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§4　向量在立体几何中的应用
4.1　直线的方向向量与平面的法向量
4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　直线的方向向量
1.(多选题)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)
A.若a是直线l的方向向量,则λa(λ∈R)也是直线l的方向向量
B.空间任意一条直线的位置可以由直线上一点及该直线的方向向量唯一确定
C.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反
D.若A(-1,2,1),B(1,0,3)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(1,-1,1)
2.已知直线l1的一个方向向量为a=(2,4,m),直线l2的一个方向向量为b=(2,n,2),若|a|=6且a⊥b,则m+n的值是(　　)
A.-3或1　　　B.3或-1　　　C.-3　　　D.1
3.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2x2,6x)(x≠0)都是直线l的方向向量,则x的值是　　　　.
题组二　平面的法向量
4.(多选题)已知向量=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱DD1的中点,以A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),则平面ABE的一个法向量为(　　)
A.(1,0,-2)　　　　　　B.(0,1,2)
C.(0,2,-4)　　　　　　D.(-2,1,4)
6.17世纪,笛卡儿在《几何学》中,通过建立坐标系,引入点的坐标的概念,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,打开了数学发展的新局面,创立了新分支——解析几何.我们知道,方程x=1在一维空间中表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面.那么,过点P0(1,2,1)且以u=(-2,1,3)为法向量的平面α所对应的方程为(　　)
A.x+2y-z+3=0　　　　　　B.2x-y-3z-3=0
C.x+2y+z-3=0　　　　　　D.2x-y-3z+3=0
题组三　利用向量解决平行问题
7.若两条不重合的直线l1和l2的一个方向向量分别为ν1=(1,0,-1),ν2=(-2,0,2),则l1和l2的位置关系是(　　)
A.平行　　　B.相交　　　C.垂直　　　D.不确定
8.已知直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则“m·n=0”是“l∥α”的(　　)
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件
9.已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量为n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则(　　)
A.α∥β　　　　　　
B.α⊥β
C.α与β相交但不垂直　　　　　　
D.以上都不对
10.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为(　　)
A.(1,1,1)　　　　　　B.
C.　　　　 D.
题组四　利用向量解决垂直问题
11.(多选题)已知e为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列说法中正确的有(　　)
A.e⊥n1 l∥α
B.n1⊥n2 α⊥β
C.n1∥n2 α∥β
D.e∥n1 l⊥α
12.已知直线l和平面ABC,若直线l的一个方向向量n=(1,-2,-5),向量=(2,1,0),则下列结论一定正确的为(　　)
A.l⊥平面ABC
B.l与平面ABC相交,但不垂直
C.l∥直线BC
D.l∥平面ABC或l 平面ABC
13.已知平面α的一个法向量为(2,-4,-2),平面β的一个法向量为(-1,2,k),若α⊥β,则k=　　　　.
14.如图,下列正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点,则满足MN⊥OP的是　　　　.(填序号)
　　　　　　　
　　　　　　　
15.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=
∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.
16.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=a,E,F分别是BB1,CC1上的点,且BE=a,CF=2a,求证:平面AEF⊥平面ACF.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　利用向量解决平行问题
1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱DD1,BB1上的动点(异于所在棱的端点).给出下列结论:①直线FC1能与AE平行;②直线AC1与EF必然异面;③设直线AE,AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P,Q,则点C1可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是　　(　　)
A.①②　　　B.①③　　　C.②③　　　D.①
2.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.求证:
(1)直线EE1∥平面FCC1;
(2)平面ADD1A1∥平面FCC1.
题组二　利用向量解决垂直问题
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2AD=4,PD=,E是PA的中点,.若点M在矩形ABCD内,且PM⊥平面DEF,则DM=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为的正方形,CC1⊥BC,BC=1,AB=2.
(1)证明:平面A1BC⊥平面ABC1;
(2)在线段A1B上是否存在点M,使得CM⊥BC1 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
题组三　向量法的综合应用
5.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是BB1,DD1的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.A1O∥EF　　　　　　B.A1O⊥EF
C.A1O∥平面EFB1　　　D.A1O⊥平面EFB1
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,BC的中点.
(1)证明:PF⊥DF;
(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD.
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别为AC,B1C1的中点.
(1)求证:MN∥平面ABB1A1;
(2)在线段CC1上是否存在点Q,使得A1B⊥平面MNQ 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
§4　向量在立体几何中的应用
4.1　直线的方向向量与平面的法向量
4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系
基础过关练
