资源简介

(共15张PPT)
§5 正态分布
知识点 1 正态分布
知识 清单破
1.正态分布
　　由误差引起的连续型随机变量对应的分布密度函数解析式为φμ,σ(x)= · ,x∈
(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数,这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函
数),简称正态分布.
正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布,是刻画误差分布的重要模型,因此也
称为误差模型.
2.正态曲线
正态分布对应的图象为正态分布密度曲线,简称为正态曲线.
　　如果随机变量X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),则EX=μ,DX=σ2.
　　正态曲线有如下性质:
(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的,关于直线x=μ对称.
(3)曲线的最高点位于x=μ处.
(4)当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降;并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近
线(如图).
知识点 2 正态曲线的性质

(5)正态曲线与x轴之间的区域的面积为1.
(6)σ,μ对正态曲线的影响:
①当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
②当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲
线越“高瘦”,表示总体的分布越集中.
　 P(μ-σ　 P(μ-2σ　 P(μ-3σ知识点 3 正态总体在三个特殊区间内取值的概率

　　在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取区间(μ-3σ,μ+3σ]之间的
值,并称之为3σ原则.
知识点 4 3σ原则
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.正态分布密度函数中的参数μ,σ的意义分别是样本的均值和方差. (　 )
2.正态曲线是单峰的,其与x轴之间区域的面积是随参数μ,σ的变化而变化的. (　 )
3.正态曲线可以关于y轴对称. (　 )
4.在正态分布中,参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去估计;σ
是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.(　 )
5.若随机变量X~N(μ,σ2),则X可以是离散型随机变量.(　 )
6.正态曲线的对称轴的位置由μ确定,曲线形状由σ确定.(　 )


√
√

√
利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法:由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故随机变量落在关于直线x=
μ对称的区间上的概率相等.如:
①P(X②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法:利用X落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]内的概率分别约是0.682 6,
0.954 4,0.997 4求解.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 正态分布的概率问题
典例 (1)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0A.0.6　 B.0.4　 C.0.3　 D.0.2
(2)某地区一次联考的数学成绩X近似地服从正态分布N(85,σ2),已知P(X≤122)=0.96,现随机
从这次考试的成绩中抽取一个容量为100的样本,则样本中成绩低于48的个体数大约为 ( )
A.6　 B.4　 C.94　 D.96
(3)在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,4),则X在(-1,1)内取值的概率约为　　　　 .
C
B
0.341 3
解析 (1)∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴μ=2,正态曲线的对称轴是直线x=2.
∵P(X<4)=0.8,
∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.2,
∴P(0∴P(0(2)由P(X≤122)=0.96,可得P(X>122)=0.04,
∴P(X<48)=0.04,
∴成绩低于48的个体数大约为100×0.04=4.故选B.
(3)由题意得μ=1,σ=2,
∴P(-1又正态曲线关于直线x=1对称,
∴P(-1　　利用服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率,可以解决两类实
际问题:
　　一类是估计在某一范围内的数量,具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的概率,
再乘样本容量即可.
　　另一类是利用3σ原则作决策.决策步骤如下:①确定一次试验中取值a是否落入范围(μ-
3σ,μ+3σ];②作出判断,若a∈(μ-3σ,μ+3σ],则接受统计假设,若a (μ-3σ,μ+3σ],则拒绝统计假设.
讲解分析
疑难 2 正态分布的实际应用
典例 某公司采购了一批零件,为了检测这批零件是否合格,从中随机抽测120个零件的长度
(单位:分米),将数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],(1.4,1.5],(1.5,1.6],(1.6,1.7],(1.7,1.8]6组,得到如图所
示的频率分布直方图,其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个,其长度(单位:分米)分别为
1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.71,1.72,1.7
4,以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.

