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本章复习提升
易混易错练　　　　　 　　　　 　　　　
易错点1　利用两个基本计数原理解题时考虑不周致错
1.将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果恰有5种颜色可供使用,则不同的染色方法有(　　)
A.480种　　　　　　B.360种
C.420种　　　　　　D.320种
2.五岳是中华传统文化中五大名山的总称,分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美,决定用两个月的时间游览完五岳,且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山(五岳只游览一次),若在同一个月游览不考虑先后顺序,则恰好在同一个月游览华山和恒山的情况有　　　　种.
易错点2　忽略特殊元素与特殊位置致错
3.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数,要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字,则符合要求的六位数的个数有　　　　.
4.在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目.
(1)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的站法
(2)甲、乙、丙三人按高矮从左到右有多少种不同的站法 (甲、乙、丙三人身高互不相等)
(3)现在有7个座位连成一排,仅安排4个男生就座,恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种
易错点3　混淆展开式中项的系数与二项式系数致错
5.(多选题)下列关于的展开式的说法中正确的是(　　)
A.常数项为-160
B.第4项的系数最大
C.第4项的二项式系数最大
D.含x2项的系数为30
6.在(2x-3y)10的展开式中,求:
(1)各二项式系数和;
(2)各项系数和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
思想方法练　　　　　 　　　　 　　　　
一、分类讨论思想在排列组合中的应用
1.口袋里有红、黄、蓝、绿的小球各4个,这些球除颜色外完全相同,现在从口袋里任意取出4个小球,则不同的取法有(　　)
A.48种　　　　　　B.77种
C.35种　　　　　　D.39种
2.四面体的顶点和各棱的中点共10个点.在这10个点中取4个不共面的点,则不同的取法种数为(　　)
A.141　　　　　　B.144
C.150　　　　　　D.155
3.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取集合{-2,-1,0,1,2}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,则这样的直线的条数是　　　　.
二、整体思想在排列组合中的应用
4.加工某种产品需要5道工序,分别为A,B,C,D,E,其中工序A,B必须相邻,工序C,D不能相邻,那么不同的加工方法种数为(　　)
A.24　　　　　　B.32
C.48　　　　　　D.64
5.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人坐下,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是(　　)
A.234　　　　　　B.346
C.350　　　　　　D.363
6.某电视台连续播放7个不同的广告,其中4个不同的商业广告和3个不同的公益广告,要求所有的公益广告必须连续播放,则不同的播放方式的种数为　　　　.
三、函数与方程思想在二项式定理中的应用
7.已知(1+3x)n的展开式中x5与x6的系数相等,则n的值为(　　)
A.6　　　B.7　　　C.8　　　D.9
8.在(3-x)20(x∈R,且x≠0)的展开式中,第2r项与第r+1项(r≠1,r∈N+)的二项式系数相等.
(1)求r的值;
(2)若该展开式的第r项是倒数第r项的,求x的值.
9.已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n (m,n∈N+)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数的最小值.
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.C　解法一:将5种颜色设为1,2,3,4,5,分两步,
由题意知四棱锥的顶点S,A,B所染颜色互不相同,
则共有5×4×3=60种染色方法,
当S,A,B染好时,不妨设所染颜色依次为1,2,3,
若C与A同色染2,则D可染3或4或5,共3种,
若C染4,则D可染3或5,共2种,若C染5,
则D可染3或4,共2种,即当S,A,B染好时,C,D有7种染法,
所以共有60×7=420种染色方法,故选C.
解法二:利用分类加法计数原理求解.
①用3种颜色时,A,C同色,B,D同色,不同的染色方法有=60种;
②用4种颜色时,A,C同色,B,D不同色或A,C不同色,B,D同色,
则不同的染色方法有2=240种;
③用5种颜色时,A,C不同色,B,D不同色,
则不同的染色方法有=120种.
所以共有60+240+120=420种不同的染色方法.
2.答案　8
解析　该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山,可分两步完成:
第一步,从两个月中选一个月游览华山和恒山,有=2种方法;
第二步,确定游览华山和恒山的这个月的游览方案,分为两类:
若该月只游览两大名山,则只有1种方法;
若该月游览三大名山,则再从其余三大名山中任取一个游览,有种
方法.
则共有1+=4种方法.
由分步乘法计数原理得,共有2×4=8种方法.