1.BCD　对于A,当λ=0时,λa=0不能作为直线l的方向向量,故A错误;
易知B正确;
对于C,相互平行的两条直线的方向向量共线,所以两向量的方向相同或相反,故C正确;
对于D,l的一个方向向量为=(1-(-1),0-2,3-1)=(2,-2,2)=2(1,-1,1),
所以(1,-1,1)也为l的一个方向向量,故D正确.
故选BCD.
2.A　∵|a|==6,∴m=±4,
又∵a⊥b,∴a·b=2×2+4n+2m=0,
∴n=-1-m,
当m=4时,n=-3,则m+n=1;
当m=-4时,n=1,则m+n=-3.
∴m+n的值为1或-3.故选A.
3.答案　-1
解析　由题意得,存在实数λ,使得b=λa,即(-4,2x2,6x)=λ(2,-1,3),
即
4.AB　设平面ABC的一个法向量为m=(x,y,z),则取y=λ,λ∈R,则x=-λ,z=-λ,所以m=.若m为单位向量,则λ2+λ2+λ2=1,解得λ=±,故平面ABC的单位法向量为.
故选AB.
5.C　由题意可得A(0,0,0),E(0,2,1),B(2,0,0),
所以=(2,0,0),
设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z),
则
取y=1,得x=0,z=-2,则m=(0,1,-2),
所以2m=(0,2,-4)也是平面ABE的一个法向量.
故选C.
6.D　设P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则=(x-1,y-2,z-1),
故过点P0(1,2,1)且以u=(-2,1,3)为法向量的平面α所对应的方程为
-2(x-1)+(y-2)+3(z-1)=0,整理,得2x-y-3z+3=0.故选D.
7.A　因为v2=-2v1,所以v2与v1共线,所以两条不重合的直线l1和l2的位置关系是平行.故选A.
8.D　当直线l的方向向量m和平面α的法向量n满足m·n=0时,l∥α或l α,
而当l∥α时,m·n=0.
所以“m·n=0”是“l∥α”的必要不充分条件,故选D.
9.A　由题意得=(1,0,-1).
∵n·=(-1,-1,-1)·(0,1,-1)=0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0,n·=(-1,-1,-1)·(1,0,
-1)=-1×1+0+(-1)×(-1)=0,
∴n⊥,n⊥,∴n也为α的一个法向量,
又α与β不重合,∴α∥β.故选A.
10.C　连接OE.设点M的坐标为(x,y,1),
因为AC∩BD=O,所以O,
又E(0,0,1),A(,0),
所以,1),
因为AM∥平面BDE,平面ACEF∩平面BDE=OE,所以,
所以
所以点M的坐标为.故选C.
11.BCD　e⊥n1 l∥α或l α,故A错误;易判断BCD正确.
12.D　因为n·=1+0+5=6≠0,所以n与不垂直,即l与AB不垂直,又AB 平面ABC,所以直线l与平面ABC不垂直,故A错误;
=(1,1,1),易知不存在实数k,使得n=k,所以n与不平行,即直线l与直线BC不平行,故C错误;
设m=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,
则取x=1,则y=-2,z=1,所以m=(1,-2,1),所以m·n=1+4-5=0,所以m⊥n,所以直线l与平面ABC平行或在平面ABC内,故B错误,D正确.
故选D.
13.答案　-5
解析　因为α⊥β,所以两平面的法向量垂直,
所以(2,-4,-2)·(-1,2,k)=-2-8-2k=0,解得k=-5.
14.答案　②③
解析　设正方体的棱长为2.
对于①,建立如图1所示的空间直角坐标系,
则M(2,0,2),N(0,2,2),P(0,2,1),O(1,1,0),
所以=(-1,1,1),
则=2+2+0≠0,
所以不垂直,即MN与OP不垂直,所以①错误;
对于②,建立如图2所示的空间直角坐标系,
则M(2,0,0),N(0,0,2),P(2,0,1),O(1,1,0),
所以=(1,-1,1),
则=-2+0+2=0,
所以,即MN⊥OP,所以②正确;
对于③,建立如图3所示的空间直角坐标系,
则M(2,2,2),N(0,2,0),P(0,0,1),O(1,1,0),
所以=(-1,-1,1),
则=2+0-2=0,
所以,即MN⊥OP,所以③正确;
对于④,建立如图4所示的空间直角坐标系,
则M(0,2,0),N(0,0,2),P(2,1,2),O(1,1,0),
所以=(1,0,2),
则=0+0+4≠0,
所以不垂直,即MN与OP不垂直,所以④错误.
故答案为②③.
15.证明　如图,取BC的中点O,连接PO.易知PO⊥平面ABCD,以O为坐标原点建立空间直角坐标系.
设AB=2a,则A(a,-2a,0),P(0,0,a),B(a,0,0),D(-a,-a,0),
∴=(-2a,-a,0),
∴=a×(-2a)+(-2a)×(-a)+0=0,
∴,即PA⊥BD.
16.证明　以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
不妨设a=2,则A(0,0,0),E(,1,2),F(0,2,4),
∴=(0,2,4).
∵x轴⊥平面ACF,∴可取平面ACF的一个法向量为m=(1,0,0).
设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z),
则取z=1,可得n=(0,-2,1)为平面AEF的一个法向量.
∵m·n=0,∴m⊥n,∴平面AEF⊥平面ACF.
能力提升练
1.B　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=C1D1,DD1=BB1,B1C1=AD,连接C1E,如图①,由勾股定理得AE=,当E,F分别是棱DD1,BB1的中点时,AE=C1F,同理可得AF=C1E,所以四边形AEC1F是平行四边形,所以直线FC1能与AE平行,直线AC1能与EF相交,①正确,②错误;
以C1为坐标原点,C1D1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图②所示的空间直角坐标系,则当E,F分别是棱DD1,BB1的中点且长方体为正方体时,延长AE,交A1D1的延长线于点P,延长AF,交A1B1的延长线于点Q,连接PQ,设正方体的棱长为2,则C1(0,0,0),P(2,
-2,0),Q(-2,2,0),则=(2,-2,0),则,又C1P与QC1有公共点C1,所以C1,P,Q三点共线,所以点C1可能在直线PQ上,③正确.故选B.
2.证明　证法一:(1)因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,底面ABCD为等腰梯形,
所以BF=BC=CF,所以△BCF为正三角形,
所以∠BAD=∠ABC=60°.
取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD.
以D为原点,DM,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
则F(,-1,1),所以.
设平面FCC1的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,得y=,z=0,所以n=(1,,0),
则n·+0×1=0,所以n⊥.
又直线EE1 平面FCC1,
所以直线EE1∥平面FCC1.
(2)易得D(0,0,0),D1(0,0,2),A(,-1,0),
所以=(0,0,2).
设平面ADD1A1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
则
令x1=1,得y1=,z1=0,
所以m=(1,,0).
结合(1)知m=n,即m∥n,
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
证法二:(1)取A1B1的中点G,连接C1G,GF,CG,A1D(图略).
因为A1G=A1B1,A1G∥D1C1,DC∥D1C1,所以A1G DC,所以四边形A1DCG为平行四边形,所以A1D∥CG.