(1)求这批零件的长度大于1.60分米的频率,并求频率分布直方图中m,n,t的值;
(2)若从这批零件中随机抽取3个,记X为抽取的零件长度在(1.4,1.6]内的个数,求X的分布列和
数学期望;
(3)若变量S满足|P(μ-σ满足近似于正态分布N(μ,σ2)的概率分布.如果这批零件的长度ξ(单位:分米)满足近似于正态
分布N(1.5,0.01)的概率分布,则认为这批零件是合格的,将顺利被签收;否则,公司将拒绝签收.
试问该批零件能否被签收
解析 (1)由题意可知120个样本零件中长度大于1.60分米的共有18个,
则这批零件的长度大于1.60分米的频率为 =0.15,
记零件的长度为Y分米,
则P(1.2≤Y≤1.3)=P(1.7P(1.3P(1.4故m= =0.25,n= =1.25,t= =3.5.
(2)由(1)可知从这批零件中随机抽取1个,其长度在(1.4,1.6]内的概率P=2×0.35=0.7,且随机变
量X~B(3,0.7),
则P(X=0)= ×(1-0.7)3=0.027,
P(X=1)= ×(1-0.7)2×0.7=0.189,
P(X=2)= ×(1-0.7)×0.72=0.441,
P(X=3)= ×0.73=0.343,
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
EX=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1(或EX=3×0.7=2.1).
(3)由题意可知μ=1.5,σ=0.1,
则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=P(1.4<ξ≤1.6)=0.7,
P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=P(1.3<ξ≤1.7)=0.125+0.35+0.35+0.125=0.95,
因为|0.7-0.682 6|=0.017 4≤0.05,|0.95-0.954 4|=0.004 4≤0.05,
所以这批零件的长度ξ(单位:分米)满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布.
故认为这批零件是合格的,将顺利被该公司签收.§5　正态分布
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　正态曲线
1.下列是关于正态曲线f(x)=(x∈R)性质的说法:
①曲线关于直线x=μ对称,且总是位于x轴上方;
②曲线关于直线x=σ对称,且仅当x∈[-3σ,3σ]时才位于x轴上方;
③曲线对应的正态分布密度函数是一个偶函数,因此曲线关于y轴对称;
④曲线在x=μ处位于最高点,由这一点向左、右两边延伸时,曲线逐渐降低;
⑤曲线的位置由μ确定,曲线的形状由σ确定.
其中说法正确的是(　　)
A.①④⑤　　　　　　B.②④⑤
C.③④⑤　　　　　　D.①⑤
2.李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他分别记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到,假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,X~N(μ1,62),Y~N(μ2,22).X和Y的正态曲线如图所示,则下列结论正确的是　　(　　)
A.DX=6
B.μ1>μ2
C.P(X≤38)D.P(X≤34)3.甲、乙两类产品的质量(单位: kg)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.甲类产品的平均质量小于乙类产品的平均质量
B.乙类产品的质量比甲类产品的质量更集中于平均值左右
C.甲类产品的平均质量为1 kg
D.乙类产品的质量的方差为2
题组二　正态分布的概率问题
4.设随机变量X~N(μ,σ2),且P(XA.0.75　　　B.0.5　　　C.0.3　　　D.0.25
5.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<3)=0.6,则P(1<ξ<2)=(　　)
A.0.1　　　　　　B.0.2
C.0.3　　　　　　D.0.4
6.若随机变量X~N(10,22),则下列结论错误的是(　　)
A.P(X≥10)=0.5
B.P(X≤8)+P(X≤12)=1
C.P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10)
D.D(2X+1)=8
7.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(28.已知随机变量X~N(2,9),P(X>c+1)=P(X(1)求c的值;
(2)求P(-4附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ题组三　正态分布的应用
9.某市高三联考后,统一调查研究本次考试的数学成绩,得出全体学生的数学成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(90,50),则下列说法错误的是(　　)
A.本次联考的数学平均分近似为90分
B.本次联考数学成绩的方差近似为50
C.随机抽取一名学生的成绩,P(X>110)>P(X<60)
D.随机抽取一名学生的成绩,P(8010.已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ]和(μ-3σ,μ+3σ]内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高二年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间(105,120]内的学生大约有　　(　　)
A.477人　　　　　　B.136人
C.341人　　　　　　D.131人
11.已知某工厂生产零件的尺寸指标ξ~N(15,0.002 5),该厂每天生产的零件尺寸(单位:cm)在(14.9,15.05]内的数量为818 600,则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在15.15以上的数量为(　　)
参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.997 3.
