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本章复习提升
易混易错练
易错点1　弄不清直线的倾斜角、斜率的变化关系而致错
1.已知点A(-4,3),B(3,9),若直线l:mx+y-m-2=0与线段AB相交,则m的取值范围是(　　)
A.m≥　　　　B.m≥或m≤-　　
C.m≥或m≤-　　　　D.-≤m≤
2.已知直线l过点P(1,0)且与以A(2,1),B(4,-3)为端点的线段AB有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围为　　　　.
易错点2　忽视直线斜率的限制条件而致错
3.已知直线l过点(2,-3),若原点到直线l的距离为2,则直线l的方程为　　　　　　.
4.过点A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为　　　　　　.
易错点3　忽视题中隐含条件而致错
5.“λ=-1”是“直线l1:x+λy+9=0与l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.若圆C1:(x+1)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-5)2+(y+6)2=r2(r>0)相切,则r=(　　)
A.9　　B.10　　C.11　　D.9或11
7.若过点A(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3)　　　　B.(-3,1)
C.(-∞,-3)∪　　　　D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
8.已知直线l过点(3,4),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的两倍,则直线l的方程为　　　　　　.
9.已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为圆H.
(1)求圆H的方程;
(2)若直线l过点C,且被圆H截得的弦长为2,求直线l的方程;
(3)对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的任意圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段PN的中点,求圆C的半径r的取值范围.
思想方法练
一、函数与方程思想在直线与圆中的应用
1.若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是　　　　.
2.已知圆M:x2+(y-6)2=16,点P是直线l:x-2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B.
(1)当切线PA的长度为4时,求线段PM的长度;
(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当点P在直线l上运动时,圆N是否过定点 若过,求出所有定点的坐标;若不过,说明理由;
(3)求线段AB长度的最小值.
二、分类讨论思想在直线与圆中的应用
3.(多选题)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
C.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
D.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
4.已知两直线l1:x+2y+1=0,l2:3x-4y+5=0,若直线l3:ax+2y-6=0与l1,l2不能构成三角形,则满足条件的实数a的值为　　　　.(写出一个即可)
三、转化与化归思想在直线与圆中的应用
5.在平面直角坐标系Oxy中,已知A(1,a),B(3,a+4),若圆O:x2+y2=4上有且仅有四个不同的点C,使△ABC的面积为,则实数a的取值范围是　　　　.
6.已知P为直线x+y+4-6=0上一动点,过点P作圆C:x2+y2-6x-6y+14=0的切线,切点分别为A,B,当四边形PACB的面积最小时,求直线AB的方程.
四、数形结合思想在直线与圆中的应用
7.在等腰直角三角形ABC中,|AB|=|AC|=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA边反射后又回到点P.设光线与BC,CA边的交点分别为Q,R,若光线QR经过△ABC的重心,则|AP|等于(　　)
A.2　　B.1　　C.　　D.
已知直线l:y=kx+2k与曲线y=2+恰有两个公共点,则实数k的取值范围是　　　　　　.
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.C 5.A 6.D 7.C
1.C　直线l:mx+y-m-2=0即m(x-1)+(y-2)=0,过定点(1,2),记M(1,2),而直线AM的斜率kAM==-,直线BM的斜率kBM==,因为直线l与线段AB相交,所以结合图形(图略)可知直线l的斜率kl≥或kl≤-,即-m≥或-m≤-,解得m≤-或m≥.故选C.
2.答案　∪
解析　如图所示.
设直线l过A点时(即图中l1)斜率为k1,直线l过B点时(即图中l2)斜率为k2,则k1==1,k2==-1,结合图形可知直线l与线段AB有公共点时,直线l的斜率的取值范围为[-1,1],
所以l的倾斜角的取值范围为∪.
易错警示　求直线的斜率或倾斜角的取值范围时,要注意下面三个易错点:一是起、止直线的确定,从起始直线到终止直线要按逆时针方向旋转;二是若有斜率不存在的直线也符合题意,则斜率的取值范围分成两个部分;三要注意倾斜角为0的直线,将倾斜角的取值范围分成两个部分.
3.答案　x=2或5x+12y+26=0
解析　当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,此时原点到直线l的距离为2,满足题意.当直线l的斜率存在时,设为k,则直线l的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由已知可得,d==2,整理可得12k+5=0,解得k=-,所以直线l的方程为5x+12y+26=0.综上所述,直线l的方程为x=2或5x+12y+26=0.
4.答案　x=4或15x+8y-36=0
解析　圆(x-3)2+(y-1)2=1的圆心为(3,1),半径r=1.若切线的斜率不存在,则切线的方程为x=4,此时圆心到直线x=4的距离d=r=1,直线与圆相切,符合题意;若切线的斜率存在,设切线的方程为y+3=k(x-4),即kx-y-4k-3=0,则有=1,解得k=-,则切线的方程为15x+8y-36=0.综上可得,切线方程为x=4或15x+8y-36=0.
