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第三章　空间向量与立体几何
§1　空间直角坐标系
1.1　点在空间直角坐标系中的坐标
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　点在空间直角坐标系中的坐标
1.在如图所示的空间直角坐标系中,棱长为1个单位的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标是　　(　　)
A.(-1,-1,-1)　　　　　B.(1,-1,1)
C.(1,-1,-1)　　　　　 D.(-1,1,-1)
2.设z为任意实数,则(2,2,z)表示的图形是　　(　　)
A.z轴
B.与xOy平面垂直的一条直线
C.xOy平面
D.与xOy平面平行的一条直线
3.如图,正方体OABC-O1A1B1C1的棱长为2,E是B1B上的点,且|EB|=2|EB1|,则点E的坐标为(　　)
A.(2,2,1)　　　　　　B.(2,2,2)　　　
C.　　　　　 D.
4.在空间直角坐标系中,已知点P(2,-1,3),M(-1,2,3),若PQ的中点为M,则点Q的坐标为(　　)
A.(4,1,1)　　　　　　B.(-4,5,3)
C.(4,-3,1)　　　　　　D.(-5,3,4)
5.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点P在xOy平面上的射影为P1(1,2,0),在yOz平面上的射影为P2(0,2,1),则点P的坐标为　　　　.
6.在空间直角坐标系中,正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3,4).设集合A={z|z=zi,i=1,2,3,4},则集合A的元素个数可能为　　　　(写出所有可能的值).
题组二　空间点的对称问题
7.在空间直角坐标系O-xyz中,与点(-1,2,1)关于zOx平面对称的点为(　　)
A.(-1,-2,1)　　　　　　B.(-1,2,1)
C.(-1,-2,-1)　　　　　 D.(1,-2,-1)
8.在空间直角坐标系中,点A(1,1,1),点B(3,-1,4),则点A关于点B的对称点的坐标是(　　)
A.(2,-2,3)　　　　　　B.(5,-3,7)
C.(5,-1,3)　　　　　　D.(4,0,5)
9.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(1,2,3)与点B(-1,-2,3)关于(　　)
A.原点对称　　　　　　B.xOy平面对称
C.y轴对称　　　　　　 D.z轴对称
10.设M不是坐标平面上的点.若点M关于xOz平面的对称点为M1,点M1关于坐标原点的对称点为M2,则点M关于以下哪条坐标轴对称可以得到M2(　　)
A.x轴　　　　　　B.y轴
C.z轴　　　　　　D.以上都不对
答案与分层梯度式解析
第三章　空间向量与立体几何
§1　空间直角坐标系
1.1　点在空间直角坐标系中的坐标
基础过关练
1.C　顶点A到三个坐标平面的距离都为1,结合坐标轴方向易知其坐标为(1,-1,-1).
2.B　(2,2,z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线,所以(2,2,z)表示的图形是与xOy平面垂直的一条直线.
3.D　由题意得EB⊥xOy平面,B(2,2,0),
所以设E(2,2,z).
因为|EB|=2|EB1|,
所以z=|EB|=,
所以E.故选D.
4.B　设点Q的坐标为(a,b,c),
则
∴点Q的坐标为(-4,5,3).故选B.
5.答案　(1,2,1)
6.答案　2,3,4
解析　若集合A中只有一个元素,则P1,P2,P3,P4在同一个垂直于z轴的平面内,不符合题意,
当正四面体P1P2P3P4的一个面与xOy平面平行或在xOy平面内时,集合A中有2个元素;
当正四面体P1P2P3P4有且仅有一条棱与xOy平面平行或在xOy平面内时,集合A中有3个元素;
当正四面体P1P2P3P4的各面、各棱均不与xOy平面平行且均不在xOy平面内时,集合A中有4个元素.
故集合A中的元素个数可能为2,3,4.
7.A　
8.B　设点A关于点B的对称点为Q(x,y,z),
由中点坐标公式可得
即Q(5,-3,7),故选B.
9.D　
10.B　设M(a,b,c),则点M关于xOz平面的对称点为M1(a,-b,c),则点M1关于坐标原点的对称点为M2(-a,b,-c).
对于A,点M关于x轴的对称点为(a,-b,-c),故A错误;
对于B,点M关于y轴的对称点为(-a,b,-c),故B正确,D错误;
对于C,点M关于z轴的对称点为(-a,-b,c),故C错误.
故选B.
1(共12张PPT)
　　过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上分别建立数
轴:x轴、y轴和z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点,x轴(横轴)、y
轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴,通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平
面、yOz平面、zOx平面.x轴、y轴、z轴的方向通常符合右手螺旋法则.
