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专题强化练5　圆系方程、圆的切线系方程的应用
1.圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为(　　)
A.x2+y2-x+7y-32=0　　　　B.x2+y2-x+7y-16=0
C.x2+y2-4x+4y+9=0　　　　D.x2+y2-4x+4y-8=0
2.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是(　　)
A.无论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
3.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4,k∈N*.下列命题中是真命题的是(　　)
A.存在一条定直线与所有的圆均相切
B.存在一条定直线与所有的圆均相交
C.存在一条定直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
4.(多选题)设直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ<2π).下列四个命题中正确的是(　　)
A.存在一个圆与所有直线均相交
B.存在一个圆与所有直线均不相交
C.存在一个圆与所有直线均相切
D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
5.已知圆M:(x-1-cos θ)2+(y-2-sin θ)2=1,直线l:kx-y-k+2=0.有下面五个命题,其中正确命题的个数是(　　)
①对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点;
②对任意实数k与θ,直线l与圆M都相离;
③存在实数k与θ,使直线l和圆M相离;
④对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切;
⑤对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切.
A.2　　B.3　　
C.4　　D.5
6.(多选题)已知O为坐标原点,圆M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1,则下列结论正确的是(　　)
A.圆M与圆x2+y2=4内切
B.直线xcos α+ysin α=0与圆M相离
C.圆M上到直线x+y=的距离等于1的点最多有两个
D.过直线x+y=3上任一点P作圆M的切线,切点分别为A,B,则四边形PAMB面积的最小值为
7.经过直线x+y-7=0与圆C:x2+y2-4x-6y-12=0的交点,且面积最小的圆的方程为　　　　　　　　.
8.(2023福建厦门集美中学质检)设O是坐标原点,直线x+2y-3=0与圆C:x2+y2+x-6y+m=0交于P,Q两点.
(1)求线段PQ的中点M的坐标;
(2)若OP⊥OQ,求圆C的面积.
答案与分层梯度式解析
专题强化练5　圆系方程、圆的切线系方程的应用
1.A 2.ABD 3.BD 4.ABC 5.A 6.ACD
1.A　根据题意,设所求圆的方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),变形可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ=0(λ≠-1),其圆心为,又圆心在直线x-y-4=0上,故--4=0,解得λ=-7,则所求圆的方程为-6x2-6y2+6x-42y+192=0,即x2+y2-x+7y-32=0,故选A.
名师指点　圆系方程
1.以(a,b)为圆心的同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ>0),与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0(D2+E2-4λ>0).
2.过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).
3.过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)或x2+y2+D2x+E2y+F2=0.为了避免讨论圆C2,可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)]=0.
2.ABD　易得圆Ck的圆心坐标为(k,k),k∈R,易知圆心在直线y=x上,A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,整理得2k2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k2-6k+5=0无实数根,即所有圆均不经过点(3,0),B正确;令(2-k)2+(2-k)2=4,整理得k2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,∴方程k2-4k+2=0有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.故选ABD.
3.BD　根据题意得,圆Ck的圆心坐标为(k-1,3k),k∈N*,易知圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有的圆都相交,所以B正确;以圆Ck与圆Ck+1为例,考虑两圆的位置关系:圆Ck的圆心为(k-1,3k),半径r=k2,圆Ck+1的圆心为(k+1-1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径R=(k+1)2,两圆的圆心距d==,R-r=(k+1)2-k2=2k+,对任意的k∈N*,R-r>d,故Ck含于Ck+1之中,所以A错误;当k取无穷大时,可以认为所有直线都与圆相交,所以C错误;将(0,0)代入圆的方程,可得(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4,因为等式左边为奇数,右边为偶数,所以不存在k∈N*使此式成立,即所有的圆均不经过原点,所以D正确.故选BD.
4.ABC　易知点(0,2)到M中每条直线的距离d==1,即M中的每条直线都是圆x2+(y-2)2=1的切线,所以存在圆心为(0,2),半径大于1的圆与M中所有直线均相交,故A正确;
由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径小于1的圆与M中所有直线均不相交,故B正确;
由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径等于1的圆与M中所有直线均相切,故C正确;
因为M中的直线与以(0,2)为圆心,1为半径的圆相切,所以不妨取M中的直线AB,AC,BC,DE,它们围成正三角形ADE与正三角形ABC,如图,△ABC与△ADE的面积不相等,故D错误.故选ABC.