5.A　若直线l1:x+λy+9=0与l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行,则λ(λ-2)=3,解得λ=3或λ=-1.当λ=3时,直线l1与l2重合,舍去;当λ=-1时,直线l1与l2平行,满足题意.故“λ=-1”是“直线l1:x+λy+9=0与l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的充要条件.故选A.
6.D　圆C1:(x+1)2+(y-2)2=1的圆心为C1(-1,2),半径r1=1,圆C2:(x-5)2+(y+6)2=r2(r>0)的圆心为C2(5,-6),半径r2=r,所以|C1C2|==10,因为两圆相切,(相切分为内切和外切)所以|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r2-r1|,故r=9或r=11.故选D.
7.C　把圆的方程化为标准方程是(x-a)2+y2=3-2a,可得圆心坐标为(a,0),半径r=,记P(a,0).易知3-2a>0,即a<.由题意可得点A在圆外,故|AP|=>r,即a2>3-2a,整理得a2+2a-3>0,即(a+3)(a-1)>0,解得a<-3或a>1,又a<,可得a<-3或18.答案　y=x或x+2y-11=0
解析　①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时,设直线方程为y=kx,因为直线过点(3,4),所以k=,所以直线l的方程为y=x;②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时,设直线l在y轴上的截距为b,则其在x轴上的截距为2b,则直线l的方程为+=1,又因为直线l过点(3,4),所以+=1,解得b=,所以直线l的方程为+=1,即x+2y-11=0.综上所述,直线l的方程为y=x或x+2y-11=0.
9.解析　(1)由题可得圆心H在AB的垂直平分线上,∵A(-1,0),B(1,0),∴H在y轴上,设H(0,y),∵|BH|=|CH|,∴|BH|2=|CH|2,即1+y2=32+(y-2)2,解得y=3,∴H(0,3),圆H的半径为|BH|=,∴圆H的方程为x2+(y-3)2=10.
(2)当直线l的斜率存在时,设l:y-2=k(x-3),即kx-y+2-3k=0,由弦长为2和半径为可得,圆心H(0,3)到直线l的距离d==3,即d==3,即(1+3k)2=9(k2+1),解得k=,∴l:y-2=(x-3),即4x-3y-6=0;
当直线l的斜率不存在时,其方程为x=3,
联立解得或此时弦长为2,符合题意.
综上所述,l的方程为4x-3y-6=0或x=3.
若对任意P点,已知条件均满足,则P在☉C外,
又=(-1,3),=(2,2),=(1,-3),
=(3,-1),∴·>0,·>0,∴∠CBH,∠CHB均为锐角,∴C在BH上的投影位于线段BH上,∵B(1,0),H(0,3),∴直线BH的方程为x+=1,即3x+y-3=0,记点C到直线BH的距离为dC-BH,则r若dmin>dmax,由|PM|≥dmin,|PN|≤dmax,得|PM|>|PN|,与M是线段PN的中点矛盾,从而不存在满足条件的M,N
∵P在圆C外,∴dmin=|PC|-r,dmax=|PC|+r,代入可得|PC|-r≤(|PC|+r),即|PC|≤3r,∴r≥|PC|max.∵|CH|==,|BC|==2,∴|CH|>|BC|,即|PC|max=|CH|=,∴r≥.
综上所述,r∈.
思想方法练
1.答案　
解析　联立两直线方程得
两直线的交点坐标可通过联立两直线方程,进而解方程组求得.
将①代入②解得x=③,把③代入①,解得y=,所以两直线的交点坐标为,因为两直线的交点位于第一象限,所以>0且>0,解得k>1,设直线l的倾斜角为θ(θ∈[0,π)),则tan θ>1,所以θ∈.
2.解析　(1)由题意知,圆M的半径r=|AM|=4,圆心为M(0,6),由题可知∠MAP=90°.∴|PM|==8.
(2)圆N过定点.
设P(2a,a),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径,
∴圆心为N,半径为=,
∴圆N的方程为(x-a)2+=,
即x2+y2-6y+a(-2x-y+6)=0.
分别令x2+y2-6y=0,-2x-y+6=0,联立两方程构成方程组,解方程组得圆N所过的定点坐标.
由解得或
∴圆N过定点(0,6)和.
(3)由(2)知,圆N:x2+y2-2ax-ay-6y+6a=0,①
圆M:x2+(y-6)2=16,即x2+y2-12y+20=0,②
②-①,得2ax+(a-6)y+20-6a=0,即为直线AB的方程.
又圆心M(0,6)到直线AB的距离
d==,
∴|AB|=2=2
=8,
把AB的长度表示为a的函数,利用二次函数的最值可得AB长度的最小值.
∴当a=时,线段AB的长度有最小值,为.
思想方法　函数与方程思想是分析和解决解析几何问题的一种非常重要的数学思想.求解圆的方程、直线与圆的交点或判断交点个数、弦长、圆与圆的交点等问题时,一般都要合理利用参变量构造方程或者函数,通过解方程或者研究相关函数的性质解决问题.
