资源简介

综合拔高练
高考真题练
考点1　直线的方程及其应用
1.(2020全国Ⅲ文,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.1　　　　　　B.
C.　　　　　 D.2
2.(2019江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.
考点2　直线与圆的综合应用
3.(2022北京,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　)
A.
C.1　　　　　　D.-1
4.(2021北京,9)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m=(　　)
A.±1　　　　　　 B.±
C.±　　　　　　D.±2
5.(2023新课标Ⅰ,6)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　)
A.1　　　　　　 B.
C.
6.(2020全国Ⅰ,11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　)
A.2x-y-1=0　　　　　　B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0　　　　　　D.2x+y+1=0
7.(2023全国乙文,11)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　)
A.1+　　　　　　 B.4　　　
C.1+3　　　　　　D.7
8.(多选题)(2021新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
9.(2023全国乙理,12)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=,则的最大值为(　　)
A.
C.1+
10.(2022全国乙,14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　.
11.(2022新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　　　　.
12.(2022新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　.
13.(2023新课标Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　.
高考模拟练　　　　　 　　　　 　　　　
应用实践
1.“m=2”是“直线l1:(m-3)x+my+1=0与直线l2:mx+(m-1)y-2=0互相垂直”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　　
D.既不充分也不必要条件
2.“太极图”的形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”.放在平面直角坐标系中的“太极图”如图所示,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)的动点,则的最小值为(　　)
A.-　　　D.-1
3.已知圆C1:(x-2)2+y2=4,C2:(x-2-
5cos θ)2+(y-5sin θ)2=1(θ∈R),过圆C2上一点P作圆C1的两条切线,切点分别是E,F,则的最小值是(　　)
A.6　　　B.5　　　C.4　　　D.3
4.已知圆C:(x-)2=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则t的最小值为(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
5.已知等腰直角三角形ABC的斜边BC的长为2,D是平面ABC内一点,且满足DB∶DC=∶1,则△ABD面积的最大值是(　　)
A.
C.
6.(多选题)已知经过点P(2,4)的圆C的圆心坐标为(0,t)(t为整数),且圆C与直线l:x-y=0相切,直线m:ax+y+2a=0与圆C相交于A,B两点,则下列说法正确的是(　　)
A.圆C的标准方程为x2+(y-4)2=42
B.若PA⊥PB,则实数a的值为-2
C.若|AB|=2,则直线m的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0
D.弦AB的中点M的轨迹方程为(x+1)2+(y-2)2=5
7.“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一,定理的内容如下:如图,△ABC的三条边长分别为|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c.延长线段CA至点A1,使得|AA1|=a,延长线段AC至点C2,使得|CC2|=c,以此类推得到点A2,B1,C1,B2,那么新得到的这六个点共圆,这个圆称为康威圆.已知a=12,b=5,c=13,则由△ABC生成的康威圆的半径为　　　　　.
8.设点P(x,y)是圆C:(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则||的取值范围为　　　　.
9.已知A(1,1),B(2,0)是圆C上的两点,写出满足“直线x-y-2=0被圆C截得的弦长为”的一个圆C的标准方程:　　　　　　　　.
10.从①圆心C在直线l:2x-7y+8=0上,B(1,5)是圆C上的点;②圆C过直线s:2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y-16=0的交点这两个条件中任选一个,补充在下面横线中,并进行解答.
已知在平面直角坐标系xOy中,圆C过点A(6,0),且　　　　　　　.
(1)求圆C的标准方程;
(2)求过点A的圆C的切线方程.
11.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:(x-4)2+(y-2)2=4有两个不同的交点D,E.
(1)求r的取值范围;
(2)过直线DE上的一点P(在线段DE外的部分上),分别作圆O,圆C的一条切线,切点分别为A,B,问是否存在常数λ,使得|PA|=λ|PB|恒成立 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
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1.B　解法一:易得点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=,因为k2+1≥2k,所以2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号,即|k+1|≤,所以d=,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为.故选B.
解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点P(-1,0)且斜率存在的直线,设Q(0,-1).易知当直线l与直线PQ垂直时,点Q到直线l的距离最大,此时k=1,距离的最大值为|PQ|=,故选B.
