X的分布列的步骤

讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 求离散型随机变量的分布列
典例 某农户计划于2024年年初开始种植某新型农作物.已知该农作物每年每亩的种植成本
为2 000元,根据前期各方面调查发现,该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性,且两者互
不影响,其具体情况如下表:
该农作物亩产量(kg) 900 1 200
概率 0.5 0.5
该农作物市场价格(元/kg) 30 40
概率 0.4 0.6
设2024年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元,求X的分布列.
解析 由题意知,900×30-2 000=25 000,1 200×30-2 000=34 000,900×40-2 000=34 000,1 200×40-
2 000=46 000.
所以X的可能取值为25 000,34 000,46 000.
设A表示事件“该农作物亩产量为900 kg”, 表示事件“该农作物亩产量为1 200 kg”,B表
示事件“该农作物市场价格为30元/kg”, 表示事件“该农作物市场价格为40 元/kg”,
则P(A)=0.5,P( )=0.5,P(B)=0.4,P( )=0.6.
所以P(X=25 000)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2;
P(X=34 000)=P( )P(B)+P(A)P( )=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5;
P(X=46 000)=P( )P( )=0.5×0.6=0.3.
所以X的分布列为
X 25 000 34 000 46 000
P 0.2 0.5 0.3
1.离散型随机变量的分布列是基本计数原理、排列组合、概率求解与其他知识的综合.解决
此类问题的关键:
(1)确定随机变量的可能取值;
(2)厘清随机变量取某些值时对应的事件是什么;
(3)利用两个基本计数原理及排列、组合的知识求出试验的样本空间与所求事件各自包含的
样本点数.
2.离散型随机变量的性质容易和其他知识相结合,所涉及的参数范围(最值)问题容易与函
数、基本不等式相结合,做题时需注意分布列的性质与其他模块内容的联系.
讲解分析
疑难 2 离散型随机变量的分布列及其综合应用
典例 第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年在巴黎举办,其中游泳比赛分为预赛、半决赛
和决赛三个阶段,只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.假设甲在预赛和半决赛中获
胜的概率分别为 和 ,乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 和 ,丙在预赛和半决赛中
获胜的概率分别为p和 -p,其中 (1)甲、乙、丙三人中,哪个人进入决赛的可能性更大
(2)如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ,求p的值;
(3)在(2)的条件下,设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为ξ,求ξ的分布列.
解析 (1)甲进入决赛的概率为 × = ,乙进入决赛的概率为 × = ,丙进入决赛的概率为p
· =- + ,
因为 显然,乙进入决赛的可能性更大.
(2)由(1)知甲、乙进入决赛的概率分别为 , ,甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛分为三
种情况:甲和乙进入决赛而丙未进,乙和丙进入决赛而甲未进,甲和丙进入决赛而乙未进,所以
有 × × + × × + × × p× = ,
整理得12p2-16p+5=0,解得p= 或p= ,
因为 (3)由(2)知,丙进入决赛的概率为 × = ,
所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为 , , .
根据题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)= × × = ,
P(ξ=1)= × × + × × + × × = ,
P(ξ=2)= × × + × × + × × = ,
P(ξ=3)= × × = ,
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P §2　离散型随机变量及其分布列
2.1　随机变量　　　　2.2　离散型随机变量的分布列
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　随机变量
1.袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个球,下列选项中可以用随机变量表示的是(　　)
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到球的个数
2.先后抛掷一颗骰子两次,记随机变量ξ为两次掷出的点数之和,则ξ的取值集合是(　　)
A.{1,2,3,4,5,6}
B.{2,3,4,5,6,7}
C.{2,4,6,8,10,12}
D.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
3.甲、乙两班进行足球对抗赛,共进行三场,每场比赛赢了的队伍得3分,输了的队伍得0分,平局两队各得1分.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示(　　)
A.甲赢三场
B.甲赢一场、输两场
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
题组二　离散型随机变量及其分布列
4.下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为(　　)
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X1;
②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离X2;
③某同学射击3次,命中的次数X3;
④某电子元件的寿命X4.
A.①②　　　B.③④　　　C.①③　　　D.②④
5.数字1,2,3,4任意排成一列,如果数字k恰好出现在第k个位置上,则称有一个“巧合”,则“巧合”个数ξ的分布列为　　　　.
6.一个口袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;
(2)若规定抽取的3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后结果都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判断η是不是离散型随机变量.
7.已知新高考数学共4道多项选择题,评分标准是每题满分5分,全部选对得5分,部分选对得2分,有错选或不选的得0分.每道多项选择题共有4个选项,正确答案往往为两项或三项.为了研究多项选择题的答题规律,某数学兴趣小组研究发现:多项选择题正确答案是“选两项”的概率为,正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人,由于数学基础一般,多项选择题完全没有思路,只能靠猜.
(1)已知某题的正确答案是“选两项”,求学生甲不得0分的概率;
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”,学生乙的答题策略是“猜两个选项”,试写出甲、乙两名学生得分的分布列.
题组三　离散型随机变量的性质
8.随机变量ξ的分布列如下表:
ξ -1 0 1
P a b c
其中2b=a+c,则P(|ξ|=1)等于(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
9.已知离散型随机变量X的分布列如表所示,则常数c为(　　)
X 0 1
P 9c2-c 3-8c
A.　　　B.　　　C.　　　D.
10.设X是一个离散型随机变量,其分布列如下表,则q等于　　　　.
X -1 0 1
P 1-q q2
11.设随机变量X的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值;
(2)求P;
(3)求P.
