资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2025——2026学年度九年级上册第一次月考检测卷数学试题
（测试范围：第1章~第2章 时间：120分 满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
2．（3分）若方程□﹣3＝x是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　）
A．﹣3x B．32 C．3x2 D．y2
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　）
A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16
4．（3分）将矩形ABCD和菱形AFDE按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是（　　）
A．∠EAF＝60° B．AB＝AF C．AD＝2AB D．AB＝EF
5．（3分）如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3．
（1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC.
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
6．（3分）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2（a，b，c均为常数，且a≠0），那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　）
A． B．
C． D．无法求解
7．（3分）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（　　）
A．x（x+8）＝161 B．x（x+16）＝161
C．（x﹣8）（x+8）＝161 D．x（x﹣16）＝161
8．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（　　）
A．12 B．12.5 C．15 D．24
9．（3分）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　）
A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2
10．（3分）若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（　　）
A．10 B．84 C．100 D．121
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）一元二次方程x2﹣8x+3＝0配方为（x﹣4）2＝m，则m的值是 　 　 ．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E为AB边上一点，将△DAE沿直线DE折叠，点A的对应点F恰好落在对角线BD上，则AE的长为　 　 ．
13．（4分）如图所示，某农户用16m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10m），且面积为50m2的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为x m，若可列方程为x （★）＝50，则★表示的代数式为 　 　 ．
14．（4分）如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF＝120°，则∠C的度数为　 　 ．
15．（4分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为7和1，则图1中菱形的面积为 　 　 ．
16．（4分）如图，长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝4cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿A﹣B﹣C向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．经过　 　 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣14x+21＝0．
（2）3x2﹣6x＝4（x﹣2）．
18．（10分）如图，点A是菱形BDEF对角线的交点，BC∥FD，CD∥BE，连接AC，交BD于点O．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）探究：当∠DEF＝　 　 °时，四边形ABCD是正方形，并证明你的结论．
19．（10分）已知菱形ABCD的边长是5，两条对角线AC、BD交于点O，且A0、B0的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的两根．
（1）求m的值．
（2）求菱形ABCD的面积．
20．（12分）社区利用一块矩形空地ABCD修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x m的道路．已知铺花砖的面积为640m2．
（1）求道路的宽是多少？
（2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元．
21．（12分）阅读理解并解答：
【方法呈现】
（1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用．
例如：x2+2x+3＝（x2+2x+z）+2＝（x+1）2+2，
∵（x+1）2≥0
∴（x+1）2+2≥2．
则这个代数式x2+2x+3的最小值为　 　 ，这时相应的x的值是　 　 ．
【尝试应用】
（2）求代数式x2﹣8x+10的最小或最大值．
【拓展提高】
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求c的取值范围．
22．（14分）如图是两个等宽的矩形MNOP（MN＜NO）和矩形M′N′O′P′（M′N′＜N′O′）叠合得到的四边形ABCD的部分图形，M′P′与MP和NO分别交于点D、C．
（1）请用直尺和圆规在图①作出四边形ABCD．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）如图②，若点M与点C关于N′O′对称，求∠MAB的度数；
（3）在（2）的条件下，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2025——2026学年度九年级上册第一次月考检测卷数学试题
（测试范围：第1章~第2章 时间：120分 满分：120分）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D D B B A D C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
【思路点拔】根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有；
对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分；
对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有；
对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有．
综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．
2．（3分）若方程□﹣3＝x是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　）
A．﹣3x B．32 C．3x2 D．y2
【思路点拔】根据一元二次方程的定义判断即可得．
【解答】解：A．﹣3x﹣3＝x，是一元一次方程，此选项不符合题意；
B．32﹣3＝x，是一元一次方程，此选项不符合题意；
C．3x2﹣3＝x，是一元二次方程，此选项符合题意；
D．y2﹣3＝x，是二元二次方程，此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　）
A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16
【思路点拔】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，
解得c＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
4．（3分）将矩形ABCD和菱形AFDE按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的2倍，则下列结论正确的是（　　）
A．∠EAF＝60° B．AB＝AF C．AD＝2AB D．AB＝EF
【思路点拔】根据矩形的面积公式以及菱形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵矩形ABCD的面积＝AD AB，菱形AEDF的面积，
∴AD AB＝2，
∴AB＝EF，
故选：D．
【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的面积公式解答．
5．（3分）如图，已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3．
（1）以点A为圆心，任意长为 半径作弧，与∠A的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接DC，BC.