2.答案　4
解析　设P,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=≥4,当且仅当x0=,即x0=时取“=”.
故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.
3.A　易知圆(x-a)2+y2=1的圆心坐标为(a,0),∵直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,∴直线2x+y-1=0过圆心(a,0),∴2a+0-1=0,解得a=,故选A.
4.C　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线y=kx+m的距离d=,则弦长|MN|=2,则当k=0时,弦长取得最小值,最小值为2=2,解得m=±.故选C.
5.B　设P(0,-2),圆x2+y2-4x-1=0即(x-2)2+y2=5,则圆心为M(2,0),半径为.设过点P(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条切线分别是PA,PB,A,B为切点,连接PM,AM,如图,则∠APB=2∠APM,易知|AM|=,则sin∠APM=,所以cos∠APM=,
所以sin α=sin∠APB=2sin∠APMcos∠APM=,故选B.
6.D　☉M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,半径r=2,圆心为M(1,1).如图所示,由题可知,AB⊥PM,
|PM|·|AB|=2S四边形APBM=2(S△PAM+S△PBM)
=2(|PA|+|PB|),
∵|PA|=|PB|,
∴|PM|·|AB|=4|PA|=4
=4,
当|PM|最小时,|PM|·|AB|最小,易知|PM|min=,
此时|PA|=1,AB∥l,设直线AB的方程为y=-2x+b(b≠-2),
圆心M到直线AB的距离d=,
|AB|==|MA|2,
即=4,解得b=-1或b=7(舍去).
综上所述,直线AB的方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0,故选D.
7.C　将x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆,令x-y=t,即x-y-t=0,由题可知直线x-y-t=0和圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,所以≤3,即|t-1|≤3,解得1-3≤t≤1+3.所以x-y的最大值为1+3.故选C.
8.ACD　∵A(4,0),B(0,2),∴过点A,B的直线方程为=1,即x+2y-4=0,设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为C,则C(5,5),圆心C到直线x+2y-4=0的距离d=>4,
∴点P到直线AB的距离的取值范围为+4,
∵-4∈(0,1),+4∈(8,9),∴点P到直线AB的距离小于10,但不一定大于2,故A正确,B错误;
如图所示,当过点B的直线与圆相切时,∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小,位于P2时∠PBA最大),此时|BC|=,故C,D均正确.
9.A　连接OA,OD,则|OA|=1,在Rt△OAP中,PA==1,易知∠APO=45°.
当点A,D位于直线PO的异侧时,如图①所示,设∠OPC=α,0≤α<,
则
=1×cos αcos
=cos α
=cos2α-sin αcos α
=sin 2α
=.
∵0≤α<≤2α-,
∴当2α-时,有最大值1.
当点A,D位于直线PO的同侧时,如图②所示,设∠OPC=α,0≤α<,
则
=1×cos αcos
=cos α
=cos2α+sin αcos α
=sin 2α
=.
∵0≤α<≤2α+,
∴当2α+时,.
综上可得,.
故选A.
10.答案　(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或(写出一个即可)
解析　解法一:依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),
则
此时圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.
若圆过(0,0),(4,0),(4,2),
则
此时圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.
若圆过(0,0),(4,2),(-1,1),
则
此时圆的方程为x2+y2-y=0,
即.
若圆过(-1,1),(4,0),(4,2),
则
此时圆的方程为x2+y2-=0,
即.
解法二:若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),
根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上,
设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),
易得AB的中垂线方程为x=2,
AC的中垂线方程为y=x+1.
联立解得圆心坐标为(2,3).
此时圆的半径r=.
所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.
同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5,.
11.答案　
解析　由题易知kAB=,所以直线AB关于直线y=a对称的直线方程为y-a=- x,即(3-a)x-2y+2a=0,由题意可得圆心(-3,-2)到该直线的距离小于或等于半径,所以≤1 6a2-11a+3≤0,解得≤a≤.
12.答案　x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(写出一个即可)
解析　设圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为O1,
如图所示,
显然两圆外切,由图可知l1:x=-1与两圆均外切.