A.1 587　　　　　　B.2 275
C.2 700　　　　　　D.1 350
12.某市宣传部门开展了线上知识竞赛,现从全市的参与者中随机抽取了1 000名参与者的成绩进行分析,把他们的得分(满分100分)分成以下7组:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计得各组的频率之比为1∶6∶8∶10∶9∶4∶2.同一组中的数据用该组区间的中点值为代表.
(1)求这1 000名参与者成绩的第75百分位数和平均值μ(结果保留整数)﹔
(2)若此次知识竞赛得分X~N(μ,142),为感谢市民的积极参与,对参与者制订如下奖励方案:得分不超过79分的可获得1次抽奖机会,得分超过79分但不超过93分的可获得2次抽奖机会,得分超过93分的可获得3次抽奖机会,试估计任意一名参与者获得抽奖次数的数学期望.
附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　正态分布及其概率计算
1.设随机变量X~N(0,22),随机变量Y~N(0,32),P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系是(　　)
A.P(|X|≤1)≤P(|Y|≤1)
B.P(|X|≤1)=P(|Y|≤1)
C.P(|X|≤1)>P(|Y|≤1)
D.P(|X|≤1)2.设随机变量ξ~N(μ,1),函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点的概率是0.5,则P(0<ξ≤1)=(　　)
附:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4.
A.0.158 7　　　　　　B.0.135 9
C.0.271 8　　　　　　D.0.341 3
题组二　正态分布的综合应用
3.(多选题)已知某校有1 200名同学参加某次联考,其中每位学生的数学成绩X服从正态分布N(100,225),则下列说法正确的有(　　)
参考数据:①P(μ-σA.X的数学期望为100
B.X的方差为15
C.这次考试成绩超过100分的约有500人
D.P(1154.某个部件由两个电子元件按如图所示的方式连接而成,元件1或元件2正常工作,则部件正常工作,设两个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布
N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为　　　　.
5.某校期末统考数学成绩服从正态分布N(76,16).按15%,35%,35%,15%的比例将考试成绩划为A,B,C,D四个等级,其中分数大于或等于83分的为A等级,则B等级的分数应为　　　　.(用区间表示)
6.对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn~N,为使误差εn在(-0.5,0.5)内的概率不小于0.954 4,至少要测量　　　　次(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)=0.954 4).
7.为建立健全国家学生体质健康监测评价机制,激励学生积极参加身体锻炼,教育部印发《国家学生体质健康标准》,要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作,某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试,并从中随机抽取了200名学生的数据,根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)由频率分布直方图知,该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①求P(50.73②已知该市高三学生约有10 000名,记体质健康指数在区间(50.73,78.54)内的人数为ξ,试求Eξ.
附:参考数据:≈9.27,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ8.我国是全球制造业大国,制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一,主要产品产量稳居世界前列,为深入推进传统制造业改造提升,全面提高传统制造业核心竞争力,某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.新设备生产的零件的直径为X(单位:nm).
(1)现有旧设备生产的零件共7个,其中直径大于10 nm的有4个,现从这7个零件中随机抽取3个,记ξ表示取出的零件中直径大于10 nm的零件个数,求ξ的分布列及数学期望Eξ;
(2)已知新设备生产的零件的合格率为,每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测,若合格的零件数η超过半数,则可认为技术攻坚成功,求技术攻坚成功的概率及η的方差;
(3)若新设备生产的零件直径X~N(9,0.04),从生产的零件中随机取出10个,求至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.682 6,P(|X-μ|≤2σ)≈
0.954 4,P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 4,0.977 210≈0.794 0,0.954 410≈0.627 1.
