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§4　二项分布与超几何分布
4.1　二项分布
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　n重伯努利试验及其概率分布
1.n重伯努利试验应满足的条件:
①各次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有两种结果;
③各次试验成功的概率是相同的;
④每次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是(　　)
A.①②　　　　　　B.②③
C.①②③　　　　　D.①②④
2.某人参加一次考试,共有4道试题,至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为,并且答每道题之间相互独立,则他能合格的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)若甲连续射击,击中为止,求甲恰好射击3次结束射击的概率;
(2)若乙连续射击,直至击中2次为止,求乙恰好射击3次结束射击的概率.
题组二　二项分布及其概率计算
4.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P连续移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　D.
5.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
6.若X~B(10,0.5),则当P(X=k)(k=0,1,2,…,n)取得最大值时,k=(　　)
A.4或5　　　　　　B.5或6
C.10　　　　　　 D.5
7.甲、乙两位同学进行象棋比赛,采用五局三胜制(当一人赢得三局时,该同学获胜,比赛结束).根据以往比赛成绩,每局比赛中甲获胜的概率都是p(0题组三　二项分布的期望与方差
8.(多选题)若随机变量ξ~B(10,0.5),则下列结论正确的是　(　　)
A.P(ξ=0)=P(ξ=10)
B.P(ξ=5)=
C.Eξ=5
D.Dξ=2.5
9.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,若DX=2.4,且P(X=4)A.6　　　　　　B.5
C.4　　　　　　D.3
10.(多选题)已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法,且每位患者治愈与否相互独立,设其中被治愈的人数为X,则下列选项中正确的是(　　)
A.E(2X+1)=160
B.P(X=30)=×0.830×(1-0.8)70
C.D(2X+1)=32
D.存在k=50,使得P(X=k)=P(X=100-k)成立
11.已知随机变量X~B(n,p)(012.小明从家到学校上学的路上要经过3个路口,假设在各个路口是否遇到红灯相互独立,且每个路口遇到红灯的概率都是,每遇到一次红灯的平均等待时间是1分钟.
(1)求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯,而在第二个路口遇到红灯的概率;
(2)求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率;
(3)求小明在上学路上因遇到红灯停留总时间X(单位:分钟)的分布列、数学期望EX及方差DX.
13.福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品,属于福州三宝之一,纸伞的制作工序大致分为三步:第一步削伞架,第二步裱伞面,第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技术要求,已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为,只有当每个环节制作都合格时才算一次成功制作,即才算制作了一件优秀作品.
(1)求该工艺师进行3次制作,恰有一件优秀作品的概率;
(2)若该工艺师制作4次,其中优秀作品数为X,求X的分布列及数学期望.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　二项分布的概率
1.高尔顿钉板是英国生物统计学家高尔顿设计的,如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子水平位置的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的小球,小球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子,如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个小球,则其落在第③个格子内的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.(多选题)为了防止受到核污染的某产品影响民众的身体健康,要求在进入市场前必须对该产品进行两轮核辐射检测,只有两轮检测都合格才能进行销售,否则不能销售.已知该产品按件进行检测,第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互之间没有影响.若产品可以销售,则每件产品获利40元;若产品不能销售,则每件产品亏损80元.已知4件产品为一箱,记一箱产品获利X元,则下列说法正确的是(　　)
A.每件产品能销售的概率为
B.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数,则ξ~B
C.若ξ表示一箱产品中可以销售的件数,则P(ξ=3)=
D.P(X=-80)=
3.某学生进行投篮训练,采取积分制,有7次投篮机会,投中一次得1分,不中得0分,若连续投中两次额外加1分,连续投中三次额外加2分,以此类推,连续投中七次额外加6分,假设该学生每次投中的概率是,且每次投中之间相互独立,则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
4.3月5日为“学雷锋纪念日”,某校将举行“弘扬雷锋精神,做全面发展一代新人”知识竞赛,某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛,要求每人回答一个问题,答对得2分,答错得0分,已知6名女生中有2人不会所答题目,只能得0分,其余4人均可得2分,3名男生每人得2分的概率均为,现选择2名女生和3名男生,每人答一题,则该班所选队员得分之和为6分的概率为　　　　.
5.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中,立德中学高三某小组的学生表现优异,发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X~B(n,p),记Pk=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在研究Pk的最大值时,该小组同学发现:若(n+1)p为正整数,则当k=(n+1)p时,Pk=Pk-1,此时这两项概率均为最大值;若(n+1)p为非整数,则当k取(n+1)p的整数部分时,Pk是唯一的最大值.以此为理论基础,有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时,记录到此时点数1出现5次,若再继续进行80次投掷试验,则当投掷到第100次时,点数1总共出现的次数为　　　　的概率最大.