3.ACD　点与圆、直线与圆的位置关系有多种情况,分别对应着不同的数量关系.
A中,若点A在圆C上,则a2+b2=r2,而圆心到直线l的距离d==|r|,所以直线l与圆C相切,所以A正确;
B中,若点A在圆C外,则a2+b2>r2,而圆心到直线l的距离d=<|r|,所以直线l与圆C相交,所以B不正确;
C中,若点A在直线l上,则a2+b2=r2,而圆心到直线l的距离d==|r|,所以直线l与圆C相切,所以C正确;
D中,若点A在圆C内,则a2+b2|r|,所以直线l与圆C相离,所以D正确.故选ACD.
4.答案　1
解析　由题意知直线l3可能与l1或l2平行(重合),也可能与l1及l2交于一点,分类讨论求解.
若直线l1,l3平行,则1×2=2a,解得a=1,经检验,直线l1,l3不重合,且满足题意;
若直线l2,l3平行,则3×2=-4a,解得a=-,经检验,直线l2,l3不重合,且满足题意;
若三条直线交于一点,联立解得则直线l3过交点,则-a+-6=0,解得a=-4.
综上所述,满足条件的实数a的值为1.
思想方法　在直线与圆的方程的有关问题中,有些需要设出直线方程,此时要考虑相关直线的斜率是否存在;遇到直线与圆、圆与圆的位置关系类问题时,要脑中有图并对应上不同的代数形式,即点到直线的距离、两圆心的距离和半径之间的大小关系,同时考虑两圆圆心的位置等.这都是分类讨论思想在本章中的体现.
5.答案　(2-,2+)
解析　直线AB的斜率k==2,|AB|==2.
设△ABC的AB边上的高为h,∵△ABC的面积为,
∴S△ABC=|AB|h=×2h=,即h=1.
直线AB的方程为y-a=2(x-1),即2x-y-2+a=0,
则圆心O到直线2x-y-2+a=0的距离d==,
将与圆上不固定的点有关的问题转化为与定点(圆心)有关的问题,从而研究圆心到直线的距离即可.
若圆O:x2+y2=4上有且仅有四个不同的点C,使△ABC的面积为,则应该满足d即<1,即|a-2|<,即2-6.解析　圆C:x2+y2-6x-6y+14=0,即(x-3)2+(y-3)2=22,所以圆心为C(3,3),半径r=2,S四边形PACB=2×=2|PA|=2=2,所以当|CP|最小,即CP垂直于直线x+y+4-6=0时,四边形PACB的面积最小,
将四边形的面积转化为三角形的面积,进一步转化为与切线长有关的式子.
又直线x+y+4-6=0的斜率为-1,故此时直线CP的斜率为1,则直线CP的方程为y=x,
由解得x=y=3-2,即P(3-2,3-2),
则|PC|==4,|PA|=|PB|==2.
以P为圆心,2为半径的圆的方程为(x-3+2)2+(y-3+2)2=12,
即x2+y2+(4-6)x+(4-6)y+22-24=0,
由圆x2+y2-6x-6y+14=0与圆x2+y2+(4-6)x+(4-6)y+22-24=0的方程相减并化简得x+y+-6=0,
A,B既在圆C上,又在圆P上,故可将求直线AB的方程转化为求两圆的公共弦所在直线的方程.
即直线AB的方程为x+y+-6=0.
思想方法　转化与化归思想在解析几何中常表现为与一般性的点或图形有关的问题转化为与特殊点或特殊图形有关的问题,或转化为特殊结构的代数式、函数、方程等,有时可通过充分发掘所求式的几何意义,将其转化为与斜率公式、距离公式等有关的问题并进行解决.
7.D　以A为原点,AB所在的直线为x轴,AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示.
构建平面直角坐标系,借助几何图形解决问题.
则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC的重心为D,则D点的坐标为.设P点坐标为(m,0),m>0,P点关于y轴的对称点为P1,则P1(-m,0),易得直线BC的方程为x+y-4=0,设P点关于直线BC的对称点为P2,则P2(4,4-m),根据光线反射原理,可知P1,P2均在QR所在的直线上,所以=,
即=,解得m=或m=0.当m=0时,P点与A点重合,故舍去.所以|AP|=m=.
8.答案　
解析　由y=2+,得(x-3)2+(y-2)2=9(y≥2),它表示以(3,2)为圆心,3为半径的圆的上半部分,易知直线l:y=kx+2k恒过定点(-2,0),记P(-2,0),作出图形如下,其中A为切点,B(0,2),
借助几何图形找到临界位置,进而求解.
由图可知,当直线l的斜率介于直线PB与PA的斜率之间(含直线PB的斜率,不含直线PA的斜率)时,直线l与半圆恰有两个公共点.
易得直线PB的斜率为=1,
由=3,可得直线PA的斜率为,
所以实数k的取值范围是.
7

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