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专题强化练1　直线方程及其应用　　　　　 　　　　 　　　　
1.(多选题)已知直线l1:ax+y-3a=0,直线l2:2x+(a-1)y-6=0,则　　(　　)
A.当a=3时,l1与l2的交点为(3,0)
B.直线l1恒过点(3,0)
C.若l1⊥l2,则a=
D.存在a∈R,使l1∥l2
2.已知直线l1:x-my+1=0过定点A,直线l2:mx+y-m+3=0过定点B,l1与l2相交于点P,则|PA|2+|PB|2=(　　)
A.10　　　B.12　　　C.13　　　D.20
3.已知矩形ABCD的长AB为2,宽AD为1,以A为坐标原点,AB,AD边所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若将矩形折叠,使A点落在线段DC(包括端点)上,则折痕所在直线纵截距的最小值为(　　)
A.　　　C.2　　　D.3
4.已知过定点(2,1)的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则这样的直线的条数为(　　)
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.0
5.(多选题)已知直线l:x-y+1=0,点M(1,3),N(-1,1),P(x,y)为直线l上任意一点,则下列说法正确的是(　　)
A.直线MN与直线l平行
B.存在两条过点(0,3)且到M,N两点距离相等的直线
C.存在点P,使得|OP|=(O为坐标原点)
D.|PM|+|PN|的最小值为
6.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,PQ⊥l2,点A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为　　　　　.
7.若直线l被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则直线l的倾斜角大小为　　　　.
8.已知两条直线l1:ax+y+a+1=0,l2:2x+(a-1)y+3=0.
(1)若l1,l2不重合,且垂直于同一条直线,将垂足分别记为A,B,求|AB|;
(2)若a=0,直线L与l2垂直,且　　　　　,求直线L的方程.
从以下三个条件中选择一个补充在上面问题中,使满足条件的直线L有且仅有一条,并作答.
条件①:直线L过坐标原点;
条件②:坐标原点到直线L的距离为1;
条件③:直线L与l1交点的横坐标为2.
9.已知点P和非零实数λ,若两条不同的直线l1,l2均过点P,且斜率之积为λ,则称直线l1,l2是一组“Pλ共轭线对”,如直线l1:y=2x和l2:y=-x是一组“O-1共轭线对”,其中O是坐标原点.
(1)已知l1,l2是一组“O-3共轭线对”,直线l1:y=2x,求直线l2的方程;
(2)已知点Q(-1,-),直线l1,l2是一组“Q-2共轭线对”,当l1的斜率变化时,求原点O到直线l1,l2的距离之积的取值范围.
10.如图,直线l过点P(2,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点.
(1)若点P为线段AB的中点,求直线l的方程;
(2)若点P在线段AB上,且满足,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在线段MP和OA上,若直线EF平分直角梯形OAPM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定点坐标.
答案与分层梯度式解析
专题强化练1　直线方程及其应用
1.ABC　对于A,当a=3时,l1:3x+y-9=0,l2:2x+2y-6=0,由所以l1与l2的交点为(3,0),故A正确;对于B,l1:(x-3)a+y=0,则l1恒过点(3,0),故B正确;对于C,若l1⊥l2,则a×2+1×(a-1)=0,解得a=,故C正确;对于D,假设存在a∈R,使l1∥l2,则a(a-1)-2=0,解得a=2或a=-1,当a=2时,l1:2x+y-6=0,l2:2x+y-6=0,两直线重合,舍去,当a=-1时,l1:x-y-3=0,l2:2x-2y-6=0,即x-y-3=0,两直线重合,舍去,所以不存在a∈R,使l1∥l2,故D错误.故选ABC.
2.C　直线l1:x-my+1=0过定点A(-1,0),直线l2:mx+y-m+3=0可化为m(x-1)+y+3=0,令即直线l2恒过定点B(1,-3),由1×m+(-m)×1=0,得l1⊥l2,所以PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=(-1-1)2+(0+3)2=13.故选C.
3.B　易知折痕所在直线的斜率存在且不为0.设折痕所在直线的斜率为k,折叠后A点落在线段DC上的对应点为E(x,1),0≤x≤2,则AE与折痕垂直,即·k=-1,即x=-k,所以E(-k,1),所以线段AE的中点坐标为,因此折痕所在直线的方程为y=kx+,其纵截距为.
故选B.
