资源简介

综合拔高练
高考真题练　　　　　 　　　　 　　　　
考点1　排列、组合及其应用
1.(2022新高考Ⅱ,5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有(　　)
A.12种　　　B.24种　　　C.36种　　　D.48种
2.(2023全国乙理,7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　)
A.30种　　　B.60种　　　C.120种　　　D.240种
3.(2023全国甲理,9)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　)
A.120种　　　　　 B.60种　　　
C.30种　　　　　　D.20种
4.(2023新课标Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).
考点2　二项式定理
5.(2022北京,8)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=(　　)
A.40　　　B.41　　　C.-40　　　D.-41
6.(2023天津,11)在的展开式中,x2的系数为　　　　.
7.(2022新高考Ⅰ,13)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).
8.(2022浙江,12)已知多项式(x+2)(x-1)4 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　.
9.(2021浙江,13)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=　　　　;a2+a3+a4=　　　　.
10.(2023上海,10)已知(1+2 023x)100+(2 023-x)100=a0+a1x+a2x2+…
+a99x99+a100x100,若存在k∈{1,2,…,100}使得ak<0,则k的最大值为　　　　.
高考模拟练　　　　　 　　　　 　　　　
应用实践
1.某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中,把5名学生分配到A,B,C三个劳动实践点去劳动,每个劳动实践点至少去1人,每名学生只能去一个劳动实践点,则不同的分配方法种数有(　　)
A.25　　　B.60　　　C.90　　　D.150
2.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.他在《详解九章算法》一书中,画了一个由二项式(a+b)n(n=1,2,3,…)展开式的二项式系数构成的三角形数阵,称作“开方作法本源”,这就是著名的“杨辉三角”.在“杨辉三角”中,从第2行开始,除1以外,其他每一个数值都是它肩上的两个数值之和,每一行第k(k≤n,k∈N+)个数组成的数列称为第k斜列.该三角形数阵前5行如图所示,则该三角形数阵前2 022行第k斜列与第(k+1)斜列的各项之和最大时,k的值为(　　)
第1行　　　　　1　　1
第2行　　　　1　　2　　1
第3行　　　1　　3 　 3 　 1
第4行　　1 　4 　 6 　 4 　 1
第5行　1　 5　 10　 10　 5　　1
　…　　　　　　　…
A.1 009　　　B.1 010　　　C.1 011　　　D.1 012
3.(多选题)已知(3x+2)20=a0+a1x+a2x2+…+a20x20,则(　　)
A.a0=220
B.a0+a2+a4+…+a20=1
C.展开式的系数中a9最大
D.a0-+…+=1
4.在数学中,自然常数e≈2.718 28.小明打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排在第一位,两个8相邻,那么小明可以设置不同的密码个数为(　　)
A.48　　　B.36　　　C.32　　　D.30
5.已知(1-ax)(1+x)6的展开式中x3的系数为-10,则实数a的值为　　　　　.
6.已知的展开式中,第5项与第3项的二项式系数之比是14∶3,则n=　　　　,展开式中的常数项为　　　　.
7.首个全国生态日主场活动在浙江湖州举行,推动能耗双控转向碳排放双控.有A,B,C,D,E,F6项议程在该天举行,每个议程有半天会期.现在有甲、乙、丙三个会议厅可以使用,每个会议厅每半天只能容纳一个议程.若要求A,B两议程不能同时在上午举行,而C议程只能在下午举行,则不同的选择方案一共有　　　　种.(用数字作答)
8.如图,将1,2,3,4这4个数字填在6个“　 ”中,每个“　 ”中填一个数字,有线段连接的2个“　 ”不能填相同数字,4个数字不必均使用,则不同的填数方法有　　　　种.
9.给出下列条件:①展开式前三项的二项式系数的和等于16;②展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数之比为4∶1.从这两个条件中任选一个补充在下面的横线上,并完成解答.
已知(n∈N+),且　　　　.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中所有的有理项.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
高考真题练
1.B　先排乙、丙、丁、戊4名同学,有种排列方式,再利用插空法选甲的位置,有种选法,故不同的排列方式有=24种.故选B.
2.C　两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有=120种.故选C.
3.B　从5人中选1人两天都参加,有=5种安排方式,从剩下4人中选2人进行排列,有=4×3=12种安排方式,则共有=5×12=60种安排方式,故选B.
4.答案　64
解析　根据题意,选课情况如下:
①选择1门体育类选修课和1门艺术类选修课,共有=16种方案;
②选择2门体育类选修课和1门艺术类选修课,共有=24种方案;
③选择1门体育类选修课和2门艺术类选修课,共有=24种方案.
所以不同的选课方案共有16+24+24=64(种).
5.B　解法一:已知(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
(2x-1)4=(2x)2·(-1)2+
(2x)0(-1)4=16x4-32x3+24x2-8x+1,
故a0+a2+a4=1+24+16=41.
解法二:(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
∵令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,
令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=34,
∴a0+a2+a4=×(1+34)=41.
6.答案　60
解析　展开式的二项式通项为Tk+1=(2x3)6-k··26-k·
(-1)k·x18-4k,令18-4k=2,得k=4,所以x2的系数为×26-4×(-1)4=60.
