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§3　离散型随机变量的均值与方差
3.1　离散型随机变量的均值
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　离散型随机变量的均值
1.已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a
则EX=(　　)
A.　　　B.2　　　C.　　　D.3
2.在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差,对于离散型随机变量X,Y,定义协方差为Cov(X,Y)=E(XY)-EX·EY,已知X,Y的分布列如下表所示,其中0X 1 2
P p 1-p
　
Y 1 2
P 1-p p
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.4
3.一个口袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个球,现从口袋中随机取出2个球,用X表示取出球的最大编号,则EX=(　　)
A.2　　　B.3　　　C.　　　D.
4.对某种型号的仪器进行质量检测,每台仪器最多可检测3次,一旦发现问题,则停止检测,否则一直检测到3次为止,若该仪器一次检测中出现问题的概率为0.2,设检测次数为X,则X的数学期望为　　　　.
5.小青准备用9万元全部投资A,B两种股票,已知两种股票收益相互独立,且这两种股票的买入都是每股1万元,每股收益的分布列如下表所示,若投资A种股票a万元,则小青两种股票的收益期望和为　　　　万元.
股票A的每股收益分布列
收益X/万元 -1 0 3
概率 0.3 0.2 0.5
股票B的每股收益分布列
收益Y/万元 -3 4
概率 0.4 0.6
6.假设两个队进行一系列比赛,一直到其中有一队赢了2局才结束.假设各局比赛胜负是相互独立的,并且A队获胜的概率为p,则当比赛的局数的期望最大时,p=　　　　　　.
7.某职称考试有A,B两门课程,每年每门课程均分别有一次考试机会,若某门课程今年通过,则下一年不再参加该科考试,只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试,预测每门课程今年通过的概率均为;若两门课程今年均没有通过,则明年每门课程通过的概率均为;若今年只有一门课程没有通过,则明年这门课程通过的概率为.
(1)求该考生两年内可获得该职称的概率;
(2)设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
题组二　离散型随机变量的均值的性质
8.设ξ的分布列如表所示,η=2ξ+5,则Eη等于(　　)
ξ 1 2 3 4
P
A.　　　B.　　　C.　　　D.
9.已知随机变量X的分布列如表所示,则E(X+a)=(　　)
X 1 2 3
P a
A.　　　B.　　　C.　　　D.
题组三　离散型随机变量的均值的应用
10.某单位有200名职工,想通过验血的方法筛查某种病毒携带者,假设携带病毒的人占5%,每个人是否携带病毒互不影响.现有两种筛查方案:
方案1:对每个人的血样逐一化验,需要化验200次;
方案2:随机按10个人为一组分组,然后将各组10个人的血样混合后再化验,如果混合血样呈阴性,说明这10个人的血样全部为阴性;如果混合血样呈阳性,说明这10个人中至少有一个人的血样呈阳性,就需要对这10个人每个人再分别化验一次.
(1)某夫妻二人都在这个单位工作,若按照方案1,随机进行逐一筛查,则他们二人恰好是先筛查的两个人的概率是多少
(2)若每次化验的费用为16元,采用方案2进行化验时,此单位大约需要花费多少元 (参考数据:0.9510≈0.60)
11.某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件,元件质量按测试指标划分:指标大于或等于76为正品,小于76为次品.现分别从两条生产线上随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 [60,68) [68,76) [76,84) [84,92) [92,100]
元件甲 12 8 40 33 7
元件乙 17 8 40 28 7
(1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率;
(2)生产一件元件甲,若是正品则盈利90元,若是次品则亏损10元;生产一件元件乙,若是正品则盈利100元,若是次品则亏损20元,在(1)的前提下:
①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300元的概率;
②记X,Y分别为生产1 000件元件甲和1 000件元件乙所得的总利润,试比较EX和EY的大小.(结论不要求证明)
答案与分层梯度式解析
§3　离散型随机变量的均值与方差
3.1　离散型随机变量的均值
基础过关练
1.A　由题意得=1,解得a=,
故EX=1×.
故选A.
2.A　XY的分布列为
XY 1 2 4
P p(1-p) p2+(1-p)2 p(1-p)
E(XY)=1×p(1-p)+2×[p2+(1-p)2]+4×p(1-p)=-p2+p+2,
EX=2-p,EY=p+1,
所以Cov(X,Y)=-p2+p+2-(2-p)(1+p)=0.
故选A.
3.C　由题意得,X的可能取值为2,3,4,
则P(X=2)=.
因此X的分布列为
X 2 3 4
P
EX=2×.
故选C.