又E,E1分别为AD,AA1的中点,所以EE1为△ADA1的中位线,所以EE1∥A1D,即EE1∥CG.
因为EE1 平面FCC1,CG 平面FCC1,
所以EE1∥平面FCC1.
(2)由(1)知A1D∥CG.易知DD1∥CC1,
因为A1D∩DD1=D,A1D,DD1 平面ADD1A1,CG∩CC1=C,CG,CC1 平面FCC1,
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
3.D　如图,以D为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),P,F,所以.
设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令z=,得x=-2,y=-1,
所以n=(-2,-1,).
设M(m,n,0),0≤m≤2,0≤n≤4,
则.
因为PM⊥平面DEF,所以∥n,
则,解得m=.
故DM=.
故选D.
4.解析　(1)证明:在△ABC中,AC=,BC=1,AB=2,满足AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.
又CC1⊥BC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.
又AC1 平面ACC1A1,所以BC⊥AC1.
因为四边形AA1C1C是正方形,所以AC1⊥A1C,
又BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC.
又AC1 平面ABC1,
所以平面A1BC⊥平面ABC1.
(2)在线段A1B上存在点M,使得CM⊥BC1,且.
以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则C(0,0,0),B(0,1,0),A1(),所以),设M(x,y,z),(0≤λ≤1),则(x,y-1,z)=λ(),解得x=λ,所以λ),要使CM⊥BC1,则需=0,即1-λ-3λ=0,解得λ=,故.
5.B　在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
令AB=2a,DD1=2b(a>0,b>0),则O(a,a,0),A1(2a,0,2b),E(2a,2a,b),F(0,0,b),B1(2a,2a,2b),所以
=(0,0,b).对于A,显然不共线,即A1O与EF不平行,A不正确;对于B,因为=-2a2+2a2=0,所以,即A1O⊥EF,故B正确;对于C,设平面EFB1的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得y=-1,z=0,所以n=(1,-1,0),因为·n=2a>0,所以与n不垂直,即A1O不平行于平面EFB1,故C不正确;对于D,由选项C知,与n不共线,即A1O不垂直于平面EFB1,故D不正确.故选B.
6.解析　如图,建立空间直角坐标系A-xyz,
则F(1,1,0),D(0,2,0),E,
不妨令P(0,0,t),则=(1,-1,0).
(1)证明:∵=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,
∴,即PF⊥DF.
(2)设平面PFD的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令z=1,得x=y=,∴n=.
设G(0,0,m),则.
要使EG∥平面PFD,只需·n=0,
即-+m×1=0,解得m=t.
∴当点G满足AG=AP时,EG∥平面PFD.
7.解析　(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,所以直线CB,CC1,CA两两垂直,故以C为坐标原点,CB,CC1,CA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,
设AC=2,则M(0,0,1),A(0,0,2),B(2,0,0),N(1,2,0),B1(2,2,0),
所以=(2,2,-2),
设n=(x,y,z)是平面ABB1A1的一个法向量,
则
令x=1,得y=0,z=1,所以n=(1,0,1),
显然·n=1+0-1=0,即⊥n,
又MN 平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1.
(2)存在.
假设在线段CC1上存在点Q满足条件,设CQ=y0,0≤y0≤2,
由A1(0,2,2),B(2,0,0),M(0,0,1),N(1,2,0),Q(0,y0,0),
得=(0,y0,-1),
设m=(a,b,c)是平面MNQ的一个法向量,
则
令b=1,得a=y0-2,c=y0,所以m=(y0-2,1,y0),
由A1B⊥平面MNQ,得∥m,即存在实数λ,满足m=λ,即解得λ=-,y0=1,因此CQ=1,即Q是CC1的中点,所以在线段CC1上存在点Q,使得A1B⊥平面MNQ,此时.
1(共22张PPT)
1.直线的方向向量
　　设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称 为直线l的方向向量.与 平行的任意非零向
量a也是直线l的方向向量.
§４ 向量在立体几何中的应用
知识点 1 直线的方向向量与平面的法向量
知识 清单破
4.1 直线的方向向量与平面的法向量
4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
2.平面的法向量
　　如图,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量,
则n⊥α.
　　设点M是平面α内给定的一点,向量n是平面α的一个法向量,那么对于平面α内任意一点P,
必有 ·n=0.反过来,满足此式的点P都在平面α内,所以把此式称为平面α的一个向量表示式.
位置关系 向量表示
线线平行 设两条不同直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,
则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得u1=λu2
线面平行 设直线l的方向向量为u,n是平面α的法向量,
且l α,则l∥α u⊥n u·n=0
面面平行 设两个不同平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α
∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2
知识点 2 空间中的平行
知识点 3 空间中的垂直
位置 关系 向量表示
线线 垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0
线面 垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α u∥n λ∈R,使得u=λn
面面 垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
　　三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直,则它也
和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线
在这个平面内的投影垂直.
知识点 4 三垂线定理
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. (　 )
2.一个平面的法向量有无数个,任意两个都是共线向量.(　 )
3.要证明两平面平行,只需证明两平面的法向量垂直即可. (　 )
4.要证明直线与平面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可.(　 )
5.若直线a是平面α外的一条直线,直线b垂直于直线a在平面α内的投影,则a⊥b. (　 )