知识拓展　圆的切线系方程
直线方程(x-a)cos θ+(y-b)sin θ=r(其中a,b,r均为实常数,且r>0,θ∈R)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆的切线系.
事实上,设点(a,b)到此直线的距离为d,易得d==r,即此切线系中的每条直线都是圆(x-a)2+(y-b)2=r2的切线.
5.A　对于①②,由题可知圆M的圆心为M(1+cos θ,2+sin θ),半径r=1,直线l的方程可以写成y=k(x-1)+2,易知直线l过定点(1,2),记A(1,2),因为点A在圆M上,所以直线l与圆M相切或相交,故对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点,①正确,②错误.
对于③,由以上分析知不存在实数k与θ,使直线l和圆M相离,③错误.
对于④,当直线l与圆M相切时,点A恰好为直线l与圆M的切点,故直线AM与直线l垂直,
当k=0时,直线AM与x轴垂直,则1+cos θ=1,即cos θ=0,解得θ=k'π+(k'∈Z),故存在θ使得直线l与圆M相切;
当k≠0时,若直线AM与直线l垂直,则cos θ≠0,
直线AM的斜率kAM===tan θ,
所以kAM·k=-1,即tan θ=-,
对任意的k≠0,均存在实数θ,使得tan θ=-,从而使得直线AM与直线l垂直.
综上所述,对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切,④正确.
对于⑤,点M(1+cos θ,2+sin θ)到直线l的距离d=,令θ=0,则当k=0时,d=0;当k≠0时,d=<1,故当θ=0时,d<1恒成立,即直线l与圆M必相交,故不存在实数k,使得直线l与圆M相切,⑤错误.
所以正确命题的个数为2,故选A.
6.ACD　圆M:(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=1的圆心为M(cos θ,sin θ),半径r1=1,而圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2,所以|OM|=1=r2-r1,故圆M与圆x2+y2=4内切,A正确;利用点到直线的距离公式,得圆心M(cos θ,sin θ)到直线xcos α+ysin α=0的距离d==|cos(θ-α)|≤1,故圆M和直线相切或相交,B错误;利用点到直线的距离公式,得圆心M(cos θ,sin θ)到直线x+y=的距离d'===,因为sin∈[-1,1],sin-1∈[-2,0],∈[0,2],且圆M的半径为1,所以圆M上到直线x+y=的距离等于1的点最多有两个,C正确;由题可得四边形PAMB的面积S=2S△PAM=|MA|·|PA|=|PA|=,当MP垂直于直线x+y=3时,|MP|有最小值,且|MP|===,因为sin∈[-1,1],sin-3∈[-4,-2],∈[2,4],所以|MP|min=2,则四边形PAMB面积的最小值为,D正确.故选ACD.
7.答案　(x-3)2+(y-4)2=23
解析　设经过直线x+y-7=0与圆C:x2+y2-4x-6y-12=0的交点的圆的半径为r,方程为x2+y2-4x-6y-12+k(x+y-7)=0,即x2+y2+(k-4)x+(k-6)y-12-7k=0,即+=++12+7k=k2+2k+25,故r2=k2+2k+25=(k+2)2+23,则当k=-2时,r2取最小值,为23,此时所求圆的面积最小,且其方程为(x-3)2+(y-4)2=23.
8.解析　(1)易知圆C的圆心为C,直线x+2y-3=0的斜率为-,
所以线段PQ的垂直平分线的斜率为2,且经过C,所以线段PQ的垂直平分线的方程为y-3=2,即y=2x+4,由得
所以线段PQ的中点M的坐标为(-1,2).
(2)设过直线x+2y-3=0与圆x2+y2+x-6y+m=0交点的圆的方程为x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0,即x2+y2+(1+λ)x+2(λ-3)y+m-3λ=0.(*)
依题意知,O在以PQ为直径的圆上,
则圆心在直线x+2y-3=0上,
则-+2(3-λ)-3=0,解得λ=1.
又(0,0)满足方程(*),所以m-3λ=0,故m=3.
所以圆C:x2+y2+x-6y+3=0,其半径为,
所以圆C的面积为π·=.
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