4.答案　2.44
解析　由题意知,X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.8×0.2=0.16,P(X=3)=0.8×0.8=0.64,
所以EX=1×0.2+2×0.16+3×0.64=2.44.
5.答案　10.8
解析　由题中两种股票每股收益的分布列可知,
EX=-1×0.3+0×0.2+3×0.5=1.2(万元),EY=-3×0.4+4×0.6=1.2(万元),
所以两种股票的收益期望和为aEX+(9-a)EY=1.2a+(9-a)×1.2=1.2×9=10.8(万元).
6.答案　
解析　设比赛的局数为X,则X的可能取值为2,3,
P(X=2)=p2+(1-p)2,P(X=3)=(1-p)2p=2p(1-p),
所以X的分布列为
X 2 3
P p2+(1-p)2 2p(1-p)
所以EX=2p2+2(1-p)2+6p(1-p)=-2,所以当p=时,EX取得最大值.
7.解析　(1)设该考生两年内可获得该职称为事件A,
则P(A)=.
(2)由题意得,X的可能取值为2,3,4,则
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
EX=2×=3.
8.D　Eξ=1×,所以Eη=E(2ξ+5)=2Eξ+5=2×.
故选D.
9.C　依题意可得+a=1,解得a=,所以EX=1×=2,所以E(X+a)=E.故选C.
10.解析　(1)由题意得,他们二人恰好是先筛查的两个人的概率P=.
(2)按方案2,设每组需要化验的次数为X,则X的可能取值为1,11.
P(X=1)=(1-0.05)10=0.9510≈0.60,
P(X=11)=1-0.60=0.40,
所以X的分布列为
X 1 11
P 0.60 0.40
EX=1×0.60+11×0.40=5.
总的化验次数为×EX=100,
故此单位大约需要花费100×16=1 600(元).
11.解析　(1)抽取的100件元件甲中正品的频率为,抽取的100件元件乙中正品的频率为,所以生产一件元件甲为正品的概率为,生产一件元件乙为正品的概率为.
(2)①设生产的5件元件乙中正品的件数为x,则次品的件数为5-x,由题意知100x-20(5-x)≥300,所以x=4或x=5.设“生产5件元件乙所获得的利润不少于300元”为事件C,则P(C)=.
②设生产一件元件甲所获得的利润为ξ元,则ξ的可能取值为90,-10,
则P(ξ=90)=,
所以ξ的分布列为
ξ 90 -10
P
所以Eξ=90×=70,
所以EX=E(1 000ξ)=1 000Eξ=1 000×70=70 000.
设生产一件元件乙所获得的利润为η元,则η的可能取值为100,-20,
则P(η=100)=,
所以η的分布列为
η 100 -20
P
所以Eη=100×=70,
所以EY=E(1 000η)=1 000Eη=1 000×70=70 000.
所以EX=EY.
1(共10张PPT)
1.设离散型随机变量X的分布列如下表:
§3 离散型随机变量的均值与方差
知识点 1 离散型随机变量的均值
知识 清单破
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).
2.离散型随机变量的均值的性质
　　若X与Y都是随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则由X与Y之间分布列的关系可知EY=E(aX+b)=
aEX+b.
1.若离散型随机变量X的分布列如下表:
知识点 2 离散型随机变量的方差
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值EX的偏离程度,而DX=E(X-EX)2= (xi-EX)2pi为这些
偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量
X的方差,其算术平方根 为随机变量X的标准差,记作σX.
2.离散型随机变量的方差的性质
设a,b为常数,则D(aX+b)=a2DX.
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.随机变量的均值是常数,样本的均值是随机变量. (　 )
2.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差
越小,随机变量偏离于均值的平均程度越小. (　 )
3.均值与方差都从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事. (　 )
4.若随机变量X的均值EX=2,则E(2X+3)=7.(　 )
5.如果一个学生在所有单元检测中的成绩的均值是90分,那么他在某次单元检测中的成绩一
定会是90分.(　 )
6.D(2X+1)=4DX+1. (　 )
√
√
√



1.求离散型随机变量X的均值、方差(标准差)的一般步骤
(1)理解X的意义,并写出X的可能取值;
(2)求出X取每个值时的概率;
(3)利用定义求E(X),D(X)( ).
在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式D(X)=E(X2)-(E(X))2求方差.