题组二　二项分布的期望与方差
6.(多选题)在某独立重复试验中,事件A,B相互独立,且在一次试验中,事件A发生的概率为p,事件B发生的概率为1-p,其中p∈(0,1).若进行n次试验,记事件A发生的次数为X,事件B发生的次数为Y,事件AB发生的次数为Z,则下列结论正确的是(　　)
A.EX=EY　　　　　　B.DX=DY
C.EZ=DX　　　　　　D.nDZ=DX·DY
7.某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜局数不少于3局时,则认为这轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2,且满足p1+p2=,每局之间相互独立.记甲、乙两人在n轮训练中训练过关的轮数为X,若EX=16,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为(　　)
A.27　　　B.24　　　C.32　　　D.28
8.2017年11月,河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”,吸引了大批投资商的目光,一些投资商准备积极投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司在2018年年初将4百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个.
项目一:天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式,是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院,每个天坑院投资0.2百万元,假设每个天坑院是否盈利是相互独立的,据市场调研,到2020年年底每个天坑院盈利的概率为p(0项目二:天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研,投资到该项目上,到2020年年底可能盈利投资额的50%,也可能亏损投资额的30%,且这两种情况发生的概率分别为p和1-p.
(1)若投资项目一,记X1为盈利的天坑院的个数,求EX1(用p表示);
(2)若投资项目二,记投资项目二的盈利为X2百万元,求EX2(用p表示);
(3)在(1)(2)两个条件下,针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个项目,并说明理由.
答案与分层梯度式解析
§4　二项分布与超几何分布
4.1　二项分布
基础过关练
1.C　
2.A　由题意可知,他能合格的概率为.故选A.
3.解析　(1)记“甲恰好射击3次结束射击”为事件A1,则P(A1)=.
所以甲恰好射击3次结束射击的概率为.
(2)记“乙恰好射击3次结束射击”为事件A2,
则P(A2)=.
所以乙恰好射击3次结束射击的概率为.
4.B　如图,由题意可知,质点P必须向右移动2次,向上移动3次才能到点(2,3)的位置,问题相当于在5次独立重复试验中,事件“P向右移动2次”的概率,故所求概率P=.故选B.
5.B　∵随机变量ξ~B(2,p),P(ξ≥1)=,
∴1- p0(1-p)2=,
∴P(η≥2)=,故选B.
6.D　因为X~B(10,0.5),所以P(X=k)=0.5k·0.510-k=0.510,当k=5时,取得最大值,即P(X=k)取得最大值,所以k=5,故选D.
7.答案　
解析　由题意可知,甲以3∶1获胜的概率P1=p2·(1-p)p=3p3(1-p),
甲以3∶2获胜的概率P2=p2(1-p)2p=6p3(1-p)2,
由题意,得P1≤P2,
所以P1-P2=3p3(1-p)(2p-1)≤0,
又0故p的取值范围为.
8.ACD　对于A,P(ξ=0)=×0.510×(1-0.5)0=0.510,
∴P(ξ=0)=P(ξ=10),故A正确;
对于B,P(ξ=5)=,故B错误;
对于C,Eξ=10×0.5=5,故C正确;
对于D,Dξ=10×0.5×(1-0.5)=2.5,故D正确.
故选ACD.
9.A　由题意得X~B(10,p),所以DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6.
又P(X=4)0.5,所以p=0.6,
所以EX=10×0.6=6.
故选A.
10.BD　由题意可得X~B(100,0.8),
则EX=100×0.8=80,DX=100×0.8×(1-0.8)=16,
所以E(2X+1)=2EX+1=161,D(2X+1)=4DX=64,故A,C错误;
由概率公式得P(X=30)=×0.830×(1-0.8)70,故B正确;
P(X=k)=·0.8k·(1-0.8)100-k,
P(X=100-k)=·0.8100-k·(1-0.8)k,
若P(X=k)=P(X=100-k),
则·0.8k·(1-0.8)100-k=·0.8100-k·(1-0.8)k,
化简得0.82k-100=(1-0.8)2k-100,解得k=50,故D正确.
故选BD.
11.答案　
解析　因为X~B(n,p)(0所以EX=np,DX=np(1-p),
所以np=2np(1-p),解得p=.
12.解析　(1)由题意可得,小明在上学路上第一个路口未遇到红灯,而在第二个路口遇到红灯的概率为.
