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专题强化练2　空间直角坐标系常用建系设点方法与技巧
1.如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2CF=2.
(1)求证:BF∥平面ADE;
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;
(3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD=2BC,△ABC是等边三角形,PA=AB=1.
(1)求证:平面PCD⊥平面PAC;
(2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.
3.如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠CDB,E为AC的中点.
(1)证明:AC⊥平面BDE;
(2)设DE⊥BE,DE=1,∠ACB=60°,点F在BD上(包含端点),若CF与平面ABD所成角的正弦值为,求此时点F的位置.
4.如图,在三棱锥P-ABC中,AC⊥BC,D是AC的中点,E是AB上一点,AC⊥平面PDE.
(1)证明:DE∥平面PBC;
(2)若AC=BC=4,PD=PE=2,求二面角D-PB-E的正弦值.
5.如图,三棱锥E-ABD和三棱锥F-BCD均是棱长为2的正四面体,且A,B,C,D四点共面,记直线AE与CF的交点为Q,连接QD,QB.
(1)求三棱锥Q-BDE的体积;
(2)求二面角A-QD-C的正弦值.
6.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折起到△D'EF的位置,使OD'=.
(1)证明:D'H⊥平面ABCD;
(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.
7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.
(1)求证:A1C1⊥平面ABB1A1;
(2)求棱AA1与BC所成的角的大小;
(3)在线段B1C1上确定一点P,使AP=,并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值.
8.如图,P为圆锥的顶点,O是圆锥底面圆的圆心,AC为底面圆的直径,△ABD为底面圆O的内接正三角形,且△ABD的边长为,点E在母线PC上,且AE=,CE=1.
(1)求证:直线PO∥平面BDE,并求三棱锥P-BDE的体积;
(2)若点M为线段PO上的动点,当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时,求点M到平面ABE的距离.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　空间直角坐标系常用建系设点方法与技巧
1.解析　(1)证明:因为CF∥AE,CF 平面ADE,AE 平面ADE,所以CF∥平面ADE,
因为AD∥BC,BC 平面ADE,AD 平面ADE,所以BC∥平面ADE,
又CF∩BC=C,CF,BC 平面BCF,所以平面BCF∥平面ADE,
因为BF 平面BCF,所以BF∥平面ADE.
(2)因为AE⊥平面ABCD,AB,AD 平面ABCD,所以AE⊥AB,AE⊥AD,又AD⊥AB,所以AB,AD,AE两两互相垂直.
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,因为AB=AD=1,AE=BC=2CF=2,
所以B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2),则=(-1,-2,2),=(-1,0,2),=(0,-1,2),
设平面BDE的法向量为m=(x,y,z),
则令z=1,则x=2,y=2,
所以m=(2,2,1),
所以|cos|===,故直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.
(3)由(2)知,F(1,2,1),则=(0,2,1),=(-1,1,0),
设平面BDF的法向量为n=(a,b,c),
则令c=-2,则a=1,b=1,
所以n=(1,1,-2),
由(2)知,平面BDE的一个法向量为m=(2,2,1),
所以|cos|===,
故平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为.
名师点睛　常见建立空间直角坐标系的技巧
1.利用共顶点且相互垂直的三条棱建系,如图1.
　　
2.利用线面垂直建系,如图2.
3.利用面面垂直建系,如图3.
　　
4.利用正棱锥的中心与高所在直线建系,如图4.
5.利用图形中的对称关系建系.图形中有一定的对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等)时,利用图形自身对称性可建立空间直角坐标系.
2.解析　(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AD∥BC,△ABC是等边三角形,∴∠CAD=∠ACB=∠ABC=60°,
在△ACD中,AC=1,AD=2,∠CAD=60°,∴CD=,
∴AC2+CD2=AD2,∴AC⊥CD.
又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,∴CD⊥平面PAC,
又CD 平面PCD,∴平面PCD⊥平面PAC.
(2)取BC的中点E,连接AE,则AE,AD,AP两两互相垂直,以A为坐标原点,AE,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),P(0,0,1),C,B,
∴=(0,0,1),=,=(0,1,0),=.
设平面PAC的法向量为m=(x,y,z),
则所以
令x=1,则y=-,z=0,∴m=(1,-,0).
设平面PBC的法向量为n=(x1,y1,z1),
则所以
令x1=2,则y1=0,z1=,∴n=(2,0,).
记平面PAC与平面PBC的夹角为θ,
则cos θ=|cos|==,
故平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为.