12.已知随机变量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
(1)求随机变量Y=X2的分布列;
(2)若P(Y题组四　两点分布
13.已知随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=0.6.设Y=3X-2,则P(Y=-2)=(　　)
A.0.6　　　B.0.3　　　C.0.2　　　D.0.4
14.已知袋内有5个白球和6个红球,从中摸出2个球,记X=则X的分布列为　　　　.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　离散型随机变量的分布列的性质及其应用
1.某银行有一自动取款机,在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(k),根据统计得到p(k)=则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　 D.
2.同时掷两颗质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为X1,X2,记X=min{X1,X2},则P(2≤X≤4)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.若随机变量X的分布列如表所示,则a2+b2的最小值为　　　　　.
X 0 1 2 3
P a b
题组二　离散型随机变量的分布列的综合应用
4.如图所示,A,B两点由5条线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过最大信息量的总量为ξ,则P(ξ≥8)=　　　　.
5.为了促进消费,某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动:每位会员客户可在价值80元,90元,100元的A,B,C三种商品中选择一种使用积分进行兑换,每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1 000积分,且甲兑换A,B,C三种商品的概率分别为,乙兑换A,B,C三种商品的概率分别为,且他们兑换何种商品相互独立.
(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率;
(2)记X为两人兑换商品后的积分总余额,求X的分布列.
6.现有8名在校大学生报名参加在校大学生兼职村团支部副书记选拔,其中籍贯是黄山区的有1人,籍贯是屯溪区的有3人,籍贯是歙县的有4人.
(1)若8人中有2人入选,求入选的2人籍贯是不同地区的概率;
(2)若8人中有3人入选,设籍贯是歙县的入选人数为X,在已知入选3人中籍贯是黄山区的人数和籍贯是屯溪区的人数都不超过籍贯是歙县的人数的条件下,求随机变量X的分布列.
答案与分层梯度式解析
§2　离散型随机变量及其分布列
2.1　随机变量
2.2　离散型随机变量的分布列
基础过关练
1.C　选项A,B是随机事件;选项D中,取到球的个数是定值2;选项C中,取到白球的个数的可能取值为0,1,2,可以用随机变量表示.故选C.
2.D　
3.D　由题意得ξ=3可以分成两种情况,得分分别为3+0+0,1+1+1,即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次.故选D.
4.C　
5.答案　
ξ 0 1 2 4
P
解析　ξ的可能取值为0,1,2,4,则P(ξ=0)=.
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 4
P
6.解析　(1)列表如下:
结果 取得3 个黑球 取得1个白 球,2个黑球 取得2个白 球,1个黑球 取得3 个白球
ξ 0 1 2 3
(2)由题意可得η=5ξ+6,由(1)知ξ的可能取值为0,1,2,3,所以η对应的值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6,故η的可能取值为6,11,16,21.显然η是离散型随机变量.
7.解析　(1)在某题的正确答案是“选两项”的条件下,学生甲不得0分的情况有两种:
①只选一个选项,得2分的概率P1=;
②选两个选项,得5分的概率P2=.
所以在某题的正确答案是“选两项”的条件下,学生甲不得0分的概率P=P1+P2=.
(2)设学生甲的得分为X,则X的可能取值为0,2,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 2
P
设学生乙的得分为Y,则Y的可能取值为0,2,5,
P(Y=2)=,
P(Y=5)=,
P(Y=0)=1-,
所以Y的分布列为
Y 0 2 5
P
8.D　∵2b=a+c,且a+b+c=1,∴2b+b=1,
∴b=.
故选D.
9.A　由离散型随机变量分布列的性质,知
所以c=,故选A.
10.答案　
解析　由题意得所以q=.
11.解析　随机变量X的分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=.
(2)解法一:P.
解法二:P.
(3)因为,所以X=.
所以P.
12.解析　(1)由随机变量X的分布列知,Y的可能取值为0,1,4,9,
则P(Y=0)=.
所以随机变量Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
(2)因为P(Y所以实数x的取值范围是(4,9].
13.D　当Y=-2时,-2=3X-2,解得X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.故选D.
14.答案　
X 0 1
P
解析　由题意得,X的可能取值为0,1,
则P(X=0)=.
所以X的分布列如表所示.
X 0 1
P
能力提升练
1.B　由题意知,p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1,
即p(0)p(0)=1,解得p(0)=,
即在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.故选B.
2.B　由题意,随机变量X满足2≤X≤4的事件是X=2、X=3、X=4这3个互斥事件的和,而P(X=2)=,所以P(2≤X≤4)=.故选B.
3.答案　
解析　由a+b+=1,可得a+b=,b∈,
所以a2+b2=.
故a2+b2的最小值为.
4.答案　
解析　解法一(直接法):由题意得,ξ的可能取值为7,8,9,10,
则P(ξ=7)=,
P(ξ=9)=,
所以ξ的分布列为
ξ 7 8 9 10
P
所以P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=.
解法二(间接法):由题意得,ξ的可能取值为7,8,9,10,故P(ξ≥8)与P(ξ=7)是对立事件,
所以P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1-.
5.解析　(1)由题可知,甲、乙两人兑换同一种商品的概率为.
(2)由题意,兑换A,B,C三种商品所需的积分分别为800,900,1 000,
则X的取值可能为0,100,200,300,400,
P(X=0)=,
P(X=100)=,
P(X=200)=,
P(X=300)=,
P(X=400)=,
所以X的分布列为
X 0 100 200 300 400
P
6.解析　(1)设事件A表示“入选的2人籍贯是不同地区”,则P(A)=1-.
(2)由题意,籍贯是歙县的人数至少是1人,X的可能取值为1,2,3,则满足条件的情况共有=40种,则P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
1

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