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专题强化练6　隐圆、辅助圆问题
1.如果圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-3,-1)∪(1,3)　　　　B.(-3,3)
C.[-1,1]　　　　D.[-3,-1]∪[1,3]
2.已知A,B是圆C:x2+y2=1上的两点,P是直线x-y+m=0上一点,若存在点A,B,P,使得PA⊥PB,则实数m的取值范围是(　　)
A.[-1,1]　　　　B.[-2,2]　　
C.[-,]　　　　D.[-2,2]
3.在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),圆C:(x-2)2+(y-m)2=(m>0),若在圆C上存在点P满足|PA|=2|PB|,则实数m的取值范围是　(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
4.设A(-2,0),B(2,0),O为坐标原点,点P满足|PA|2+|PB|2≤16,若直线kx-y+6=0上存在点Q使得∠PQO=,则实数k的取值范围为(　　)
A.[-4,4]　　　　
B.(-∞,-4]∪[4,+∞)
C.∪　　　　
D.
5.在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(-1,0),B(5,0).若圆M:(x-4)2+(y-m)2=16上存在唯一点P,使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为(　　)
A.±　　　　B.±3　　
C.±和±3　　　　D.和3
6.若对于圆C:x2+y2-2x-2y-2=0上任意的点A,直线l:4x+3y+8=0上总存在不同两点M,N,使得∠MAN≥90°,则|MN|的最小值为　　　　.
7.在平面直角坐标系Oxy中,已知B,C为圆x2+y2=9上两点,点A(2,2),且AB⊥AC,则线段BC的长的取值范围为　　　　　　　　.
8.在平面直角坐标系Oxy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).
(1)若直线l平行于直线AB,与圆C相交于D,E两点,且|DE|=|AB|,求直线l的方程;
(2)在圆C上是否存在点P,使得|PA|2+|PB|2=12成立 若存在,求满足条件的点P的个数;若不存在,说明理由;
(3)对于线段AC上的任意一点Q,若在以点B为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段QN的中点,求圆B的半径r的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练6　隐圆、辅助圆问题
1.D 2.B 3.D 4.C 5.C
1.D　由圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,知圆(x-a)2+(y-a)2=8与圆x2+y2=2有交点,又两圆的圆心距为|a|,半径分别为2,,∴2-≤|a|≤2+,∴1≤|a|≤3,解得1≤a≤3或-3≤a≤-1.∴实数a的取值范围是[-3,-1]∪[1,3].故选D.
2.B　由PA⊥PB,可知P在以AB为直径的圆上,如图,设AB的中点为D,则|DO|2+|DA|2=|OA|2=1,
易知圆D上的点到点O的距离的最大值为|DO|+|DA|,且|DO|+|DA|≤=,当且仅当|DO|=|DA|=时等号成立,则|OP|≤,所以原点到直线x-y+m=0的距离d=≤,故-2≤m≤2.故选B.
3.D　设P(x,y),由|PA|=2|PB|,可得(x+1)2+y2=4(x-2)2+4y2,化简得(x-3)2+y2=4,即点P的轨迹是圆心为(3,0),半径r=2的圆,记D(3,0),∵点P在圆C:(x-2)2+(y-m)2=(m>0)上,∴圆D和圆C有公共点,∴≤|DC|≤,即≤≤,则≤m2≤,又m>0,∴≤m≤.则实数m的取值范围是.故选D.
4.C　设P(x,y),则由|PA|2+|PB|2≤16,得(x+2)2+y2+(x-2)2+y2≤16,即x2+y2≤4,∴P为圆x2+y2=4上或其内部的点.当点Q也为圆x2+y2=4上或其内部的点时,∠PQO∈,符合题意;当点Q在圆x2+y2=4的外部时,过点Q作该圆的切线,设切点分别为M,N,则需∠MQO≥,∴sin∠MQO=≥,∴|OQ|≤4,过O作OH与直线kx-y+6=0垂直,垂足为H,则有|OQ|≥|OH|,故若满足条件的点Q存在,只需|OH|≤4,∴|OH|=≤4,解得k≤-或k≥,∴实数k的取值范围为∪.故选C.