3.解析　(1)证明:∵AD=CD,E为AC的中点,∴AC⊥DE,
在△ABD和△CBD中,AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB,∴△ABD≌△CBD,∴AB=CB,
又E为AC的中点,∴AC⊥BE,
又DE,BE 平面BDE,DE∩BE=E,∴AC⊥平面BDE.
(2)由(1)知,DE⊥AC,BE⊥AC,又DE⊥BE,
故DE,AC,BE两两互相垂直,
以E为坐标原点,EA,EB,ED所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Exyz,如图所示,
∵DE=1,AD=CD,∴AE=CE=1,又∠ACB=60°,AC⊥BE,∴BE=,
则A(1,0,0),B(0,,0),D(0,0,1),
∴=(-1,0,1),=(-1,,0),=(0,,-1),
设n=(x,y,z)为平面ABD的法向量,
则即
取y=,则x=3,z=3,∴平面ABD的一个法向量为n=(3,,3),
又C(-1,0,0),∴=(1,0,1),
由点F在BD上(包含端点),可设=λ=(0,λ,-λ),λ∈[0,1],
∴=+=(1,λ,1-λ),
设CF与平面ABD所成的角为θ,
∴sin θ=|cos|===,
∴(4λ-1)2=0,解得λ=(二重根),∴=,
∴F为BD上靠近点D的四等分点.
4.解析　(1)证明:因为AC⊥平面PDE,DE 平面PDE,所以AC⊥DE,
因为AC⊥BC,且直线AC,BC,DE 平面ABC,
所以DE∥BC,
因为DE 平面PBC,BC 平面PBC,
所以DE∥平面PBC.
(2)取DE的中点O,连接PO,过点O作OF⊥DE交BC于点F,
因为PD=PE,O为DE的中点,所以PO⊥DE,
因为AC⊥平面PDE,PO 平面PDE,
所以AC⊥PO,因为DE∩AC=D,DE,AC 平面ABC,
所以PO⊥平面ABC,又OF 平面ABC,所以PO⊥OF.
如图,以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系,
因为D是AC的中点,DE∥BC,所以E为AB的中点,DE=BC=2,易知四边形OFCD是矩形,所以CF=OD=1,OF=CD=2.
所以E(1,0,0),D(-1,0,0),B(3,2,0),
因为PD=PE=2,所以PO=,即P(0,0,),
所以=(4,2,0),=(1,0,),=(-1,0,),=(2,2,0),
设平面PBD的法向量为m=(x1,y1,z1),
则即
令x1=,得y1=-2,z1=-1,
所以平面PBD的一个法向量为m=(,-2,-1),
设平面PBE的法向量为n=(x2,y2,z2),
则即
令x2=,得y2=-,z2=1,
所以平面PBE的一个法向量为n=(,-,1),
所以cos====,
设二面角D-PB-E的大小为θ,则θ∈[0,π],cos θ=±cos,
所以sin θ==,
所以二面角D-PB-E的正弦值为.
5.解析　(1)连接AC,交BD于点O,连接OQ,OE,OF,过E作EG∥OQ,交AC于点G,如图,
因为三棱锥E-ABD和三棱锥F-BCD均是棱长为2的正四面体,
所以AO=OC,OE=OF,AE=FC,所以△AOE≌△COF,所以∠EAO=∠FCO,所以AQ=CQ,所以OQ⊥AC,
因为BF=DF,FQ=FQ,∠BFQ=π-=∠DFQ,所以△BFQ≌△DFQ,所以BQ=DQ,
又O是BD的中点,所以OQ⊥BD,
又AC∩BD=O,AC,BD 平面ABCD,所以OQ⊥平面ABCD,
因为EG∥OQ,所以EG⊥平面ABCD,
又三棱锥E-ABD是正四面体,所以G是底面△ABD的中心,
在边长为2的等边△ABD中,易得AO=,AG=AO=,
在Rt△AEG中,AE=2,则GE==,
又GE∥OQ,所以==,则OQ=GE=,
因为S△ABD=·BD·AO=×2×=,
所以VQ-BDE=VQ-ABD-VE-ABD=S△ABD·OQ-S△ABD·GE=××-××=,
故三棱锥Q-BDE的体积为.