√
提示
提示
提示
提示
此命题成立的前提条件是k≠0.
要证明两平面平行,只需证明两平面的法向量平行即可.
要证明直线与平面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可.
若直线b不在平面α内,则命题不成立.
平面法向量的确定的两种常用方法
(1)若几何体中已经给出有向线段,则只需证明线面垂直;
(2)若几何体中没有具体的直线,则此时可以采用待定系数法求解平面的法向量.
　　若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求
解,一般步骤:
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 求平面的法向量

提醒 (1)求平面的法向量n=(x,y,z)时,一般将x,y,z中的一个视为“已知数”,表示出另外两个,
再令这个“已知数”为1(或其他非零常数),即可求得n.
(2)从简化运算的角度出发,应尽量避免法向量的坐标中含有分数.
(3)(0,0,0)不能作为平面的一个法向量,当x=y=z时,不能给其中一个赋值为0.
典例 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,|AB|
=|AA1|= ,建立空间直角坐标系,则平面OCB1的一个法向量的坐标为　 　　 .

(1,0,-1)(答案不唯一)
解析 ∵四边形ABCD是正方形,且|AB|= ,∴|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=1,
∴A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),
∴ =(1,1,0), =(0,1,0),
又 = ,∴ =(1,1,0).
∵|OA|=1,|AA1|= ,
∴|OA1|= =1,
∴ =(0,0,1),
∴ = + =(1,1,1),
设平面OCB1的一个法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,得y=0,z=-1,∴n=(1,0,-1),
∴平面OCB1的一个法向量为n=(1,0,-1).(答案不唯一)
1.证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
2.证明线面平行的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;
(2)在平面内找一个直线的方向向量的共线向量;
(3)利用平面向量基本定理,即证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线的向量线性表
示.
3.证明面面平行的方法
(1)证明两个平面的法向量平行;
(2)转化为线面平行、线线平行来证明.
讲解分析
疑难 2 用向量法证明空间平行问题
典例 如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=
AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:
(1)PB∥平面EFG;
(2)平面EFG∥平面PBC.