5.C　如图,
易知圆M:(x-4)2+(y-m)2=16的半径为4,圆心为(4,m),圆心在直线x=4上,则A(-1,0)在圆M外,
设P(a,b),由题知a≠-1且a≠5,故直线PA的方程为y=(x+1)=x+,它在y轴上的截距为,直线PB的方程为y=(x-5)=x-,它在y轴上的截距为-,依题意有×=5,整理得(a-2)2+b2=9,∴P(a,b)在圆(x-2)2+y2=9(x≠-1,x≠5)上,此圆圆心为(2,0),半径为3.由题意可知圆(x-2)2+y2=9(x≠-1,x≠5)与圆M:(x-4)2+(y-m)2=16有且只有一个公共点,则两圆内切或外切,或圆(x-2)2+y2=9与圆M:(x-4)2+(y-m)2=16相交,且其中一个交点的横坐标为5.当两圆内切或外切时,=4-3=1①或=4+3=7②,①无解,解②得m=±3.当圆(x-2)2+y2=9与圆M:(x-4)2+(y-m)2=16相交,且其中一个交点的横坐标为5时,由(5-2)2+y2=9,得y=0,将(5,0)代入(x-4)2+(y-m)2=16,得(5-4)2+(0-m)2=16,解得m=±.综上所述,m的值为±3或±.故选C.
6.答案　10
解析　由题知圆C:(x-1)2+(y-1)2=4,故其圆心为C(1,1),半径r=2,所以C到l:4x+3y+8=0的距离d==3>r,故直线与圆相离,故圆C上的点到直线l:4x+3y+8=0的距离的取值范围为[1,5],若对于圆C上任意的点A,直线l:4x+3y+8=0上总存在不同两点M,N,使得∠MAN≥90°,则圆C上所有的点在以MN为直径的圆内(含边界上),该圆半径最小为5,所以|MN|≥10.
7.答案　[-2,+2]
解析　解法一:如图1,设BC的中点为M(x,y),连接AM,OM,OB,则|BC|=2|AM|,OM⊥BC,所以|OM|2+|MB|2=|OB|2,又|MB|=|AM|,所以|OM|2+|AM|2=|OB|2,故x2+y2+(x-2)2+(y-2)2=9,整理得(x-1)2+(y-1)2=,从而点M的轨迹是圆,其圆心为(1,1),记T(1,1),易知点A在圆T内,且|AT|=,故-≤|AM|≤+,因为|BC|=2|AM|,所以-2≤|BC|≤+2.故线段BC的长的取值范围为[-2,+2].
图1　　　图2
解法二:如图2,作矩形ABQC,设Q(x,y),由矩形的性质知,|OA|2+|OQ|2=|OB|2+|OC|2,所以8+x2+y2=9+9,即x2+y2=10,从而点Q的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,易知点A在此圆内,且|OA|=2,所以-2≤|AQ|≤+2,又|BC|=|AQ|,所以-2≤|BC|≤+2.故线段BC的长的取值范围为[-2,+2].
知识延伸　矩形性质
若P是矩形ABCD所在平面内任意一点,则|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2.
8.解析　(1)圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以其圆心为C(2,0),半径为2.
因为l∥AB,A(-1,0),B(1,2),所以直线l的斜率为=1,
设直线l的方程为x-y+m=0,
则圆心C到直线l的距离d=.
因为|DE|=|AB|==2,
且|CE|2=d2+,所以4=+2,
解得m=0或m=-4,
故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0.
(2)假设圆C上存在点P(x,y)满足条件,
则|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,
因为|2-2|<<2+2,
所以圆C:(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,
易知点P既在圆C:(x-2)2+y2=4上,又在圆x2+(y-1)2=4上,所以点P为两圆的交点,其个数为2.
(3)易知线段OA所在直线的方程为y=0,设Q(t,0)(-1≤t≤2),N(x',y'),
因为M为线段QN的中点,所以M,
又M,N都在半径为r的圆B上,
所以
即
易知①②两方程对应的两圆有公共点,故(2r-r)2≤(t-1)2+4≤(2r+r)2对于t∈[-1,2]恒成立,易知当t∈[-1,2]时,4≤(t-1)2+4≤8,所以r2≤4且9r2≥8,解得≤r≤2.
又易知Q在圆B外,所以(t-1)2+4>r2恒成立,所以r2<4,所以0综上所述,圆B的半径r的取值范围是.
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