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专题强化练11　二项式定理　　　　　 　　　　 　　　　
1.(多选题)下列结论中正确的有(　　)
A.
B.若(2x-3)9=a0+a1(x-1)+…+a9(x-1)9,则a1+a2+…+a9=2
C.320-1不能被100整除
D.=29
2.在-1的展开式中,的系数为(　　)
A.-60　　　B.60　　　C.-120　　　D.120
3.的展开式中含x2y2项的系数是(　　)
A.420　　　B.-420　　　C.1 680　　　D.-1 680
4.已知(x+3y)·(ax-y)4的展开式中含x2y3项的系数为14,则正实数a的值为(　　)
A.　　　B.　　　C.2　　　D.1
5.若+…+a6,则mi=(　　)
A.21　　　B.64　　　C.78　　　D.156
6.(多选题)已知(a>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大,若展开式中所有项的系数之和为1,则下列命题正确的是(　　)
A.n=10
B.a=2
C.展开式中常数项为8 064
D.展开式中含x6的项为11 520x6
7.(多选题)已知的展开式中第2项与第3项的系数的绝对值之比为1∶8,则(　　)
A.n=4
B.展开式中所有项的系数之和为1
C.展开式中二项式系数之和为24
D.展开式中不含常数项
8.若x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5+a6(x+1)6,则a5=　　　　.
9.已知(1+x+x2)·的展开式中没有常数项,且2≤n≤7,n∈N+,则n=　　　　.
10.化简:42n×+42n-2×+
42n-4×+…+42×=　　　　.
11.(x+1)·的展开式中,x3的系数为　　　　(用数字作答).
12.已知(+3x2)n的展开式中,各项系数之和比它的二项式系数之和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中的有理项.
答案与分层梯度式解析
专题强化练11　二项式定理
1.ABD　对于A,由组合数的性质可得,故A正确;
对于B,令x=2,得a0+a1+a2+…+a9=1,令x=1,得a0=-1,所以a1+a2+…+a9=2,故B正确;
对于C,320-1=910-1=(10-1)10-1=×109×(-1)+…+×109×
(-1)+…+×10×(-1)9,
显然每一项都是100的整数倍,
所以320-1能被100整除,故C错误;
对于D,表示指数为10的二项式中偶数项的二项式系数之和,则=29,故D正确.
故选ABD.
C　因为·(-1)1+
,
所以,
的二项式通项为Tk+1=(-1)kxk-10,
令k-10=-3,得k=7,则的系数为(-1)7×=-120.故选C.
3.A　表示的是8个相乘,要得到x2y2,则其中有2个因式取2x,有两个因式取-,其余4个因式都取1,所以展开式中含x2y2项的系数是=420.故选A.
4.D　(ax-y)4的二项式通项为Tr+1=x4-ryr,
∴(x+3y)(ax-y)4的展开式中含x2y3的项的系数为
(-1)3a=-4a+18a2=14,解得a=1或a=-.
∵a为正实数,∴a=1.故选D.
5.A　的二项式通项为Tk+1=36-k(-1)k·x12-3k,k∈N,0≤k≤6,
所以k=21.
故选A.
6.ABD　因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,所以n=10,故A正确;
令x=1,得(a-1)10=1,又a>0,所以a=2,故B正确;
的二项式通项为Tr+1=x10-2r,当r=5时,常数项为T6=(-1)525=-8 064,故C错误;
当r=2时,T3=(-1)228x6=11 520x6,故D正确.
故选ABD.
7.AD　的二项式通项为Tr+1=(-2)rx2r-2n-1,
由题意得,
则,所以n=4,故A正确;
因为n=4,所以,
令x=1,得所有项的系数之和为-1,故B错误;
二项式系数之和为+…+=29,故C错误;
的二项式通项为Tr+1=(-2)rx2r-9,若Tr+1为常数项,则2r-9=0,解得r=,不是整数,所以不存在常数项,故D正确.
故选AD.
8.答案　-6
解析　x6=[(x+1)-1]6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5+a6(x+1)6,
其中[(x+1)-1]6的二项式通项为Tr+1=(x+1)6-r·(-1)r,
当r=1时,(x+1)5(-1)1=-6(x+1)5,所以a5=-6.
9.答案　5
解析　由(1+x+x2)·的展开式中没有常数项,得的展开式中没有常数项,没有含x-1的项,没有含x-2的项,因为的二项式通项为Tr+1=xn-4r(0≤r≤n,且r∈N),
所以n-4r不能为0,-1,-2.
若n=4,则n-4r可以为0;
若n=3或n=7,则n-4r可以为-1;
若n=2或n=6,则n-4r可以为-2;
只有当n=5时,n-4r不能为0,-1,-2,故n=5.
10.答案　17n-1
解析　因为(42+1)n=×(42)n-2×12+…+×42n-4+…+×16n-2+…+×160=(16+1)n=17n,
所以42n×+…+42×=17n-1.
11.答案　98
解析　因为(x+1)=x·+18+,
所以只需找的展开式中x2,x3的系数即可.
又的展开式中含x2,x3的项出现在(1+)8的展开式中,(1+)8的二项式通项为Tr+1=,令=2,得r=4,令=3,得r=6,
故所求系数为=98.
名师点拨　本题考查二项式定理,求展开式中某项的系数,解题时注意问题的转化,不可能出现在所求系数的项中,因此可转化为在(1+)8的展开式中求解.
12.解析　(1)令x=1,得各项系数之和为(+3×12)n=4n,二项式系数之和为2n,
∴4n-2n=992,即(2n)2-2n-992=0,
解得2n=-31(舍去)或2n=32,∴n=5,
∴(+3x2)5的二项式通项为Tr+1=)5-r·(3x2)r=3r,
∵n=5为奇数,∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项,即T3=32×.
(2)由(1)知,Tr+1=3r,则要想求展开式中的有理项,即求何时为有理数,
∵0≤r≤5,r∈N,
∴当r=2时,T3=90x6,当r=5时,T6=35=243x10,
∴展开式中的有理项为90x6,243x10.
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