易知直线OO1的方程为y=x,设直线OO1与l1的交点为P,∴P,
易知过点P的两圆的公切线l2的斜率存在,设为k,则切线l2的方程为y=k(x+1)-,即kx-y+k-=0.
易知点O(0,0)到切线l2的距离为1,∴,∴切线l2的方程为7x-24y-25=0.
设两圆相切于点M,垂直于直线OO1的切线l3的方程为y=-x+n,即3x+4y-4n=0,
易知点O(0,0)到切线l3的距离为1,∴,
易知n>0,∴切线l3的方程为y=-,即3x+4y-5=0,
∴与两圆都相切的切线方程为x=-1,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0.
13.答案　2,-2,(填写四个中任意一个均对)
解析　依题意可得圆C的圆心为C(1,0),半径r为2,则圆心C(1,0)到直线x-my+1=0的距离d=,则|AB|=2,
所以S△ABC=·d·|AB|=,解得m=2或m=-2或m=或m=-.(填写四个中任意一个均对)
高考模拟练
1.A　若直线l1:(m-3)x+my+1=0与直线l2:mx+(m-1)y-2=0互相垂直,则m(m-3)+m(m-1)=0,解得m=0或m=2,所以“m=2”是“直线l1:(m-3)x+my+1=0与直线l2:mx+(m-1)y-2=0互相垂直”的充分不必要条件.故选A.
2.C　记A(2,0),则直线AP的斜率k=,易知题图的阴影部分中的半圆的方程为x2+(y-1)2=1(x>0),且当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1(x>0)相切时,k取得最小值,此时设直线AP:y=k(x-2),则圆心(0,1)到直线AP的距离为=1,解得k=-或k=0(舍去),即kmin=-.故选C.
3.A　圆C2的半径为1,圆心C2(2+5cos θ,5sin θ),可知圆心C2在圆(x-2)2+y2=25上运动.又C1(2,0),所以|C1C2|=5,可得|PC1|∈[4,6].
由图可知,cos 2α=(|PC1|2-4)·(1-2sin2α)=(|PC1|2-4)-12,由y=|PC1|2+-12在|PC1|2∈[16,36]上单调递增可知,当|PC1|2=16时,取得最小值,为6,故选A.
4.B　解法一:由题易得圆C的圆心坐标为(),半径r=1.设P(a,b),则=(a-t,b).∵∠APB=90°,∴=(a+t)·(a-t)+b2=0,∴t2=a2+b2=|OP|2(O为坐标原点),∴t的最小值即为|OP|的最小值,即为|OC|-r=3-1=2.故选B.
解法二:由∠APB=90°得点P在以原点O为圆心的圆x2+y2=t2上,因此由两圆有交点得|t-1|≤|OC|≤t+1 |t-1|≤3≤t+1 2≤t≤4,即t的最小值为2,故选B.
5.A　设BC的中点为O,以O为原点,BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,1),B(-1,0),C(1,0),设D(x,y),
因为DB∶DC=∶1,
所以(x+1)2+y2=3(x-1)2+3y2,
整理,得(x-2)2+y2=3,
所以点D的轨迹是以(2,0)为圆心,为半径的圆.
当点D到直线AB的距离最大时,△ABD的面积最大.
易得直线AB的方程为x-y+1=0,|AB|=,
设圆的半径为r,圆心到直线AB的距离为d,
则点D到直线AB的最大距离为d+r=,
所以△ABD面积的最大值为.故选A.
6.BC　对于A,设圆C的半径为r,则圆C的标准方程为x2+(y-t)2=r2(t为整数),由点P(2,4)是圆C上的点,且圆C与直线l:x-y=0相切,得(舍去),则圆C的标准方程为x2+(y-4)2=4,故A错误;对于B,由A知圆C:x2+(y-4)2=4,圆心为C(0,4),因为点P(2,4)在圆C上,且PA⊥PB,所以线段AB为圆C的直径,又直线m:ax+y+2a=0与圆C相交于A,B两点,所以圆心C(0,4)在直线m上,所以4+2a=0,解得a=-2,故B正确;对于C,由A知圆C的半径r=2,圆心为C(0,4),则圆心C到直线m的距离d=,因为+d2=r2,即+d2=22,所以d=,所以,解得a=-1或a=-7,则直线m的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0,故C正确;对于D,由A知,圆C的方程为x2+(y-4)2=4,圆心为C(0,4),直线m的方程可化为y=-a(x+2),则直线m过定点(-2,0),记N(-2,0),由圆的性质可得CM⊥MN,所以点M的轨迹是以线段CN为直径的圆,则此圆圆心为线段CN的中点,其坐标为(-1,2),半径为,则该圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,由得两圆的交点坐标为(-2,4)和,故弦AB的中点M的轨迹方程为(x+1)2+(y-2)2=5,故D错误.故选BC.
