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4.2　超几何分布
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　超几何分布及其概率计算
1.一个口袋中有6个大小相同的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号分别为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列结论中正确的是(　　)
①取出的最大号码X服从超几何分布;
②取出的黑球个数Y服从超几何分布;
③取出2个白球的概率为;
④若取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则总得分最大的概率为.
A.①②　　　　　　B.②④
C.③④　　　　　　D.②③④
2.学校要从8名同学中选4名同学组成学生会.已知恰有3名同学来自甲班,假设每名同学都有相同的机会被选中,则甲班恰有2名同学被选中的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.从含有7件次品的20件产品中,任意抽取4件,若用X表示抽取的次品个数,则表示(　　)
A.P(X=3)　　　　　　B.P(X=4)
C.P(X>3)　　　　　　D.P(X≥3)
4.(多选题)一箱儿童玩具中有3件正品,2件次品,现从中不放回地任取2件进行检测.记随机变量X为检测到的正品的件数,则(　　)
A.X服从二项分布
B.P(X≥1)=
C.X服从超几何分布
D.最有可能取得的X为1
5.某公司有一批专业技术人员,其中年龄在35~50岁的本科生和研究生分别有30人和20人,现用分层随机抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任意抽取3人,则至少有1人为研究生的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.生产方提供了共50箱的一批产品,其中有2箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则如下:从该批产品中任取5箱进行检测,若至多有1箱不合格产品,便接收该批产品.该批产品被接收的概率为　　　　.(结果用最简分数表示)
7.一个袋子中装有N个大小相同的球,其中有N1个黄球,N2个白球,从中随机摸出m个球作为样本,用X表示样本中黄球的个数.
(1)若采取有放回摸球,当N=100,N1=50,N2=50,m=10时,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过0.1的概率(用分数表示);
(2)若采取不放回摸球,当N=6,N1=2,N2=4,m=3时,求X的分布列.
题组二　超几何分布的期望与方差
8.已知6件产品中有2件次品,4件正品,检验员从中随机抽取3件进行检测,记取到的正品数为X,则下列结论正确的是(　　)
A.E(2X-1)=　　　　B.DX=
C.EX=1　　　　　　D.D(2X-1)=
9.某班为了庆祝我国传统节日中秋节,设计了一个小游戏:在一个不透明的箱子中装有4个黑球,3个红球,1个黄球,这些球除颜色外完全相同.每名学生从中一次随机摸出3个球,观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球,则分得X个月饼;若摸出的球中有黄球,则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率;
(2)求每名学生分得月饼数X的分布列和数学期望EX.
10.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识,某校高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从理科生中抽取6人,从文科生中抽取4人,组成环境保护兴趣小组,再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校组织的环保知识竞赛.
(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有2名男生、2名女生,而且这2名男生中文、理科生都有”,求事件A发生的概率;
(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人数,求X的分布列及方差.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　超几何分布的期望与方差
1.幸福农场生产的某批次20件产品中含有n(3≤n≤13,n∈N+)件次品,从中一次性任取10件,其中次品恰有X件.
(1)若n=3,求取出的产品中次品不超过1件的概率;
(2)记f(n)=P(X=3),则当n为何值时,f(n)取得最大值.
2.在中华人民共和国成立70周年之际,《我和我的祖国》《中国机长》《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映,拉开国庆档电影大幕.已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了这三部国庆档大片中的一部,在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查,其中观看了《我和我的祖国》的有49人,观看了《中国机长》的有46人,观看了《攀登者》的有34人,统计图如下.
(1)计算图中a,b,c的值;
(2)文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层随机抽样的方法抽取了7人,进行观影体验的访谈,了解到他们均表示要观看第三部电影,现从这7人中随机选出4人,用X表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数,求X的分布列及数学期望.
题组二　超几何分布与二项分布的综合运用
3.北京冬奥会之后,多个中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动.为了深入了解学生在“单板滑雪”活动中的参与情况,在该地随机选取了10所学校进行研究,得到如下数据:
(1)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”,现在从这10所学校中随机选出3所,记X为选出可作“基地学校”的学校个数,求X的分布列和数学期望;
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营,对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训,且在集训中进行了多轮测试.规定:在一轮测试中,这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”.在集训测试中,小明同学3个动作每个动作达到“优秀”的概率均为,每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次,那么理论上至少要进行多少轮测试
4.某校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,规定:至少正确完成其中2道题才可通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;考生乙每道题正确完成的概率都是,且每道题正确完成与否互不影响.