(2)由题意可得,小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率为1-.
(3)X的可能取值为0,1,2,3,且X~B,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX=np=3×.
13.解析　(1)由题意可知,该工艺师制作一件优秀作品的概率为,
∴该工艺师进行3次制作,恰有一件优秀作品的概率P=.
(2)由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,且X~B,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
EX=4×.
能力提升练
1.C　小球从起点到落在第③个格子内一共碰到钉子并跳动了7次,其中向左边跳动了5次,向右边跳动了2次,向左、向右的概率均为,则向右边跳动的次数X服从二项分布B,所求概率为P(X=2)=,
故选C.
2.ABD　对于A,每件产品能销售的概率为,故A正确;
对于B,由A知每件产品能销售的概率为,又知一箱中有4件产品,所以ξ~B,故B正确;
对于C,P(ξ=3)=,故C错误;
对于D,X=-80表示4件产品中有2件能销售,有2件不能销售,所以P(X=-80)=,故D正确.故选ABD.
3.B　根据题意,该学生在此次训练中恰好得7分,可分为三类情况:
①连中4次,额外加3分,剩余3次没投中,满足要求,此时将连中4次看成一个整体,与其他3次不中排序,共有=4种选择,其概率为4×;
②连中3次,额外加2分,剩余4次,2次投中,2次没投中,且2次投中不连续,故2次不中之间可能为1次中,也可能为3次中,有以下情况:中中中(不中)中(不中)中,中(不中)中中中(不中)中,中(不中)中(不中)中中中,其概率为;
③若有2次连中两回,额外加2分,剩余3次,1次投中,2次没投中,有以下情况:中中(不中)中中(不中)中,中(不中)中中(不中)中中,中中(不中)中(不中)中中,其概率为.
综上所述,该学生在此次训练中恰好得7分的概率为.
故选B.
4.答案　
解析　设“该班所选队员得分之和为6分”为事件A,
则事件A可分为以下三类:女生得0分,男生得6分,设为事件A1;女生得2分,男生得4分,设为事件A2;女生得4分,男生得2分,设为事件A3,
则P(A1)=,
P(A2)=,
P(A3)=,
故P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.
5.答案　18
解析　记继续进行80次投掷试验,出现点数为1的次数是X,则X~B,
由k=(n+1)p=81×=13.5,结合题中结论可知,当k=13时,Pk为最大值,即后面进行的80次投掷试验中出现13次点数1的概率最大,
又前面进行的20次投掷试验中点数1出现了5次,所以点数1出现18次的概率最大.
6.BC　由题意得X~B(n,p),Y~B(n,1-p),
所以EX=np,EY=n(1-p),DX=np(1-p),DY=np(1-p),故A错误,B正确;
因为事件A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)=p(1-p),所以Z~B(n,p(1-p)),所以EZ=np(1-p)=DX,故C正确;
nDZ=n2p(1-p)[1-p(1-p)],DX·DY=n2p2(1-p)2,故D错误.
故选BC.
7.A　设甲、乙每一轮训练过关的概率为p,
则p=×p1×(1-p1)
=-3+2p1p2(p1+p2)
=-3
=-3p1p2,
0令y=-3x2+x,则其图象开口向下,对称轴方程为x=,
所以0<-3p1p2≤-3×,
依题意,X~B(n,p),
所以EX=n=16,
所以n==27,
所以甲、乙两人训练的轮数至少为27.
故选A.
8.信息提取　①项目一中准备投资建设20个天坑院,每个天坑院盈利的概率为p,若盈利,则盈利投资额的40%,否则盈利额为0;②项目二可能盈利投资额的50%,也可能亏损投资额的30%,两种情况发生的概率分别为p和1-p.
数学建模　以天坑院与天鹅湖国家湿地公园投资开发为情境构建二项分布模型,分析随机事件,求得数学期望与方差.
解析　(1)由题意知X1~B(20,p),则盈利的天坑院的个数的数学期望EX1=20p.
(2)若投资项目二,则X2的分布列为
X2 2 -1.2
P p 1-p
盈利的均值EX2=2p-1.2(1-p)=3.2p-1.2.
(3)当0若盈利,则每个天坑院盈利0.2×40%=0.08(百万元),所以投资建设20个天坑院,盈利的均值为E(0.08X1)=0.08EX1=0.08×20p=1.6p.
易得D(0.08X1)=0.082DX1=0.082×20p×(1-p)=0.128p(1-p),
DX2=(2-3.2p+1.2)2p+(-1.2-3.2p+1.2)2×(1-p)=10.24p(1-p).