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【思路点拔】由作图得AB＝AD＝CB＝CD，即可根据“四条边相等的四边形是菱形”证明四边形ABCD是菱形，于是得到问题的答案．
【解答】解：由作图得AB＝AD，CB＝CD＝AD，
∴AB＝AD＝CB＝CD，
∵四条边相等的四边形是菱形，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：D．
【点评】此题重点考查尺规作图、菱形的判定定理等知识，根据“四条边相等的四边形是菱形“证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．
6．（3分）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2（a，b，c均为常数，且a≠0），那么方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是（　　）
A． B．
C． D．无法求解
【思路点拔】已知方程ax2+bx+c＝0的解，对比所求方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0，两者在结构上是一致的，因此只需要把2x+3看作一个整体对应已知方程的解，即可求解．
【解答】解：∵x1＝﹣1，x2＝2是方程ax2+bx+c＝0的解，
∴令2x+3＝x1，2x+3＝x2，满足方程ax2+bx+c＝0，即a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0．
∴2x+3＝﹣1，2x+3＝2，
∴方程a（2x+3）2+b（2x+3）+c＝0的解是，x2＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键．
7．（3分）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（　　）
A．x（x+8）＝161 B．x（x+16）＝161
C．（x﹣8）（x+8）＝161 D．x（x﹣16）＝161
【思路点拔】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为161，列出方程即可．
【解答】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，
设最小数为x，则最大数为x+16，
根据题意得出：x（x+16）＝161，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．
8．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（　　）
A．12 B．12.5 C．15 D．24
【思路点拔】过M作ME⊥CD于E，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CM＝DM＝5，根据等腰三角形的性质求出CE＝3，根据勾股定理求出EM，根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：
过M作ME⊥CD于E，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，
∴CMAB＝5，MDAB＝5，
∴CM＝DM，
∵ME⊥CD，CD＝6，
∴CE＝DE＝3，
由勾股定理得：EM4，
∴△MCD的面积为12，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9．（3分）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　）
A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2
【思路点拔】根据x2≥0，2[x]＝x2可得x≥0，分4种情况讨论：①0≤x＜1时，解得x＝0；②1≤x＜2时，解得x或x（舍）；③2≤x＜3时，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；④x≥3时，方程无解．
【解答】解：∵x2≥0，2[x]＝x2，
∴x≥0，
①0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；
②1≤x＜2时，x2＝2，解得x或x（舍）；
③2≤x＜3时，x2＝4，解得x＝2或x＝﹣2（舍）；
④x≥3时，方程无解；
综上所述：方程的解为x＝0或x＝2或x，
故选：D．
【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键．
10．（3分）若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（　　）
A．10 B．84 C．100 D．121
【思路点拔】利用配方法以及二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：M＝（7﹣x）（3﹣x）（2+x）（2﹣x）
＝[（7﹣x）（2+x）] [（3﹣x）（2﹣x）]
＝（﹣x2+5x+14）（x2﹣5x+6）
＝﹣（x2﹣5x）2+8（x2﹣5x）+84
＝﹣[（x2﹣5x）﹣4]2+100，
∵﹣1＜0，
∴M的最大值为100．
故选：C．
【点评】本题考查配方法的应用、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）一元二次方程x2﹣8x+3＝0配方为（x﹣4）2＝m，则m的值是 　13　 ．
【思路点拔】将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，得出答案，
【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0，
∴x2﹣8x＝﹣3，
∴x2﹣8x+16＝﹣3+16，
∴（x﹣4）2＝13，
∴m＝13，
故答案为：13．．
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E为AB边上一点，将△DAE沿直线DE折叠，点A的对应点F恰好落在对角线BD上，则AE的长为　3　 ．
【思路点拔】先根据矩形的性质得出AD＝BC＝6，∠A＝90°，根据勾股定理得出，根据折叠得出DF＝AD＝6，AE＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，再利用勾股定理得出AE2+16＝（8﹣AE）2，求解即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠A＝90°，
∴，
∵将△DAE沿直线DE折叠，点A的对应点F恰好落在对角线BD上，
∴DF＝AD＝6，AE＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，
∴BF＝4，
∵EF2+BF2＝BE2，
∴AE2+16＝（8﹣AE）2，
∴AE2+16＝64﹣16AE+AE2，
∴16AE＝48，
∴AE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查矩形的性质，折叠问题，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