(1)分别写出考生甲、乙正确完成题数的分布列及数学期望;
(2)试用统计知识分析比较这两名考生的实验操作能力.
答案与分层梯度式解析
4.2　超几何分布
基础过关练
1.B　对于①,根据超几何分布的定义,要把总体分为两类,再依次选取,由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义,无法用超几何分布的数学模型计算概率,故①错误;
易知②正确;
对于③,取出2个白球的概率为,故③错误;
对于④,取出4个黑球的总得分最大,∴总得分最大的概率为,故④正确.故选B.
2.C　由题意得,甲班恰有2名同学被选中的概率为.故选C.
3.D　因为表示从20件产品中任意抽取4件的选法,表示抽取的4件产品中有3件次品和1件正品的选法,表示抽取的4件产品全是次品的选法,所以P(X≥3)=.故选D.
4.BCD　由题意得,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
对于A,C,显然X服从超几何分布,而不是二项分布,故A错误,C正确;
对于B,P(X≥1)=1-P(X=0)=,故B正确;
对于D,由于X=1时的概率最大,所以最有可能取得的X为1,故D正确.
故选BCD.
5.D　由题意可知,抽样的比例为,
故样本中本科生和研究生人数分别为3和2,
将该样本看成一个总体,从中任意抽取3人,则其中有1人为研究生的概率为 ,
其中有2人为研究生的概率为 ,
所以至少有1人为研究生的概率为,
故选D.
6.答案　
解析　设进行检测的5箱产品中不合格产品有X箱,则X服从超几何分布,
∴该批产品被接收的概率为P(X≤1)=.
7.解析　(1)对于有放回摸球,各次试验结果相互独立,且每次摸到黄球的概率为,且P(X=k)=(k=0,1,2,…,10),
样本中黄球的比例为一个随机变量,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例误差不超过0.1的概率P=P(4≤X≤6)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=.
(2)对于不放回摸球,各次试验的结果不独立,X服从超几何分布,且P(X=k)=(k=0,1,2),
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
则X的分布列为
X 0 1 2
P
8.D　根据题意,X的可能取值为1,2,3,且服从超几何分布,
则P(X=1)=,
P(X=3)=,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
EX=1×=2,
DX=(1-2)2×,
E(2X-1)=2EX-1=2×2-1=3,
D(2X-1)=4DX=.故选D.
9.解析　(1)记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A,则事件A有两种可能:“2个红球,1个黄球”和“1个黑球,1个红球,1个黄球”,
所以P(A)=.
(2)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX=0×.
10.解析　(1)由题意可得,抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人.
所以P(A)=.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以EX=0×,
所以DX=.
能力提升练
1.解析　(1)记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A,
则P(A)=P(X=0)+P(X=1)=,
即取出的产品中次品不超过1件的概率是.
(2)由题意知f(n)=P(X=3)=,
f(n+1)=.
若>1,
则(n+1)(13-n)>(n-2)(20-n),
解得n<5.3,
故当n<5.3时,f(n+1)>f(n);
当n>5.3时,f(n+1)即当n=6时,f(n)取得最大值.
2.解析　(1)由题意可得
(2)记“只观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组,共9人;
“只观看了《中国机长》和《攀登者》”的为B组,共6人;
“只观看了《我和我的祖国》和《攀登者》”的为C组,共6人.
所以按分层随机抽样,A,B,C组被抽取的人数分别为9×=2.
在被抽取的7人中,没有观看《我和我的祖国》的有2人,所以X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望EX=0×.
3.解析　(1)由已知得,10所学校中“基地学校”有4所,故X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以EX=0×.
(2)小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率P=,
小明同学在n(n∈N+)次测试中获得“优秀”的次数ξ满足ξ~B,
由题知,n×≥5,得n≥≈19.286,
因为n∈N+,所以n的最小值为20,
故理论上至少要进行20次测试.