证明 因为△PAD是直角三角形,
所以PA⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA 平面PAD,
所以PA⊥平面ABCD,
又AB 平面ABCD,所以PA⊥AB,
又四边形ABCD为正方形,所以AB⊥AD,
所以AB,AD,AP两两互相垂直.
以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,

则B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
(1)解法一: =(0,1,0), =(1,2,-1),
设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z),
则 即
令z=1,得x=1,y=0,所以n=(1,0,1).
因为 =(2,0,-2),
所以 ·n=0,所以n⊥ ,
又PB 平面EFG,
所以PB∥平面EFG.
解法二: =(2,0,-2), =(0,-1,0), =(1,1,-1).
设 =s +t ,
即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),
所以 解得s=t=2,
所以 =2 +2 ,
又 与 不共线,
所以 , , 共面.
因为PB 平面EFG,
所以PB∥平面EFG.
(2)解法一: =(0,1,0), =(0,2,0),
所以 =2 ,所以BC∥EF.
又EF 平面PBC,BC 平面PBC,
所以EF∥平面PBC,
同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC.
又EF∩GF=F,EF 平面EFG,GF 平面EFG,
所以平面EFG∥平面PBC.
解法二: =(2,0,-2), =(0,2,0),
设平面PBC的一个法向量为m=(a,b,c),
则 即
令c=2,得a=2,b=0,所以m=(2,0,2).
由(1)知,平面EFG的一个法向量为n=(1,0,1),
所以m=2n,即m∥n,
所以平面EFG∥平面PBC.
1.基向量法
(1)取三个不共面的已知向量(通常已知它们的模及两两之间的夹角)为空间向量的一组基;
(2)把两直线的方向向量用基表示;
(3)利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量积为0;
(4)由方向向量垂直得到两直线垂直.
2.坐标法
(1)根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确写出各点的坐标;
(2)根据各点坐标求出两直线方向向量的坐标;
(3)计算出两直线方向向量的数量积为0;
(4)由方向向量垂直得到两直线垂直.
讲解分析
疑难 3 用向量法证明空间垂直问题
典例 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的等边三角形,CC1=2,D,E分别是线段AC,
CC1的中点,C1在平面ABC内的射影为D.求证:A1C⊥平面BDE.

证明 证法一:连接C1D,∵C1在平面ABC内的射影为D,∴C1D⊥平面ABC,
又BD,AC 平面ABC,
∴C1D⊥BD,C1D⊥AC,
∵△ABC为等边三角形,D为AC的中点,
∴BD⊥AC,故AC,BD,C1D两两垂直.
以D为坐标原点,DB,DA,DC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标
系,

则D(0,0,0),B( ,0,0),C(0,-1,0),E ,A1(0,2, ),
∴ =( ,0,0), = , = ,
∵ · =0, · = - =0,
∴ ⊥ , ⊥ ,
即BD⊥A1C,DE⊥A1C,
又BD∩DE=D,BD,DE 平面BDE,
∴A1C⊥平面BDE.
证法二:同证法一,建立如图所示的空间直角坐标系,

则D(0,0,0),B( ,0,0),C(0,-1,0),E ,A1(0,2, ),
∴ =( ,0,0), = , =(0,-3,- ),
设平面BDE的一个法向量为m=(x,y,z),
则 即
不妨取z=1,则x=0,y= ,
∴m=(0, ,1),
又 =(0,-3,- ),∴ =- m,
∴ ∥m,∴A1C⊥平面BDE.

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