7.答案　-28
解析　由题意得展开式中含x2y6的项为1××x2y6=28x2y6-56x2y6=-28x2y6.故x2y6的系数为-28.
8.答案　8;-2
解析　a2=1××(-1)2=-4+12=8.
令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,①
令x=0,得a0=2,②
由①②知a1+a2+a3+a4+a5=-2.
9.答案　5;10
解析　(x-1)3的展开式的二项式通项为Tk+1=x3-k·(-1)k(k=0,1,2,3),
(x+1)4的展开式的二项式通项为Tr+1=x4-r(r=0,1,2,3,4).
令3-k=3,4-r=3,得k=0,r=1,
所以a1==5.
令x=1,则原式化为24=1+a1+a2+a3+a4,
所以a2+a3+a4=24-a1-1=16-6=10.
10.答案　49
解析　(1+2 023x)100的二项式通项为Tr+1=·(2 023x)r=·
2 023r·xr,r∈{0,1,2,…,100},
(2 023-x) 100的二项式通项为Tr+1=2 023100-r·(-x)r=·2 023100-r·
(-1)r·xr,r∈{0,1,2,…,100},
∴ak=·2 023k+·2 023100-k·(-1)k=·[2 023k+2 023100-k·(-1)k],k∈{0,1,2,…,100},若ak<0,则k为奇数,
此时ak=(2 023k-2 023100-k),
∴2 023k-2 023100-k<0,
∴k<100-k,
∴k<50,
又∵k为奇数,
∴k的最大值为49.
高考模拟练
1.D　先将5名学生分成3组:3,1,1或2,2,1.
当5名学生分成3,1,1时,有=10种分组方法;
当5名学生分成2,2,1时,有=15种分组方法,
所以分组方法共有10+15=25(种),
再把他们分配到3个劳动实践点,则有25=150种不同的分配方法.故选D.
2.C　当k≥2时,第k斜列各项之和为+…++…+,
同理,第(k+1)斜列各项之和为,所以,
所以第k斜列与第(k+1)斜列的各项之和最大即最大,所以k+1=
1 012,所以k=1 011,故选C.
3.AD　∵(3x+2)20=a0+a1x+a2x2+…+a20x20,
∴当x=0时,a0=220,故A正确;
当x=1时,a0+a1+a2+…+a20=520,①
当x=-1时,a0-a1+a2-…+a20=1,②
①+②,得a0+a2+a4+…+a20=,故B错误;
(3x+2)20的二项式通项为Tr+1=x20-r,0≤r≤20,r∈N,
设第(r+1)项的系数最大,显然r≠0且r≠20,于是
即
整理,得≤r≤,
∵r为整数,∴r=8,∴展开式的系数中a12最大,故C错误;
当x=-时,a0-+…+=1,故D正确.
故选AD.
4.B　根据题意,分两种情况:
①8排在第一位,则第二位也是8,再从剩下的4个位置中选出两个,安排两个2,最后安排7和1,此时有=12个不同的密码;
②8不排在第一位,则第一位安排7或1,将两个8看成一个整体,与两个2和7或1中剩下的数排列,此时有=24个不同的密码.
综上所述,小明可以设置不同的密码个数为12+24=36.故选B.
5.答案　2
解析　(1-ax)(1+x)6=(1+x)6-ax(1+x)6,所以展开式中x3的系数为=20-15a=-10,解得a=2.
6.答案　10;
解析　由题意得,则有3×,化简,得n2-5n-50=0,
解得n=10或n=-5(舍去),
所以,其二项式通项为Tr+1=,由5-=0,得r=2.
所以常数项为T3=.
7.答案　252
解析　分两种情况:
第一种,A,B议程中有一项在上午举行,有一项在下午举行,
先从3个上午中选1个和3个下午中选一个,由A,B议程进行选择,有种选择,
再从剩余的2个下午中选择1个安排C议程,有种选择,
剩余的3项议程全排列,有种选择,
所以有=216种选择;
第二种,A,B议程都安排在下午,C议程也安排在下午,有种选择,
再将剩余的3个议程全排列,有种选择,
所以有=36种选择.
综上,不同的选择方案一共有216+36=252(种).
8.答案　264
解析　如图,可分为两种情况讨论.
当用4个数字时,先填A,E,D,有种填法,再从B,F,C中选一处填第4个数字,如B,再填F,
若F与D相同,则C有2种填法,若F与D不同,则C有1种填法,于是有(2+1)种填法;
当用3个数字时,先填A,E,D,有种填法,再填B,有2种填法,则F,C各有1种填法,于是有2种填法.
综上所述,不同的填数方法有=216+48=264(种).
9.解析　(1)(n∈N+)的二项式通项为Tr+1=,r=0,1,2,…,n.
若选①,则由题得=16,即n2+n-30=0,解得n=5或n=-6(舍去),∴n=5.
若选②,则由题得=n-1=4,∴n=5.
故(n∈N+),其展开式共有6项,其中二项式系数最大的项为T3=.
(2)由(1)可得二项式通项为Tr+1=,r=0,1,2,…,5.
当5-∈N+,即r=0,2,4时,对应的项为有理项,∴展开式中有理项有T1=x5,T3=x3.
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