(2)由(1)知四边形ABCD是菱形,则AC⊥BD,
又OQ⊥AC,OQ⊥BD,所以OQ,AC,BD两两垂直,
以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
易得A(0,-,0),D(-1,0,0),C(0,,0),Q(0,0,),
所以=(-1,,0),=(1,0,),=(-1,-,0),
设平面AQD的法向量为m=(x,y,z),
则
令x=,则y=,z=-1,故m=(,,-1),
设平面CQD的法向量为n=(a,b,c),
则
令a=,则b=-,c=-1,故n=(,-,-1),
设二面角A-QD-C的大小为θ,
所以|cos θ|=|cos|===,
所以sin θ==,
所以二面角A-QD-C的正弦值为.
6.解析　(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD,又由AE=CF得=,故AC∥EF,因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.
由AB=5,AC=6得OD=OB==4.
由AC∥EF得==,所以OH=1,D'H=DH=3.
于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.
又OH∩EF=H,OH,EF 平面ABCD,
所以D'H⊥平面ABCD.
(2)由(1)可知HD,HF,HD'两两互相垂直.如图,以H为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系Hxyz,
则A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),则=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).
设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,
则即令x1=4,得m=(4,3,-5).
设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,
则即令z2=1,得n=(0,-3,1),
于是cos===-,
设二面角B-D'A-C的平面角的大小为θ,则sin θ=.
因此二面角B-D'A-C的正弦值是.
7.解析　(1)证明:因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,所以A1C1⊥A1B1,
因为顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B,所以A1B⊥平面ABC,又AC 平面ABC,所以A1B⊥AC,所以A1B⊥A1C1,
又A1B∩A1B1=A1,A1B 平面ABB1A1,A1B1 平面ABB1A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.
(2)以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),
所以=(0,2,2),=(2,-2,0),
设棱AA1与BC所成的角为θ,
所以cos θ=|cos<,>|===,又0<θ≤,所以θ=,
故棱AA1与BC所成的角为.
(3)结合(2)中所建坐标系可知A(0,0,0),B(0,2,0),B1(0,4,2),C1(2,2,2),则=(2,-2,0),=(0,2,0).
因为P在线段B1C1上,所以设=λ=(2λ,-2λ,0)(0≤λ≤1),则P(2λ,4-2λ,2).
于是AP==,解得λ=λ=舍去,
则P为棱B1C1的中点,且P(1,3,2),又A(0,0,0),所以=(1,3,2).
设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),
则令z=-1,得n=(2,0,-1),
易知平面ABA1的一个法向量为(1,0,0),记m=(1,0,0),则cos===,
容易由图形可知该二面角的平面角为锐角,
故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是.
8.解析　(1)设AC∩BD=F,连接EF,
∵△ABD为底面圆O的内接正三角形,其边长为,∴结合正弦定理可得AC==2,且易得F为BD的中点,
又AF===,∴CF=2-=,AO=AF=1.
∵AE=,CE=1,AC=2,∴AE2+CE2=AC2,
∴AE⊥EC,
∵=,∠EAF=∠CAE,∴△AEF∽△ACE,
∴∠AFE=∠AEC,∴EF⊥AC.
易知PO⊥平面ABD,PO 平面PAC,
∴平面PAC⊥平面ABD,
∵平面PAC∩平面ABD=AC,EF 平面PAC,∴EF⊥平面ABD,又PO⊥平面ABD,∴EF∥PO,
∵PO 平面BDE,EF 平面BDE,∴PO∥平面BDE.
∵F为BD的中点,∴AF⊥BD,即OF⊥BD,
又EF⊥平面ABD,OF,BD 平面ABD,∴EF⊥OF,EF⊥BD,
∵EF∩BD=F,EF,BD 平面BDE,∴OF⊥平面BDE,∴点P到平面BDE的距离即为点O到平面BDE的距离.
∵EF===,EF⊥BD,
∴S△BDE=BD·EF=××=,
又OF=AF=,
∴VP-BDE=VO-BDE=S△BDE·OF=××=.
(2)由(1)知OF=CF=,∴F为OC的中点,又PO∥EF,∴E为PC的中点,∴PO=2EF,又EF=,∴PO=,∴PC==2,
以F为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A,B,E,D,O,P,
∴=,=,=(0,0,),=,=,
设=λ=(0,0,λ)(0≤λ≤1),
∴=+=.
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),
则令y=-1,解得x=,z=,∴n=(,-1,),
设直线DM与平面ABE所成的角为θ,
∴sin θ===,
令t=3λ+2,则t∈[2,5],λ=,
∴===,
∵∈,∴当=,即λ=时,==,
∴(sin θ)max==1,此时=,
∴=-=,
∴点M到平面ABE的距离d===.
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