13．（4分）如图所示，某农户用16m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10m），且面积为50m2的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为x m，若可列方程为x （★）＝50，则★表示的代数式为 　（17﹣2x）　 ．
【思路点拔】确定平行于墙的一边与x的关系即可求解．
【解答】解：由题意可得：平行于墙的一边为：（16﹣2x+1），
即为：（17﹣2x）．
故答案为：（17﹣2x）．
【点评】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程，找出数量关系是解答本题的关键．
14．（4分）如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF＝120°，则∠C的度数为　140°　 ．
【思路点拔】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠ABD＝∠CBD，进而利用三角形的内角和解答即可．
【解答】解：设∠CBD＝x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD＝x，
∴∠ADB＝∠CBD＝x，
∵AH⊥BC，AD∥BC，
∴∠DAH＝∠AHB＝90°，
∵F为ED的中点．
∴AF＝FD，
∴∠FAD＝∠ADB＝x，
∵∠BAF＝120°，
∴∠BAD＝120°+x，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
可得：2x+120°+x＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠BAD＝120°+x＝140°
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠C＝∠BAD＝140°．
故答案为：140°．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AD∥BC，∠ABD＝∠CBD解答．
15．（4分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为7和1，则图1中菱形的面积为 　6　 ．
【思路点拔】设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，根据勾股定理和正方形的面积列出二元二次方程组，求出ab＝3，即可解决问题．
【解答】解：设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，
由题意得：，
整理得：ab＝3，
∴菱形的面积为 2a 2b＝2ab＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据勾股定理和正方形的面积列出方程组是解题的关键．
16．（4分）如图，长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝4cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿A﹣B﹣C向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．经过　　 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2．
【思路点拔】分两种情况，①当时，AP＝（4﹣x）cm，AQ＝3x cm，根据以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值；②当时，AP＝（4﹣x）cm，根据以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2，列出一元一次方程，解之得出x的值，再取符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：4÷1＝4（s），，（5+4）÷3＝3（s）．
设经过x秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2，
分两种情况：
①当时，AP＝（4﹣x）cm，AQ＝3x cm，
由题意得：，
整理得：3x2﹣12x+4＝0，
解得：，（不符合题意，舍去）；
②当时，AP＝（4﹣x）cm，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）；
∴经过秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2；
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和一元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣14x+21＝0．
（2）3x2﹣6x＝4（x﹣2）．
【思路点拔】（1）利用配方法解答即可求解；
（2）移项提取公因式，利用因式分解法解答即可求解．
【解答】解：（1）∵x2﹣14x+21＝0，
∴x2﹣14x＝﹣21，
∴x2﹣14x+49＝﹣21+49，
即（x﹣7）2＝28，
∴，
∴，；
（2）移项提取公因式得，3x（x﹣2）﹣4（x﹣2）＝0，
因式分解得，（x﹣2）（3x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或3x﹣4＝0，
∴x1＝2，．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
18．（10分）如图，点A是菱形BDEF对角线的交点，BC∥FD，CD∥BE，连接AC，交BD于点O．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）探究：当∠DEF＝　90　 °时，四边形ABCD是正方形，并证明你的结论．
【思路点拔】（1）根据BC∥FD，CD∥BE判定四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的性质得出∠BAD＝90°，从而证得四边形ABCD是矩形；
（2）根据正方形的判定定理得到四边形BDEF是正方形，求得ADDF，ABBE，得到AB＝AD，根据正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BC∥FD，CD∥BE，
∴四边形ABCD是矩形，
∵四边形BDEF是菱形，
∴FD⊥BE，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：当∠DEF＝90°时，四边形ABCD是正方形，
证明：∵四边形BDEF是菱形，∠DEF＝90°，
∴四边形BDEF是正方形，
∴ADDF，ABBE，
∵DF＝BE，
∴AB＝AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形
故答案为：90．
【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
19．（10分）已知菱形ABCD的边长是5，两条对角线AC、BD交于点O，且A0、B0的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3＝0的两根．
（1）求m的值．
（2）求菱形ABCD的面积．