4.解析　(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ,则ξ的所有可能取值为1,2,3.
P(ξ=1)=,
P(ξ=3)=,
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
Eξ=1×=2.
设考生乙正确完成实验操作的题数为η,易知η~B,
所以P(η=0)=,
P(η=1)=,
P(η=2)=,
P(η=3)=.
所以η的分布列为
η 0 1 2 3
P
所以Eη=3×=2.
(2)由(1)知Eξ=Eη=2,Dξ=(1-2)2×,
P(ξ≥2)=,P(η≥2)=.
所以DξP(η≥2),
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析,两人水平相当;
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析,甲的水平更稳定;
从至少正确完成2道题的概率方面分析,甲通过的可能性大.
因此甲的实验操作能力较强.
1(共10张PPT)
1.一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品,用X表示取出的n件
产品中次品的件数,那么P(X=k)= ,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M}.其中n≤N,M≤N,n,
M,N∈N+.
　　公式中的k可以取的最小值为max{0,n-(N-M)},而不一定是0.
　　若一个随机变量X的分布列由上式确定,则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布.
2.一般地,当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时,其均值为EX= .
知识 清单破
4.2 超几何分布
知识点 超几何分布
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成.(　 )
2.超几何分布的模型是不放回抽样. (　 )
3.超几何分布的随机变量是指从总体中所抽取的n个个体中某一类个体的数量.(　 )
4.超几何分布中随机变量的取值一定从0开始. (　 )
5.超几何分布中随机变量X的取值k的最大值是次品数M.(　 )
√
√
√


1.判断一个随机变量是否服从超几何分布应看的三点
(1)总体是否可以分为两类明确的对象;
(2)是不是不放回抽样;
(3)随机变量是不是样本中某一类个体的数量.
2.解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时
可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中,只要知道M,N,n就可以利用公式求出X取不同的值k的概率P(X=k),从而求出
X的分布列.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 超几何分布概率模型的构建
典例 某企业使用新技术对某款芯片进行试生产,该企业生产了两批同种规格的芯片,第一批
占60%,次品率为6%;第二批占40%,次品率为5%.为确保质量,现在将两批芯片混合,工作人员
从中抽样检查.
(1)从混合的芯片中任取1个,求这个芯片是合格品的概率;
(2)若在两批芯片中采取分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为15的样本,再从样本中抽
取3个芯片,求这3个芯片中第二批芯片的个数X的分布列.
解析 (1)设事件B为“任取一个芯片是合格品”,事件A1为“产品取自第一批”,事件A2为
“产品取自第二批”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.94,P(B|A2)=0.95.
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.94+0.4×0.95=0.944.
(2)由条件可知,样本中第一批芯片的个数为9,第二批芯片的个数为6,
易知X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,P(X=3)= = .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
讲解分析
疑难 2 二项分布与超几何分布的区别与联系
超几何分布 二项分布
区 别 是否放回 不放回抽样,总体越来越少 有放回抽样,总体不变
计算公式 P(X=k)= ,其中n,N,M为非负整数 P(X=k)= pk·(1-p)n-k,
其中k=0,1,2,…,n
联系 当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取的条件下,计算得到的概率非常接近,此时可以近似把超几何分
布认为是二项分布 典例 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品
作为样本并称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由
此得到样本的频率分布直方图如图.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品件数;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为其中质量超过505克的产品件数,求X的分布列;
(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为其中质量超过505克的产品件数,求Y的分布列.
解析 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以质量超过505克的产品件
数为40×0.3=12.
(2)质量超过505克的产品件数为12,则质量未超过505克的产品件数为28,且X服从N=40,M=1
2,n=2的超几何分布.
∴P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)由样本估计总体,可知从该流水线上任取1件产品,该产品的质量超过505克的概率为 =
.
从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2次独立重复试验,质量超过505克的产品件
数Y的可能取值为0,1,2,且Y~B ,
P(Y=k)= ,k=0,1,2,
∴P(Y=0)= × = ,
P(Y=1)= × × = ,
P(Y=2)= × = ,
∴Y的分布列为
Y 0 1 2
P

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