易错警示　两个基本计数原理的应用不是孤立的,往往是两个基本计数原理交叉应用才能解决问题,解答这类问题时,应理解题意,挖掘出隐含条件.解题过程中要分清“是分类还是分步”,分类要完整,分步要合理,还要注意是先分步还是先分类.
3.答案　108
解析　可以分为以下几类:
第一类:0,2,4排在从左至右的第一位,第三位,第五位,
先排第一位有2种排法,再排第三位和第五位有种排法,最后将奇数排在第二位,第四位,第六位有种排法,
所以第一类包含的六位数的个数为2=24;
第二类:0,2,4排在从左至右的第一位,第三位,第六位,
同理,第二类包含的六位数的个数为2=24;
第三类:0,2,4排在从左至右的第一位,第四位,第六位,
同理,第三类包含的六位数的个数为2=24;
第四类:0,2,4排在从左至右的第二位,第四位,第六位,
先排偶数数字有种排法,再排奇数数字有种排法,
所以第四类包含的六位数的个数为=36.
由分类加法计数原理可得,符合要求的六位数的个数有24+24+24+36=108.
易错警示　在与数字有关的排列问题中,易忽略特殊位置对“0”的要求,造成错解.
4.解析　(1)根据题意,分2类:①女生甲站在右端,其余6人全排列,有=720种站法,②女生甲不站在右端,女生甲有5种站法,女生乙有5种站法,将剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,有=120种站法,则此时有5×5×120=3 000种站法,则一共有720+3 000=3 720种站法.
(2)根据题意,把7人全排列,共有种结果,甲、乙、丙三人内部的排列共有=6种结果,要使甲、乙、丙三人按照高矮从左到右排列,结果只占6种结果中的1种,则有=840种站法.
(3)将7个座位从左到右依次编号为1,2,3,4,5,6,7.根据题意,恰好有两个空座位相邻分2类:①两个相邻空座位在两边,即在1、2或6、7上,第三个空座有4种选择;②两个相邻空座位在中间,可能是2、3,3、4,4、5,5、6中的一个,第三个空位有3种选择,4个男生全排列有=24种坐法,故共有(2×4+4×3)×24=480种坐法.
易错警示　(1)有两个限制条件的排列问题,按顺序分类讨论.(2)定序问题,所有元素全排列,然后除以有限制元素的全排列.(3)相邻即捆绑.
5.AC　·(-2x)k=(-2)kx2k-6.
对于A,令2k-6=0,解得k=3,
∴常数项为(-2)3=-8×20=-160,故A正确;
对于B,由二项式通项知,若要系数最大,则k的所有可能取值为0,2,4,6,
∴T1=x-6,T3=4x2=240x2,T7=(-2)6x6=64x6,
∴展开式中第5项的系数最大,故B错误;
对于C,展开式共有7项,第4项的二项式系数最大,故C正确;
对于D,令2k-6=2,解得k=4,所以含x2项的系数为(-2)4=240,故D错误.故选AC.
易错警示　要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别.(a+b)n的展开式中第(r+1)项的系数是,其值只与n,r有关,与a,b无关,系数是该项中的常数.
6.解析　(1)各二项式系数和为+…+=210=1 024.
(2)令x=1,y=1,则(2×1-3×1)10=1=a0+a1+a2+…+a10,所以各项系数和为1.
(3)奇数项的二项式系数和为+…+=29=512,偶数项的二项式系数和为+…+=29=512.
(4)由(2)知,a0+a1+a2+…+a10=1①,
取x=1,y=-1,则(2×1+3×1)10=510=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10②,
所以奇数项的系数和为a0+a2+…+a10=,偶数项的系数和为a1+a3+…+a9=.
(5)由(4)知,x的奇次项系数和为a1+a3+…+a9=,x的偶次项系数和为a0+a2+…+a10=.
易错警示　设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,则其展开式中,各项系数和为a0+a1+a2+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+…+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+…+a10,注意x的奇次项系数和刚好是偶数项系数和.
思想方法练
1.C　由于小球除颜色外完全相同,所以按照不同颜色情况进行分类讨论.
根据题意,取出的4个小球可以分为一种,两种,三种,四种颜色,
当取出的小球只有一种颜色时,有4种取法;
当取出的小球只有两种颜色时,有×(1+2)=18种取法;
当取出的小球只有三种颜色时,有=12种取法;
当取出的小球有四种颜色时,有1种取法.