§1 空间直角坐标系
知识点 1 空间直角坐标系
知识 清单破
1.在空间直角坐标系中,任意一点P与三元有序实数组(x,y,z)之间建立了一一对应的关系:P
(x,y,z).三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标,记作P(x,y,z),其中x叫作
点P的横坐标,y叫作点P的纵坐标,z叫作点P的竖坐标.
2.特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示
知识点 2 点在空间直角坐标系中的坐标
点的位置 在x轴上 在y轴上 在z轴上
坐标表示 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
点的位置 在xOy平面内 在yOz平面内 在zOx平面内
坐标表示 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
　　已知空间中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)两点,则P,Q两点间的距离为|PQ|=
.
特别地,空间任意一点P(x,y,z)到原点O的距离|OP|= .
知识点 3 空间两点间的距离公式
知识拓展 (1)点P(x,y,z)到坐标平面xOy的距离为|z|.
(2)点P(x,y,z)到坐标平面yOz的距离为|x|.
(3)点P(x,y,z)到坐标平面zOx的距离为|y|.
(4)点P(x,y,z)到x轴的距离为 .
(5)点P(x,y,z)到y轴的距离为 .
(6)点P(x,y,z)到z轴的距离为 .
(7)已知空间两点间的距离求点的坐标,是距离公式的逆应用,可直接设出该点坐标,利用待定
系数法求解点的坐标.
(8)利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时,需分别求出三边长,得到边长之间的数
量关系;判定三点共线时,需分别求出任意两点连线的长度,并确定其中两线段的长度之和等
于第三条线段的长度.
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.空间直角坐标系中的三个坐标平面把空间分成了3个部分. (　 )
2.给定空间直角坐标系,空间任意一点与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系. ( )
3.点P(0,0,1)在z轴上. (　 )
4.点(1,1,1)到原点的距离为 . (　 )
5.点A(1,3,-2)到x轴的距离为1. (　 )


√
√
提示
提示
提示
分成了8个部分.
坐标系内的点与有序实数组是一一对应关系.
z轴上的点的横、纵坐标均为0.
√
1.空间直角坐标系的构建
(1)建立空间直角坐标系遵循的原则:
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;
②充分利用几何图形的对称性.
(2)建立空间直角坐标系的常用策略:
①利用几何体中共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系;
②利用线面的垂直关系构建直角坐标系;
③利用面面的垂直关系构建直角坐标系.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 确定空间中的点的坐标
2.求点的坐标的常见方法
(1)投影法
看所求点分别在x轴、y轴、z轴的投影对应的数值.如求点P的横坐标x,如图,可过点P作PP1⊥
平面xOy于点P1,再过点P1作P1P2⊥x轴于点P2,点P2的横坐标即为x;或直接构造长方体OP,确定
线段P1P3,P1P2,PP1的长,再注意对正负号的选取即可得点P的坐标.

　　一般地,当点在平面xOy、平面zOx、平面yOz内或易确定点在x轴、y轴、z轴上的投影时
均适合用投影法.
(2)公式法
线段的中点、n等分点或三角形的重心等可用公式法求解.
若点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则线段AB的中点的坐标为 ;三角形
ABC重心的坐标为 ;当点P在线段AB上且AP=λPB时,
P .
(3)向量法(后面会学习)
(4)几何法:把空间问题转化为平面问题,用平面几何知识求解.
(5)待定系数法:设点P(x,y,z),利用已知条件求出x,y,z的值.
典例 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在线段BC1上,且|BM|=2|MC1|,N是线段D1
M的中点,求点M,N的坐标.

解析 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,过
点M作MM1⊥BC于点M1,连接DM1,取DM1的中点N1,连接NN1.
由|BM|=2|MC1|,知|MM1|= |CC1|= ,|M1C|= |BC|= .
因为M1M∥DD1,所以M1M与z轴平行,点M1与点M的横、纵坐标相同,点M
的竖坐标为 ,所以M .
由N1为DM1的中点,知N1 .
因为N1N与z轴平行,且|N1N|= = ,所以N .
P(x,y,z) P1(-x,-y,-z);
P(x,y,z) P2(-x,y,z);
P(x,y,z) P3(x,-y,z);
P(x,y,z) P4(x,y,-z);
P(x,y,z) P5(x,-y,-z);
P(x,y,z) P6(-x,y,-z);
P(x,y,z) P7(-x,-y,z).
记忆方法:关于谁对称谁不变,其余的取相反数.
疑难 2 空间直角坐标系中点的对称问题
讲解分析
典例 已知点A(-4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1,A1关于zOx平面的对称点为A2,A2关于z轴的
对称点为A3,则线段AA3的中点M的坐标为　　　 .