7.答案　
解析　因为|CC1|=|CC2|,|CA1|=|CB2|,所以康威圆的圆心在∠ACB的平分线上,同理可知康威圆的圆心在∠ABC的平分线上,即康威圆的圆心为△ABC的内心.因为a=12,b=5,c=13,所以a2+b2=c2,所以∠ACB=90°,所以△ABC的内切圆的半径r==2,所以康威圆的半径R=.
8.答案　[2,10]
解析　由题意得原点O(0,0)为线段AB的中点,
因为(0-3)2+02=9>4,所以点O(0,0)在圆C外,如图,
圆C:(x-3)2+y2=4的半径r=2,圆心为C(3,0),
由图知,||,
又|OC|-r≤||≤|OC|+r,即3-2≤||≤3+2,
即1≤||≤5,
所以||∈[2,10],
所以||的取值范围为[2,10].
9.答案　(x-1)2+y2=1(答案不唯一)
解析　由已知得直线AB的斜率kAB==-1,则线段AB的垂直平分线的斜率k=1,且过线段AB的中点,
故线段AB的垂直平分线的方程为y=x-1,即x-y-1=0,
故圆心C在直线x-y-1=0上,且直线x-y-2=0和直线x-y-1=0平行,则两平行直线间的距离d=,
故圆C的半径r==1,取圆心为(1,0)满足条件,
故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1.(答案不唯一)
10.解析　若选①:
(1)由A(6,0),B(1,5),得线段AB的中点为,
∵直线AB的斜率kAB==-1,∴线段AB的中垂线的斜率k=-=1,则该中垂线的方程为y-,即x-y-1=0,
联立则圆心C(3,2),半径r=,
故圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=13.
(2)直线AC的斜率kAC=,则过点A的圆C的切线的斜率k'=,
故所求切线方程为y=(x-6),即3x-2y-18=0.
若选②:
(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题意可知,直线s:2x+y+4=0是圆C与圆x2+y2+2x-4y-16=0的公共弦所在直线的方程,
两圆的方程作差可得(D-2)x+(E+4)y+F+16=0,
则λ∈R,即
则圆C:x2+y2+(2λ+2)x+(λ-4)y+4λ-16=0,将(6,0)代入,可得36+6(2λ+2)+4λ-16=0,解得λ=-2,
故圆C的方程为x2+y2-2x-6y-24=0,即(x-1)2+(y-3)2=34.
(2)由(1)可得圆心C(1,3),
则直线AC的斜率kAC=,则过点A的圆C的切线的斜率k'=,
故所求切线方程为y=(x-6),即5x-3y-30=0.
11.解析　(1)根据题意,得|r-2|<|OC|即
解得2+2.
所以r的取值范围是(2+2).
(2)圆O:x2+y2=r2(r>0),圆C:(x-4)2+(y-2)2=4,
两圆的方程相减,得4(2x-4)+2(2y-2)=r2-4,
整理可得直线DE的方程为y=-2x+4+,
设点P(m,n),如图,
因为PA与圆O:x2+y2=r2(r>0)相切,
所以在Rt△PAO中,|PA|2=|PO|2-r2=m2+n2-r2,
又点P(m,n)在直线DE上,
所以n=-2m+4+,
所以|PA|2=m2+,
同理可得|PB|2=|PC|2-4=(m-4)2+(n-2)2-4=(m-4)2+,
所以|PA|2=|PB|2,即|PA|=|PB|,
故存在常数λ=1,使得|PA|=λ|PB|恒成立.
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