4.B　由题意可知,直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+1-2k.在直线l的方程中,令x=0,可得y=1-2k;令y=0,可得x=.所以直线l交x轴于点,交y轴于点(0,1-2k).由题意可得·|1-2k|=4,即=8.
①当k<0时,可得(2k-1)2+8k=0,即4k2+4k+1=0,此时Δ1=0,有1条直线符合条件;
②当k>0时,可得(2k-1)2-8k=0,即4k2-12k+1=0,此时Δ2=144-16=128>0,有2条直线符合条件.
综上所述,符合条件的直线l有3条.
故选B.
5.ABD　对于A,直线l的斜率kl=1,直线MN的斜率kMN==1,所以kl=kMN,
所以直线MN的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0,
又直线l:x-y+1=0,
所以直线MN与直线l平行,故A正确.
对于B,分两种情况讨论:当斜率不存在,即x=0时,M,N两点到直线的距离相等且为1;
当斜率存在时,设斜率为k,则直线方程为y-3=kx,即kx-y+3=0,
因为M,N两点到直线的距离相等,所以,解得k=1,即x-y+3=0.
综上所述,存在两条过点(0,3)且到M,N两点距离相等的直线,故B正确.
对于C,因为P(x,y)为直线l上任意一点,点O到直线l:x-y+1=0的距离d=,所以不存在点P,使得|OP|=,故C错误.
对于D,如图,作M关于直线l:x-y+1=0的对称点M',连接NM',则NM'与l的交点即为所求的点P,连接PM,
设M'(a,b),则有
所以M'(2,2),所以|PM|+|PN|的最小值为|M'N|=,故D正确.
故选ABD.
6.答案　
解析　如图1,由题意得|PQ|=.
设P(a,-a-2),则Q,
所以|AP|+|PQ|+|QB|
=
=,
设点M(a,a),C(1,-3),D(-1,0),则点M在直线y=x上,如图2所示:
则=|MC|+|MD|≥|CD|=(当D,M,C三点共线时等号成立),
所以|AP|+|PQ|+|QB|≥.
7.答案　15°或75°
解析　因为直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0平行,
所以l1与l2之间的距离d=.
设直线l与l1,l2的夹角为α(0°≤α≤90°),
因为直线l被直线l1与l2截得的线段的长为2,
所以sin α=,所以α=30°.
因为直线l1,l2的斜率均为1,所以它们的倾斜角均为45°,
所以直线l的倾斜角大小为15°或75°.
8.解析　(1)由题意得l1∥l2,
则解得a=-1,
所以直线l1:-x+y=0,l2:2x-2y+3=0,
即l1:x-y=0,l2:x-y+=0,
可得两平行线间的距离d=,即|AB|=.
(2)当a=0时,直线l2:2x-y+3=0.
由直线L与l2垂直,可设直线L的方程为x+2y+m=0.
选择条件①:由直线L过坐标原点,可得m=0,此时直线L的方程为x+2y=0.
选择条件②:由坐标原点到直线L的距离为1,得=1,解得m=±,此时直线L的方程为x+2y±=0,不满足条件,舍去.
选择条件③:直线l1:y+1=0,联立解得x=2-m,
因为直线L与l1交点的横坐标为2,所以2-m=2,解得m=0,
此时直线L的方程为x+2y=0.
9.解析　设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.
(1)由题意得,l1与l2的交点为原点,且k1·k2=2k2=-3,解得k2=-,
所以直线l2的方程为y=-x.
(2)由题意得,k1·k2=-2(k1,k2≠0),
设l1:y+=k2(x+1),点O到直线l1,l2的距离分别为d1,d2,
则d1·d2=,
因为≥4,当且仅当k1=±时等号成立,所以-∈[-1,0),∈[0,),
所以原点O到直线l1,l2的距离之积的取值范围为[0,).
10.解析　由题可设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.
(1)若P为线段AB的中点,
则
所以直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.
(2)=(-2,b-1),
由
故A(6,0),B,
所以S梯形OAPM=×(6+2)×1=4.
设E(m,1),F(n,0),m>0,n>0,
则S梯形OMEF=×(m+n)×1=2,即m+n=4,
直线EF的方程为,
即x-n-(m-n)y=0,
将m=4-n代入直线EF的方程,得x-n-(4-2n)y=0,
即n(2y-1)+x-4y=0,
令
所以直线EF必过定点.
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