答案与分层梯度式解析
§5　正态分布
基础过关练
1.A　正态曲线f(x)关于直线x=μ对称,该曲线总是位于x轴上方,故①正确,②不正确;
只有当μ=0时,正态分布密度函数是一个偶函数,曲线关于y轴对称,此时为标准正态分布,当μ≠0时,不是偶函数,故③不正确;
正态曲线f(x)是一条关于直线x=μ对称,在x=μ处位于最高点,且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线,故④正确;
曲线的位置由μ确定,曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”,故⑤正确.
故选A.
2.C　由X~N(μ1,62),可得DX=36.
由题图可得μ1=30,μ2=34,所以μ1<μ2.
当X≤38,Y≤38时,X对应的曲线与x轴围成图形的面积小于Y对应的曲线与x轴围成图形的面积,
所以P(X≤38)P(X≤34)>,P(Y≤34)=,
所以P(X≤34)>P(Y≤34).故选C.
3.A　由题图可知,甲类产品的平均质量为μ1=0.5 kg,乙类产品的平均质量为μ2=1 kg,甲类产品质量的方差明显小于乙类产品质量的方差,
故甲类产品的质量比乙类产品的质量更集中于平均值左右,故A正确,B、C错误;
由正态分布密度函数的解析式f(x)=,
可知当x=μ时,f(x)取得最大值,
∴,
∴σ2=≠2,故D错误.
故选A.
4.D　随机变量X~N(μ,σ2),显然P(X而P(X故选D.
5.A　由题意可得μ=2,且P(ξ<3)=0.6,则P(ξ>3)=P(ξ<1)=1-0.6=0.4,所以P(1<ξ<2)==0.1.故选A.
6.D　因为随机变量X~N(10,22),所以μ=10,σ=2,所以P(X≥10)=0.5,故A正确;
P(X≤8)+P(X≤12)=P(X≥12)+P(X≤12)=1,故B正确;
P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10),故C正确;
D(2X+1)=4D(X)=16,故D错误.
故选D.
7.答案　4
解析　∵P(X≤2)=1-P(X≥6)-P(28.解析　(1)由X~N(2,9)可知,正态曲线关于直线x=2对称.
因为P(X>c+1)=P(X所以2-(c-1)=(c+1)-2,解得c=2.
(2)由X~N(2,9),得μ=2,σ=3,
所以P(-49.D　对于A,B,因为全体学生的数学成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(90,50),所以μ=90,σ2=50,所以A,B正确;
对于C,因为X~N(90,50),所以P(X>110)=P(X<70)>P(X<60),故C正确;
对于D,因为X~N(90,50),所以P(80P(100故选D.
10.B　P(105=
==0.135 9,
则1 000×0.135 9=135.9≈136,
故此次考试成绩在区间(105,120]内的学生大约有136人.
故选B.
11.D　由已知得μ=15,σ2=0.002 5,∴σ=0.05,
则P(μ-2σ<ξ≤μ+σ)=P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)+P(ξ-σ<ξ≤μ+σ)
= ×0.954 5+×0.682 7=0.818 6.
故零件尺寸在15.15以上的概率P(ξ>μ+3σ)=×(1-0.997 3)=0.001 35,
设零件尺寸在15.15以上的零件数为x,
则,解得x=1 350.
故选D.
12.解析　(1)设这1 000名参与者成绩的第75百分位数为x,则=0.75,解得x≈76(分),
μ=35×=65(分).
所以这1 000名参与者成绩的第75百分位数约为76分,平均值为65分.
(2)设随机变量Y表示任意一名参与者获得的抽奖次数,则Y的可能取值为1,2,3,
由已知及(1)得X~N(65,142),
则P(Y=1)=P(X≤79)=P(X≤μ+σ)≈=0.841 3,
P(Y=2)=P(79P(Y=3)=P(X>93)=P(X>μ+2σ)≈1-0.841 3-0.135 9=0.022 8,
所以Y的分布列为
Y 1 2 3
P 0.841 3 0.135 9 0.022 8
所以EY=1×0.841 3+2×0.135 9+3×0.022 8=1.181 5.