①当E(0.08X1)=EX2时,1.6p=3.2p-1.2,解得p=0.75,此时D(0.08X1)②当E(0.08X1)>EX2时,1.6p>3.2p-1.2,解得0③当E(0.08X1)综上,当01(共13张PPT)
　
1.二项分布的概念
　　一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p,
则X的分布列可以表示为P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).
　　若一个随机变量X的分布列如上所述,则称X服从参数为n,p的二项分布,简记为X~B(n,p).
2.二项分布的期望与方差
(1)一般地,若随机变量X~B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).
(2)特殊地,若随机变量X服从参数为p的两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).
§４ 二项分布与超几何分布
知识 清单破
4.1 二项分布
知识点 二项分布
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.n重伯努利试验中,各次试验结果之间没有影响. (　 )
2.在n重伯努利试验中,各次试验成功的概率可以不同. (　 )
3.n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次与事件A在第k次恰好发生不一样. (　 )
4.某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮命中的次数X是一个随机变量,且X~B(10,0.6). ( )
5.若X~B(5,0.4),则EX=2,DX=3. (　 )
√

√
√

1.利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤
(1)根据题意设出随机变量;
(2)分析随机变量是否服从二项分布;
(3)若服从二项分布,则求出参数n和p的值;
(4)根据需要列出相关式子并解决问题.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 二项分布的实际应用
2.解决二项分布问题的两个关注点
(1)公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时才能应用,否则不能
应用该公式.
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与
否,二者必居其一;二是重复性,即试验是否独立重复地进行了n次.
典例 某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动,为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来,在
宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有9张大小相同的精美卡片,卡片上均印有“扫黑除
恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则:抽奖者从盒中随机抽取两张卡片,若
抽到的两张分别是“普法宣传人人参与”卡和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖,否则,均
不可获奖.卡片用后放回盒子,下一位抽奖者继续重复进行.活动开始后,一位抽奖者问:“盒中
有几张‘普法宣传人人参与’卡 ”主持人答:“我只知道,从盒中抽到两张‘扫黑除恶利国
利民’卡的概率是 .”
(1)求抽奖者获奖的概率;
(2)为了增加抽奖的趣味性,规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回,再
用剩下的8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖,现有甲、乙、丙三人依次抽奖,用X表示获
奖的人数,求X的分布列和均值.
解析 (1)设“扫黑除恶利国利民”卡有n张,由 = ,解得n=4(负值舍去),故“普法宣传人
人参与”卡有5张,抽奖者获奖的概率为 = .
(2)在新规则下,每个抽奖者获奖的概率均为
× + × = ,所以X~B ,P(X=k)= (k=0,1,2,3),X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX=3× = .
求二项分布中的最大值的步骤
(1)由X~B(n,p),得P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
(2)当k≥1时,令P(X=k)-P(X=k-1)≥0或 ≥1,求出k的取值集合,此集合中P(X=k)随k
的增大而增大,在其补集中P(X=k)随k的增大而减小.
(3)结合P(X=k)的增减性确定P(X=k)的最大值和对应的k的值.
讲解分析
疑难 2 二项分布中的最大值
典例 为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅(一套住宅
为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如下表所示.
阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯
月用水量范围 (单位:立方米) (0,10] (10,15] (15,+∞)
从本市随机抽取了10户家庭(编号为1~10),统计了他们某月的用水量,具体数据如表所示:
家庭
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
月用
水量 (单位:
立方
米) 7 10 11 12 13 13 14 15 20 32
(1)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到月用水量为第二阶梯的户数X的分布列;
(2)用抽到的10户家庭的月用水量作为样本估计全市居民的用水情况,现从全市随机抽取10
户,若抽到k户月用水量为第二阶梯的可能性最大,求k的值.
解析 (1)由题中表格可知,抽取的10户家庭中月用水量为第一阶梯的有2户,第二阶梯的有6
户,第三阶梯的有2户,故取到月用水量为第二阶梯的户数X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)= = ,
P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,
P(X=3)= = .
可得X的分布列如表所示.
X 0 1 2 3
P
(2)设Y为从全市抽取的10户中月用水量为第二阶梯的家庭户数,依题意得Y~B 10, ,所以
P(Y=k)= ,其中k=0,1,2,…,10.
当k≥1时,
设t= = = .
若t>1,则k<6.6,此时P(Y=k-1)若t<1,则k>6.6,此时P(Y=k-1)>P(Y=k),
所以当k=6或k=7时,P(Y=k)的值最大.
因为 = = >1,
所以k的值为6.

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