综上所述,共有4+18+12+1=35种取法.故选C.
2.A　从10个点中任取4个点有种取法,
由于共面情况不符合要求,所以对其中4个点共面的情况进行分类讨论.
4个点共面的情况有三类:
第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面上,有4种;
第二类,取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点,有6种;
第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),它的4个顶点共面有3种.
故不同的取法共有-6-3=141(种).
故选A.
3.答案　11
解析　设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ,
则tan θ=->0,则ab<0,不妨设a>0,则b<0.
以c的取值为标准进行分类讨论.
若c=0,则a有2种取法,b有2种取法,排除1个重复(a=2,b=-2与a=1,b=-1),故这样的直线有2×2-1=3(条);
若c≠0,则a有2种取法,b有2种取法,c有2种取法,且其中任意两条直线均不相同,故这样的直线有2×2×2=8(条).
综上所述,符合要求的直线有3+8=11(条).
思想方法　分类讨论思想在排列组合中的应用重点关注能否根据具体问题的条件确定分类标准,利用计数原理解决问题.
4.A　根据题意,分2步进行分析:
①将A,B看成一个整体,与E全排列,有=4种排法;
解决相邻问题可考虑捆绑法,体现了整体思想.
②排好后,形成3个空位,将C,D安插在2个空位中,有=6种排法,
则有4×6=24种不同的加工方法.
故选A.
5.B　易知一共可坐的位子有20个,2个人任意坐的方法数为,还需排除两人左右相邻的情况.把可坐的20个座位排成连续一行,将其中两个相邻座位看成一个整体,则相邻的坐法有,还应再加上2,所以不同坐法的种数为=346.故选B.
20个座位排列,任意两个相邻的座位可以看成一个整体,注意看成整体的两个座位内部也需要排列,体现了整体思想.
6.答案　720
解析　第一步,将所有的公益广告“捆绑”在一起当成一个元素和其他4个不同的商业广告进行排列,不同的安排方式有=120种,
第二步,对3个不同的公益广告进行排列,不同的安排方式有=6种,
故不同的播放方式有120×6=720种.
公益广告必须连续播放,即排列时要把3个公益广告看成一个整体,再与其他4个元素全排列,体现了整体思想.
思想方法　整体思想在排列组合中的应用主要体现在有特殊元素、特殊位置的题目中,可以把要求相邻的元素看成一个整体,再和其他元素进行排列或组合.需要注意的是,看成一个整体的元素内部是否还有顺序的要求,若有,则还要考虑内部排列的情况.
7.B　∵(1+3x)n的二项式通项为Tr+1=3rxr,
∴(1+3x)n的展开式中x5与x6的系数分别是35,
由通项公式得出x5与x6的系数,根据等量关系列方程求解,体现了方程思想.
∴35,解得n=7.故选B.
8.解析　(1)由题意知,
即2r-1=20-r或2r-1=r,解得r=7或r=1(舍去).
(2)(3-x)20的二项式通项为Tk+1=320-k(-1)kxk,由(1)知r=7,所以T7=×314×x6,
倒数第7项,即T15=×36×x14,
由题意知×36×x14,解得x=±6.
根据通项表示出第r项和倒数第r项,根据等量关系列方程求解,体现了方程思想.
9.解析　 (1+2x)m+(1+4x)n的展开式中含x的项为·2x+·4x=(2)x,
∴2=36,即m+2n=18.
(1+2x)m+(1+4x)n的展开式中含x2项的系数为42=2m2-2m+8n2-8n.
∵m+2n=18,且m,n∈N+,∴m=18-2n(1≤n≤8,n∈N+),令2m2-2m+8n2-8n=t,则t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n=16n2-148n+612=16(1≤n≤8,n∈N+),
通过换元,将有关m,n的关系式转化为关于n的函数,并利用函数的性质得到t的最小值,即含x2项的系数的最小值,体现了函数思想.
∴当n取距离最近的正整数,即n=5时,t取得最小值,即含x2项的系数最小,最小值为272.
思想方法　函数与方程的思想方法,要重点关注利用公式、定理建立所求量的等量关系并求解.在本章中函数与方程思想主要体现在:①能分析实际问题中的数量关系,利用排列数公式或组合数公式建立方程模型解决实际问题;②能分析二项展开式的有关量与所求量的数量关系,利用二项式定理建立关于它们的方程模型并求解.
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