【思路点拔】（1）由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2＝25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO BO＝m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值；
（2）将m的值代入方程求得OA、OB的值，最后根据菱形的面积＝△AOB面积的4倍求解即可．
【解答】解：（1）由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2＝25，由根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO BO＝m2+3，
∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO BO＝（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）＝25，整理得：m2﹣2m﹣15＝0，解得：m＝﹣3或5．
又∵Δ＞0，
∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，
解得m，
∴m＝﹣3．
（2）将m的值代入方程得；x2﹣7x+12＝0．
解得x1＝3，x2＝4．
∴菱形ABCD的面积＝4424．
【点评】本题主要考查的是菱形的性质、勾股定理、根与系数的关系的综合应用，由AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO BO列出关于m的方程是解题的关键．
20．（12分）社区利用一块矩形空地ABCD修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x m的道路．已知铺花砖的面积为640m2．
（1）求道路的宽是多少？
（2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元．
【思路点拔】（1）由题意知，道路的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设车位的月租金上涨a元，则租出的车位数量是个，根据：月租金＝每个车位的月租金×车位数，列出方程并解答即可．
【解答】解：（1）由题意得 （52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
整理得：x2﹣40x+204＝0，
解得：x1＝34（舍去），x2＝6，
答：道路的宽为6米．
（2）设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10920元，
根据题意得，，
整理得，a2+250a﹣5400＝0，
解得a＝20或a＝﹣270（舍去）．
答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10920元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键．
21．（12分）阅读理解并解答：
【方法呈现】
（1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用．
例如：x2+2x+3＝（x2+2x+z）+2＝（x+1）2+2，
∵（x+1）2≥0
∴（x+1）2+2≥2．
则这个代数式x2+2x+3的最小值为　2　 ，这时相应的x的值是　﹣1　 ．
【尝试应用】
（2）求代数式x2﹣8x+10的最小或最大值．
【拓展提高】
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求c的取值范围．
【思路点拔】（1）利用非负数的性质确定代数式的最值；
（2）利用完全平方公式变形，最后确定最值；
（3）变形等式，利用非负数的性质，求出a、b的值，再利用三角形的三边关系确定c边长的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得：代数式x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1；
故答案为：2，﹣1；
（2）原式＝x2﹣8x+16﹣6
＝（x﹣4）2﹣6，
∵（x﹣4）2≥0，
∴（x﹣4）2﹣6≥﹣6，
∴代数式x2﹣8x+10有最小值﹣6；
（3）由题意可得：a2+b2﹣10a﹣8b＝﹣41，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2﹣25﹣16＝﹣41，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∵a﹣b＜c＜a+b，
∴1＜c＜9．
【点评】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
22．（14分）如图是两个等宽的矩形MNOP（MN＜NO）和矩形M′N′O′P′（M′N′＜N′O′）叠合得到的四边形ABCD的部分图形，M′P′与MP和NO分别交于点D、C．
（1）请用直尺和圆规在图①作出四边形ABCD．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）如图②，若点M与点C关于N′O′对称，求∠MAB的度数；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【思路点拔】（1）以A为圆心，AB为半径画弧交AP于点D，以B为圆心，AB为半径画弧交NO于点C，然后连接C，D即可；
（2）先说明四边形ABCD是菱形可得∠CAD＝∠CAB，再根据轴对称的性质可得∠MAB＝∠CAB，进而得到∠CAD＝∠CAB＝∠MAB，最后根据平角的定义即可解答；
（3）先说明△ABC是等边三角形可得△ABC 是等边三角形，再根据轴对称的性质可得MB＝BC，MA＝AC，进而证明四边形AMBC是菱形，即∠MBN＝∠ACB＝60°；再说明∠NMB＝30°，最后根据直角三角形的性质及等量代换即可解答．
【解答】解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求；
（2）如图②：连接MC，AC，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠CAD＝∠CAB
∵点M与点C关于N′O对称，
∴∠MAB＝∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝∠MAB，
∵∠CAD+∠CAB+∠MAB＝180°，
∴∠MAB＝60°；
（3）如图③，
∵∠MAB＝∠CAB＝60°，AM∥NO，
∴∠ABC＝∠MAB＝60°，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵点M与点C关于NO对称，
∴MB＝BC，MA＝AC，
∴MB＝BC＝MA＝AC，
∴四边形AMBC是菱形，
∴MB∥AC，
∴∠MBN＝∠ACB＝60°，
∵∠N＝90°，
∴∠NMB＝30°，
∴BM＝2NB，
∴BC＝2NB，
即．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、尺规作图、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理是解答本题的关键．

展开更多......

收起↑