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专题强化练2　和圆有关的最值(范围)问题　　　　　 　　　　 　　　　
1.已知A(-1,0),B(0,1)两点,点C与点(1,0)间的距离为1,则△ABC面积的最大值为(　　)
A.1　　　B.　　　D.2
2.若点A,B在圆C1:(x-2)2+y2=3上运动,|AB|=2,P为AB的中点,点Q在圆C2:(x+2)2+y2=1上运动,则|PQ|的最小值为(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
3.已知点P是圆C:(x+1)2+(y-2)2=1上的动点,直线l:(m-1)x+my+2=0是动直线,则点P到直线l的距离的最大值是(　　)
A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7
4.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,A,B为圆C上两点,且|AB|=8,P为圆C上一点,则||的最大值是(　　)
A.16　　　B.12　　　C.8　　　D.6
5.在一个平面上,机器人在与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为(　　)
A.8+8　　　
C.8
6.几何学史上有一个著名的米勒问题:“如图,点M,N是锐角∠AQB的一边QA上的两点(均不为顶点),试在边QB上找一点P,使得∠MPN最大.”其结论是:点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(1,2),N(3,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为　　　　　.
7.若圆x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,则r的取值范围是　　　　.
8.阿波罗尼斯(古希腊数学家,约公元前262—前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.现有△ABC,AC=6,sin C=2sin A,则当△ABC的面积最大时,它的内切圆的半径为　　　　.
9.已知点(x,y)在圆C:(x-2)2+(y+3)2=1上.
(1)求x+y的最大值和最小值;
(2)求的最大值和最小值;
(3)求的最大值和最小值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　和圆有关的最值(范围)问题
1.C　设C(x,y),因为点C与点(1,0)间的距离为1,所以(x-1)2+y2=1,它表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆,易知直线AB的方程为x-y+1=0,|AB|=,则圆心(1,0)到直线AB的距离d=,所以点C到直线AB的距离的最大值为+1,所以(S△ABC)max=,故选C.
2.B　由题知,圆C1:(x-2)2+y2=3的圆心为C1(2,0),圆C2:(x+2)2+y2=1的圆心为C2(-2,0).∵点A,B在圆C1:(x-2)2+y2=3上运动,|AB|=2,∴AB的中点P与圆心C1(2,0)之间的距离为=1,由圆的定义可知,点P的运动轨迹是以C1(2,0)为圆心,1为半径的圆,即圆(x-2)2+y2=1,又∵点Q在圆C2:(x+2)2+y2=1上,∴|PQ|的最小值为|C1C2|-1-1=2.故选B.
3.C　圆C:(x+1)2+(y-2)2=1的圆心为C(-1,2),半径r=1,将(m-1)x+my+2=0化为m(x+y)+2-x=0,令所以直线l过定点Q(2,-2),又因为|CQ|==5>1,所以点Q在圆C外,因为点P到直线l的距离的最大值即为点P与点Q之间的距离,P是圆C上的动点,所以|PQ|max=|CQ|+r=5+1=6,所以点P到直线l的距离的最大值为6.故选C.
4.A　取AB的中点D,连接PD,CD,CB,则||,因为|AB|=8,所以|CD|==3,所以点D在以C为圆心,3为半径的圆上,又P在圆C:(x-3)2+(y-4)2=25上,所以||max=5+3=8,所以||max=16,故||的最大值是16.故选A.
5.A　∵该机器人在与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,∴该机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示.
∵A(-10,0),B(0,10),∴直线AB的方程为=1,即x-y+10=0,则圆心C到直线AB的距离d=>8,∴最近距离为8-8.故选A.
6.答案　3
解析　设直线MN与x轴交于点Q,易得Q(-1,0),过点M,N且与x轴相切的圆与x轴的切点P即为所求.易得△QPM∽△QNP,所以|QP|2=|QM|·|QN|=16,所以|QP|=4,所以P(3,0)或P(-5,0),故当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为3.
7.答案　(4,6)
解析　圆x2+y2=r2(r>0)的圆心(0,0)到直线4x-3y+25=0的距离d==5,
因为圆x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,
所以|d-r|<1,所以|5-r|<1,
解得48.答案　-1
解析　∵sin C=2sin A,∴=2,为非零常数,∴点B的轨迹是圆(不包含在直线AC上的点),设为“圆”E.
以边AC的中点为原点,AC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,可得A(-3,0),C(3,0).
设B(x,y),∵|AB|=2|CB|,∴,化简并整理,得x2+y2-10x+9=0,
∴“圆”E:(x-5)2+y2=16(y≠0).因此,当△ABC的面积最大时,AC边上的高为“圆”E的半径4,此时|BC|=.
设△ABC的内切圆的半径为r,则+6)r,解得r=-1.
9.解析　(1)设t=x+y,则y=-x+t,t可视为直线y=-x+t在y轴上的截距,所以x+y的最大值和最小值就是该直线与圆C相切时在y轴上的截距.
圆C的圆心为(2,-3),半径为1.
由直线与圆C相切,得=1,解得t=-1或t=--1,所以x+y的最大值为-1,最小值为--1.
(2)设=k,则的最大值和最小值就是直线y=kx与圆C相切时的斜率.
由直线与圆C相切,得=1,
解得k=-2+或k=-2-,
所以的最大值为-2+,最小值为-2- .
(3),其最值可视为点(x,y)到定点(-1,2)的距离的最值,
因为圆C的圆心(2,-3)到定点(-1,2)的距离为>1,所以点(-1,2)在圆C外,所以+1,最小值为-1.
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