2.已知随机变量X的均值、方差或其均值、方差易求,求Y=aX+b(a≠0)的均值、方差时,可用
均值、方差的性质求解.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 离散型随机变量的均值、方差(标准差)
典例 已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且Y=aX+3,若EY=-2,则DY= (　 )
A.-3　 B. 　 C.5　 D.8
C
解析 由已知得,EX=1× +2× +3× = ,DX= × + × + × = ,因为Y=
aX+3,所以EY=aEX+3= a+3=-2,解得a=-3,所以DY=D(-3X+3)=(-3)2DX=9× =5.故选C.
　　在实际生活中存在许多决策问题,在确定性现象中,我们进行决策和优化的目的通常是
使损失最小或利益最大.
离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变
量的取值相对于均值的离散程度(或波动大小).因此,在利用均值和方差的意义去分析、解决
实际问题时,两者都要考虑.
　　一般先求随机变量X1,X2的均值,当EX1=EX2时,不应认为它们一样好,还需要用DX1,DX2来
比较这两个随机变量的偏离程度,偏离程度越小越好.
讲解分析
疑难 2 离散型随机变量的均值与方差的综合应用
典例 甲、乙两名射手在一次射击中射中的环数分别为随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在
每次射击中射中的环数均大于6且互不影响,甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射
中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.
解析 (1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得:
Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
Dξ=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
Dη=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
Eξ>Eη,Dξ的射击技术好.3.2　离散型随机变量的方差
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　离散型随机变量的方差与标准差
1.某高科技公司所有员工的工资情况如下表所示:
年薪/ 万元 135 95 80 70 60 52 40 31
人数 1 1 2 1 3 4 1 12
该公司员工年薪的标准差约为(　　)
A.24.5　　　B.25.5　　　C.26.5　　　D.27.5
2.已知随机变量X的分布列如下表所示,若EX=,则DX=(　　)
X -2 0 1
P a b
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,EX,DX分别为随机变量X的均值和方差,则(　　)
A.P(X=1)=　　　　　B.EX=
C.DX=　　　　　　D.E(4X+1)=4
题组二　离散型随机变量的方差的性质
4.已知随机变量X的分布列如下表所示:
X 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.3 0.4
则D(3X+2)=(　　)
A.3　　　B.9　　　C.27　　　D.11
5.设X,Y为随机变量,且EX=2,E(X2)=6,Y=2X-1,则DY=(　　)
A.9　　　B.8　　　C.5　　　D.4
6.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=1,2,5),a∈R,Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差,则下列结论正确的是(　　)
A.P(0<ξ<3.5)=　　 B.E(3ξ+2)=7
C.Dξ=2　　　　　　D.D(3ξ+1)=6
7.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n(n=1,2,3,4)号的有n个.现从袋中任取一球,用X表示所取到的球的标号.
(1)求X的分布列、均值和方差;
(2)若Y=aX+b,EY=1,DY=11,试求a,b的值.
答案与分层梯度式解析
3.2　离散型随机变量的方差
基础过关练
1.B　年薪的平均数为×(135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+31×12)=50.4(万元),所以年薪的方差为×[(135-50.4)2+(95-50.4)2+2×(80-50.4)2+(70-50.4)2+3×(60-50.4)2+4×(52-50.4)2+(40-50.4)2+12×(31-50.4)2]=647.76,又≈25.5,所以该公司员工年薪的标准差约为25.5.故选B.
2.B　由已知得,
所以DX=.故选B.
3.ACD　对于A,因为随机变量X服从两点分布,P(X=0)=,所以P(X=1)=,故A正确;
对于B,EX=0×,故B错误;
对于C,DX=,故C正确;
对于D,E(4X+1)=4EX+1=4,故D正确.
故选ACD.
4.B　由题意可得EX=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=3,
则DX=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1,
所以D(3X+2)=32DX=9DX=9.
故选B.
5.B　由题意得,DX=E(X2)-(EX)2=6-4=2,则DY=D(2X-1)=22DX=8.
故选B.
6.C　由分布列的性质可知,P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=5)==1,解得a=1.
对于A,P(0<ξ<3.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=,故A错误;
对于B,∵Eξ=1×=2,∴E(3ξ+2)=3Eξ+2=3×2+2=8,故B错误;
对于C,Dξ=×(5-2)2=2,故C正确;
对于D,∵Dξ=2,∴D(3ξ+1)=32Dξ=18,故D错误.
故选C.
7.解析　(1)由题易知,X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=,
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以EX=0×=1.5,
DX=(0-1.5)2×=2.75.
(2)由Y=aX+b知DY=a2DX,即a2×2.75=11,解得a=±2.
又EY=aEX+b,
所以当a=2时,有1=2×1.5+b,解得b=-2,
当a=-2时,有1=-2×1.5+b,解得b=4,
所以
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