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专题强化练4　直线系方程及其应用
1.若点P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,则方程Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0表示(　　)
A.过点P且与l垂直的直线
B.过点P且与l平行的直线
C.不过点P且与l垂直的直线
D.不过点P且与l平行的直线
2.已知直线l:kx+y-k+1=0,直线l关于直线x+y-2=0对称的直线为l',则l'必过点(　　)
A.(3,1)　　B.(1,3)　　C.(2,2)　　D.(4,4)
3.经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0平行的直线l的方程为(　　)
A.3x-4y+8=0　　　　B.3x-4y+6=0　　
C.4x+3y-6=0　　　　D.4x+3y+6=0
4.过直线l1:5x+2y-3=0和l2:3x-5y-8=0的交点P,且与直线x+4y-7=0垂直的直线l的方程是　　　　　.
5.设直线l经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,则直线l的方程为　　　　　　　　　　.
6.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.
(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
7.在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.
①与直线x-2y+5=0垂直;②过点(2,-3);③与直线2x+y+2=0平行.
问题:已知直线l过点P(1,-1),且　　　　.
(1)求直线l的一般式方程;
(2)已知M(3,-1),O为坐标原点,在直线l上找一点N,使得|MN|-|ON|最大,写出点N的坐标.
8.如图,直线l过点P(2,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B.
(1)若P为线段AB的中点,求直线l的方程;
(2)若点P在线段AB上,且满足=2,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在线段MP和OA上,若直线EF平分直角梯形OAPM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定点坐标.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　直线系方程及其应用
1.B 2.A 3.A
1.B　由题意可知Ax0+By0+C的结果为一个非零常数,所以方程Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0中,C-(Ax0+By0+C)的结果是一个不等于C的常数,则直线Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0与l平行,当x=x0,y=y0时,Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=Ax0+By0+C-(Ax0+By0+C)=0,即点P在方程Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0表示的直线上,故该方程表示过点P且与l平行的直线,故选B.
2.A　直线l:kx+y-k+1=0,整理得k(x-1)+(y+1)=0,由解得即直线l恒过点(1,-1).设点(1,-1)关于直线x+y-2=0对称的点的坐标为(a,b),故解得
故直线l'必过点(3,1).故选A.
3.A　解法一:由题意设所求直线方程为3x-4y+c=0,c≠5,联立解得∴P(0,2),将(0,2)代入3x-4y+c=0,解得c=8,故所求直线方程为3x-4y+8=0.
解法二:设所求直线方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵该直线与直线3x-4y+5=0平行,∴-4(1+λ)=3(λ-2)且5(1+λ)≠3(4-2λ),可得λ=.∴所求直线方程为3x-4y+8=0.
名师指点　几种常见的直线系方程
(1)过已知点P(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为参数),但此方程不能表示直线x=x0.
(2)斜率为k的直线系方程为y=kx+b(b是参数).
(3)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ≠C).
(4)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0.
(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数),但此方程不能表示直线l2.
4.答案　4x-y-5=0
解析　解法一(常规解法):由得l1与l2的交点坐标为(1,-1).因为直线x+4y-7=0的斜率为-,所以直线l的斜率为4.因此满足条件的直线l的方程为y+1=4(x-1),即4x-y-5=0.
解法二(利用垂直直线系解):由得l1与l2的交点坐标为(1,-1).因为直线l垂直于直线x+4y-7=0,所以可设直线l的方程为4x-y+c=0.所以4×1-(-1)+c=0,解得c=-5.所以直线l的方程为4x-y-5=0.
解法三(利用过两直线交点的直线系解):由于直线l过l1与l2的交点,所以可设直线l的方程为(5x+2y-3)+λ(3x-5y-8)=0,即(5+3λ)x+(2-5λ)y-3-8λ=0,因为l与直线x+4y-7=0垂直,所以kl=-=4,解得λ=.所以直线l的方程为4x-y-5=0.
5.答案　x-y-4=0或x+y-24=0
解析　设直线l的方程为2x-3y+2+λ(3x-4y-2)=0,整理得(2+3λ)x-(3+4λ)y+2-2λ=0,令x=0,得y=,令y=0,得x=-,依题意得=,即=±1,解得λ=-1或λ=-.所以直线l的方程为x-y-4=0或x+y-24=0.
6.解析　(1)设直线l的方程为2x+y-5+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,
所以=3,即2λ2-5λ+2=0,
所以λ=或λ=2.所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)设直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点为P,由解得故P(2,1),如图,过P任作直线l,
设d为点A到直线l的距离,
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).
所以dmax=|PA|==.
7.解析　(1)选择①与直线x-2y+5=0垂直.可设直线l的方程为2x+y+m=0,因为直线l过点P(1,-1),所以2×1-1+m=0,解得m=-1,所以直线l的方程为2x+y-1=0.
选择②过点(2,-3).因为直线l过点P(1,-1),点(2,-3),所以直线l的斜率k==-2,所以直线l的方程为y+1=-2(x-1),整理得2x+y-1=0.
选择③与直线2x+y+2=0平行.可设直线l的方程为2x+y+m=0(m≠2),
因为直线l过点P(1,-1),所以2×1-1+m=0,解得m=-1,所以直线l的方程为2x+y-1=0.
(2)设点O关于直线l对称的点为Q(x,y),
则解得所以Q,
显然|MN|-|ON|=|MN|-|QN|≤|QM|,
当且仅当Q,N,M三点共线时取等号,
又直线QM的斜率kQM==-,故直线QM的方程为y+1=-(x-3),即y=-x+,
联立解得所以当点N的坐标为时,|MN|-|ON|最大.
8.解析　由题可设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.
(1)若P为线段AB的中点,则解得
所以直线l的方程为+=1,
即x+2y-4=0.
(2)易得=(2-a,1),=(-2,b-1),
由=2得解得
故A(6,0),B.所以S梯形OAPM=×(6+2)×1=4.
由题可设E(m,1),F(n,0),0≤m≤2,0≤n≤6,
则S梯形OMEF=×(m+n)×1=2,即m+n=4,
当m≠n时,易得直线EF的方程为=,
即x-n-(m-n)y=0,
将m=4-n代入直线EF的方程得x-n-(4-2n)y=0,即(2y-1)n+x-4y=0,
令解得所以直线EF必过定点.
当m=n时,m=n=2,此时直线EF的方程为x=2,过点.
综上,直线EF必过定点.
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