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专题强化练3　对称问题及其应用
1.点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为(　　)
A.(-1,-3)　　　　B.(-1,-4) C.(4,1)　　　　D.(2,3)
2.将一张坐标纸折叠一次,使得点A(0,0)和点B重合,点C(7,3)和点D(m,n)重合,则m+n=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.一束光线从点A(-,3)射出,沿倾斜角为150°的直线射到x轴上,经x轴反射后,反射光线所在直线的方程为(　　)
A.y=x-2　　　　B.y=-x+2　　C.y=-x+2　　　　D.y=x-2
4.如图,一束光线从A(1,0)出发,经直线x+y+1=0反射后又经过点B(6,-5),则光线从A到B走过的路程为(　　)
A.　　B.2　　C.　　D.2
5.入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为(　　)
A.x-2y+3=0　　B.2x-y+3=0 C.2x+y-3=0　　　　D.2x-y+6=0
6.已知点(m,n)为直线x+y-1=0上的一点,则+的最小值为(　　)
A.　　B.2　　C.4　　D.3
7.一质点在矩形ABCD内运动,从AB的中点O沿一确定方向发射该质点,依次由线段BC,CD,DA反射,反射点分别为P1,P2,P3(入射角等于反射角),最后落在线段OA上(不包括端点)的P4处.若A(-1,0),B(1,0),C(1,1)和D(-1,1),则OP1所在直线的斜率的取值范围是　　　　.
8.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句是:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,设将军的出发点是A(2,4),军营所在位置为B(6,2),河岸线所在直线的方程为x+y-3=0,则将军从出发点到河边饮马,再回到军营的总路程的最小值为　　　　.
9.在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(1,1),直线l:x+y+1=0.
(1)在直线l上找一点C使得|AC|+|BC|最小,并求这个最小值和点C的坐标;
(2)在直线l上找一点D使得||AD|-|BD||最大,并求这个最大值和点D的坐标.
答案与分层梯度式解析
专题强化练3　对称问题及其应用
1.A 2.A 3.D 4.C 5.B 6.A
1.A　设点Q的坐标为(a,b),由题意可得解得故Q(-1,-3),故选A.
2.A　A(0,0)和B连线的中点为,记为D,且kAB==-,所以线段AB的中垂线的斜率k=2,所以线段AB的中垂线的方程为y-=2,即2x-y-3=0,由题意可得点C(7,3)和点D(m,n)连线的中垂线方程也为2x-y-3=0,且点C和点D连线的中点为,则解得所以m+n=.故选A.
3.D　由题意知,入射光线所在直线的斜率为tan 150°=-,所以入射光线所在直线的方程为y-3=-(x+),即y=-x+2,令y=0,得x=2,所以入射光线所在直线与x轴的交点坐标为(2,0),由对称性知,反射光线所在直线的斜率为,所以反射光线所在直线的方程为y-0=(x-2),即y=x-2.故选D.
4.C　记一束光线从A(1,0)出发,经直线x+y+1=0反射,光线与直线x+y+1=0交于点P,
设点A(1,0)关于直线x+y+1=0的对称点为C(x0,y0),则解得∴C(-1,-2),故光线从A到B所走过的路程是|AP|+|PB|=|CP|+|PB|=|BC|==.故选C.
5.B　设直线l1:2x-y-3=0与x轴,y轴的交点分别为A,B,则A,B(0,-3).易知点A关于y轴的对称点A1的坐标为,点B关于x轴的对称点B1的坐标为(0,3),且A1,B1在l3上,故l3的方程为+=1,即2x-y+3=0.故选B.
一题多解　由题意知l2与l1:2x-y-3=0关于x轴对称,∴l2的方程为2x+y-3=0,又l3与l2:2x+y-3=0关于y轴对称,∴l3的方程为-2x+y-3=0,即2x-y+3=0.故选B.
6.A　将点(m,n)记为点P,则+为点P(m,n)到原点O(0,0)和到点A(-2,0)的距离之和,即|PO|+|PA|.
设O(0,0)关于直线x+y-1=0的对称点为B(a,b),则解得所以B(1,1).易得|PO|=|PB|,当A,P,B三点共线时,|PO|+|PA|取到最小值,且最小值为|AB|=.故选A.
7.答案　
解析　由题意,可得OP1∥P2P3,P1P2∥P3P4,设P1(1,b)(0设∠P1OB=θ,则∠P1P2C=∠DP2P3=θ,且tan θ=b,所以|CP1|=1-b,|CP2|==-1,|DP2|=3-,所以tan θ===b,解得b=,此时=.
综上所述,OP1所在直线的斜率的取值范围是.
8.答案　5
解析　由题可知点A,B在直线x+y-3=0的同侧,设点B关于直线x+y-3=0的对称点为B'(a,b),
则解得即B'(1,-3),所以“将军饮马”的总路程的最小值为|AB'|=5.
9.解析　(1)由题知A,B在直线l的同侧,设点A(2,3)关于直线l:x+y+1=0的对称点为A'(x,y),则解得即A'(-4,-3).
所以直线A'B的方程为=,即4x-5y+1=0.
当点C为直线4x-5y+1=0与直线x+y+1=0的交点时,|AC|+|BC|取得最小值.
联立解得
所以C,
|AC|+|BC|的最小值为|A'B|==.
(2)由题意知直线AB的方程为=,整理得2x-y-1=0,当点D为直线2x-y-1=0与直线x+y+1=0的交点时,||AD|-|BD||最大,
由解得即D(0,-1),
从而||AD|-|BD||的最大值为|AB|==.
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