解析 点A(-4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4,-2,-3),
点A1(4,-2,-3)关于zOx平面的对称点A2的坐标为(4,2,-3),
点A2(4,2,-3)关于z轴的对称点A3的坐标为(-4,-2,-3),
∴线段AA3的中点M的坐标为(-4,0,0).
(-4,0,0)1.2　空间两点间的距离公式
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　空间两点间的距离公式
1.在空间直角坐标系O-xyz中,点M(3,5,2)在xOz平面内的射影是点N,则|ON|=(　　)
A.　　　B.5　　　C.　　　D.
2.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(0,1,-1),B(1,1,2),点B关于y轴对称的点为C,则|AC|=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.2
3.(多选题)在空间直角坐标系中,O为坐标原点,点P的坐标为(1,2,3),则下列说法错误的是(　　)
A.点P到原点O的距离是
B.点P到x轴的距离是
C.点P到xOy平面的距离是3
D.点P到yOz平面的距离是3
4.空间四边形ABCD的各顶点分别是A(0,2,4),B(2,0,2),C(1,-1,1),D(-1,3,1),E,F分别是AB,CD的中点,则EF的长为(　　)
A.　　　B.　　　C.2　　　D.2
题组二　空间两点间的距离公式的应用
5.从点M(0,2,1)发出的光线,经xOy平面反射后到达点N(2,0,2),则光线所走的路程为(　　)
A.3　　　B.4　　　C.　　　D.3
6.在空间直角坐标系中,以A(m,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形,其中m∈Z,则m的值为(　　)
A.-4　　　　　　B.4
C.-6或4　　　　D.6或4
7.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AB=1,AP=2,PA⊥平面ABCD,动点M,N分别在线段BD,PC上,则线段MN长度的最小值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
8.在空间直角坐标系O-xyz中,点M(1,0,3),N(0,2,0),点P在xOz平面内,且|PM|=|PN|,请写出一个满足条件的点P的坐标:　　　　.
9.对于任意实数x,y,z,的最小值为　　　　.
10.已知正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,且平面ABCD⊥平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0(1)求MN的长;
(2)当a为何值时,MN的长最小 并求出最小值.
答案与分层梯度式解析
1.2　空间两点间的距离公式
基础过关练
1.A　点M(3,5,2)在xOz平面内的射影是点N(3,0,2),
所以|ON|=.故选A.
2.C　点B(1,1,2)关于y轴对称的点为C(-1,1,-2),故|AC|=.
故选C.
3.AD　由已知得,|OP|=,故A中说法错误;
点P到x轴的距离为,故B中说法正确;
点P到xOy平面的距离为3,故C中说法正确;
点P到yOz平面的距离为1,故D中说法错误.
故选AD.
4.A　由已知得,E(1,1,3),F(0,1,1),由空间两点间的距离公式得|EF|=.故选A.
5.C　设点M关于xOy平面对称的点为P,则P(0,2,-1),
所以光线所走的路程为|PN|=.
故选C.
6.B　若△ABC是以AB为底边的等腰三角形,
则|AC|=|BC|,即
=,m∈Z,
整理,得m2-4m-49=0,m∈Z,无解;
若△ABC是以AC为底边的等腰三角形,
则|AB|=|BC|,即
=,m∈Z,
整理,得m2-20m+15=0,m∈Z,无解;
若△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
则|AB|=|AC|,即
=,m∈Z,
即m2-20m+113=m2-4m+49,m∈Z,解得m=4.
故选B.
7.A　建立如图所示的空间直角坐标系,
因为底面ABCD是正方形,AB=1,AP=2,
所以设M(t,1-t,0),N(m,m,2-2m),0≤t≤1,0≤m≤1,
则|MN|=,
当m=时,|MN|min=,
故选A.
8.答案　(0,0,1)(本题答案不唯一,符合(x,0,z),x+3z=3即可)
解析　设P(x,0,z),由|PM|=|PN|,得
,
化简,得x+3z=3.
当x=0时,z=1,此时P(0,0,1).
故答案为(0,0,1).(本题答案不唯一,符合(x,0,z),x+3z=3即可)
9.答案　
解析　表示空间中的点(x,y,z)与点(0,0,0),(-1,2,1)之间的距离之和,所以最小值即为点(0,0,0)与(-1,2,1)之间的距离,此时点(x,y,z)在点(0,0,0)与(-1,2,1)的连线上,故最小值为.
10.解析　因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE,
所以BE⊥平面ABCD,
所以AB,BC,BE两两垂直.
过点M作MG⊥AB,MH⊥BC,垂足分别为G,H,连接NG,易证NG⊥AB.
因为CM=BN=a,
所以CH=MH=BG=GN=a.
以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则M.
(1)|MN|=
=.
(2)由(1)得,当a=时,MN的长最小,且最小值为.
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