所以估计任意一名参与者获得抽奖次数的数学期望为1.181 5.
能力提升练
1.C　因为X~N(0,22),Y~N(0,32),所以X与Y的正态曲线均关于y轴对称,且P(|X|≤1)=P(-1≤X≤1),P(|Y|≤1)=P(-1≤Y≤1),
因为σ越大,正态曲线越扁平,
所以P(|X|≤1)>P(|Y|≤1).
故选C.
2.B　若函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点,即方程x2+2x-ξ=0没有实数根,则Δ=4+4ξ<0,即ξ<-1.
∵函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点的概率是0.5,
∴P(ξ<-1)=0.5,由正态曲线的对称性可知μ=-1,∴ξ~N(-1,1),
又σ=1,∴μ-σ=-2,μ+σ=0,μ-2σ=-3,μ+2σ=1,
∴P(0<ξ≤1)==0.135 9.
故选B.
3.AD　因为数学成绩X服从正态分布N(100,225),故X的数学期望为μ=100,方差为σ2=225,标准差为σ=15,故A正确,B错误;
因为X的数学期望为μ=100,所以P(X>100)=,则成绩超过100分的约有1 200×=600(人),故C错误;
P(X≤115)=P(X<100)+P(100-15P(X≤130)=P(X<100)+P(100-2×15则P(115故选AD.
4.答案　
解析　解法一:由两个电子元件的使用寿命均服从正态分布
N(1 000,502)得两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为,则该部件使用寿命超过1 000小时的概率P=1-.
解法二:由题知元件1,2的平均使用寿命均为1 000小时,设元件1,2的使用寿命超过1 000小时分别为事件A,B,显然P(A)=P(B)=,所以该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为+AB,所以其概率P=.
5.答案　[76,83)
解析　设考试成绩为X,
由题意可知,μ=76,σ=4,P(X≥76)=0.5,P(X≥83)=0.15,
所以P(76≤X<83)=P(X≥76)-P(X≥83)=0.5-0.15=0.35,
所以B等级的分数应为[76,83).
6.答案　32
解析　由题意知P(-0.5<εn<0.5)≥0.954 4,
且P=0.954 4,
∴2≤0.5,解得n≥32.
7.解析　(1)由题意得,=40×0.02+50×0.3+60×0.4+70×0.23+80×0.04+90×0.01=60,
s2=(40-60)2×0.02+(50-60)2×0.3+(60-60)2×0.4+(70-60)2×0.23+(80-60)2×0.04+(90-60)2×0.01
=400×0.02+100×0.3+0×0.4+100×0.23+400×0.04+900×0.01=86,
所以估计这200名学生健康指数的平均数为60,样本方差为86.
(2)①由(1)可知μ=60,σ=≈9.27,
则P(50.73=P(μ-σ②由①可知1名学生的健康指数在(50.73,78.54)内的概率为0.819,
依题意,ξ~B(10 000,0.819),
则Eξ=10 000×0.819=8 190.
8.解析　(1)由题意得,ξ的可能取值为0,1,2,3,
则P(ξ=0)=,
P(ξ=2)=.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
数学期望Eξ=0×.
(2)η的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,
则P(η=4)=,
P(η=5)=,
P(η=6)=.
所以技术攻坚成功的概率为P(η≥4)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=,
因为η~B,
所以η的方差Dη=6×.
(3)由X~N(9,0.04),可知μ=9,σ=0.2,由P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 4,得P(8.6≤X≤9.4)≈0.954 4,所以P(99.4)=-P(99.4)=0.977 2,记“从生产的零件中随机取出10个,至少有一个零件直径大于9.4 nm”为事件A,则P(A)=1-P()=1-0.977 210≈1-0.794 0=0.206 0.故至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率为0.206 0.
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