资源简介

综合拔高练
高考真题练
考点　直线与圆的方程及应用
1.(2023全国乙文,11)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　　)
A.1+　　　　B.4　　
C.1+3　　　　D.7
2.(2023新课标Ⅰ,6)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　)
A.1　　　　B.
C.　　　　D.
3.(2022北京,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　)
A.　　B.-　　C.1　　D.-1
4.(2023新课标Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　.
5.(2022天津,12)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则m的值为　　　　.
6.(2022全国甲文,14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为　　　　　　　　　　.
7.(2022全国新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　.
8.(2022全国乙理,14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　.
9.(2022全国新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　.
高考模拟练
应用实践
1.(多选题)已知x,y满足x2+y2-6x+2y+1=0,则(　　)
A.x2+y2的最小值为-3
B.的最大值为
C.x+2y的最小值为1-3
D.+的最小值为5
2.(多选题)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=16,点P(-1,-1),则下列说法正确的有(　　)
A.圆C上有且只有两点到点P的距离为1
B.圆C上存在点Q,使得sin∠CPQ=
C.若B为圆C上一动点,则·的取值范围为[5,45]
D.过点P可作直线l与圆C交于两点M,N,使得=3
3.已知点P(0,2),圆O:x2+y2=16上两点M(x1,y1),N(x2,y2)满足=λ(λ∈R),则|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值为　　　　.
4.在平面直角坐标系Oxy中,已知点A,B在圆心为C的圆(x-m)2+(y-2)2=4上运动,且|AB|=2.若直线l:4x+3y=0上至少存在两个点Pi(i=1,2),使得=+成立,则实数m的取值范围为　　　　　　.
5.如图,在平面直角坐标系中,P为直线y=4上一动点,圆O:x2+y2=4与x轴的交点分别为M,N,圆O与y轴的交点分别为S,T.
(1)若△MTP为等腰三角形,求P点坐标;
(2)若直线PT,PS与圆O的另一交点分别为A,B.
①求证:直线AB过定点,并求出定点坐标;
②求四边形ASBT面积的最大值.
迁移创新
6.为解决城市拥堵的问题,某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流,如图,已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向即∠AOB=.现准备修建一条城市高架道路L,L在MO上设一出入口A,在ON上设一出入口B.假设高架道路L在AB部分为直线段,且要求市中心O到AB的距离为10 km.
(1)求两出入口A,B之间距离的最小值;
(2)公路MO段上与市中心O相距30 km处有一古建筑群C,为保护古建筑群,需设立一个以C为圆心,5 km为半径的圆形保护区.在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A,使高架道路L所在直线不经过保护区(不包括临界状态),求|OA|的取值范围.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
高考真题练
1.C 2.B 3.A
1.C　将x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,它表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆,令x-y=t,即x-y-t=0,由题可知直线x-y-t=0和圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,所以≤3,即|t-1|≤3,解得1-3≤t≤1+3.所以x-y的最大值为1+3.故选C.
2.B　设P(0,-2),圆x2+y2-4x-1=0即(x-2)2+y2=5,则圆心为(2,0),半径为,记M(2,0).设过点P(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条切线分别是PA、PB,A、B为切点,连接PM,AM,如图,则∠APB=2∠APM,易知|AM|=,|PM|=2,则sin∠APM==,|AP|==,所以cos∠APM==,所以sin α=sin∠APB=2sin∠APMcos∠APM=,故选B.
3.A　易知圆(x-a)2+y2=1的圆心坐标为(a,0),
∵直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,
∴直线2x+y-1=0过圆心(a,0),
∴2a+0-1=0,解得a=,故选A.
4.答案　2,-2,,-(填写四个中任意一个均对)
解析　依题意可得圆C的圆心为C(1,0),半径r=2,则圆心C(1,0)到直线x-my+1=0的距离d=,则|AB|=2=,
所以S△ABC=·d·|AB|==,解得m=2或-2或或-.(填写四个中任意一个均对)
5.答案　2
解析　圆心(1,1)到直线x-y+m=0的距离为,则+=3,解得m=2(负值舍去).
6.答案　(x-1)2+(y+1)2=5
解析　由点M在直线2x+y-1=0上,可设M(a,1-2a),
因为点(3,0)和点(0,1)均在☉M上,
所以=,
解得a=1,则☉M的圆心为M(1,-1),半径为=,
故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
7.答案　x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(写出一个即可)
解析　设圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为O1,
如图所示,
显然两圆外切,
由图可知l1:x=-1与两圆均外切.
易知直线OO1的方程为y=x,设直线OO1与l1的交点为P,∴P,
易知过点P的两圆的公切线l2的斜率存在,设为k,则切线l2的方程为y=k(x+1)-,即kx-y+k-=0.
易知点O(0,0)到切线l2的距离为1,∴=1,∴k=,∴切线l2的方程为7x-24y-25=0.
设两圆相切于点M,垂直于直线OO1的切线l3的方程为y=-x+n,即3x+4y-4n=0,
易知点O(0,0)到切线l3的距离为1,∴=1,∴|n|=,易知n>0,∴切线l3的方程为y=-x+,即3x+4y-5=0,∴与两圆都相切的切线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.
8.答案　(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或+=或+(y-1)2=(写出一个即可)
解析　若圆过(0,0),(4,0),(-1,1),根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上,设A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂线方程为x=2,AC的中垂线方程为y=x+1.联立解得圆心坐标为(2,3).此时圆的半径r==.所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5,+=,+(y-1)2=.
9.答案　
解析　由题易知kAB=,所以直线AB关于直线y=a对称的直线为y-a=-x,即(3-a)x-2y+2a=0,由题意可得圆心(-3,-2)到该直线的距离小于或等于半径,
所以≤1 6a2-11a+3≤0,解得≤a≤.
高考模拟练
1.BCD　x2+y2-6x+2y+1=0可化为(x-3)2+(y+1)2=9,它表示以(3,-1)为圆心,3为半径的圆,记C(3,-1).设点P(x,y),则x2+y2表示圆C上的点P到原点O的距离的平方,易知点P到原点的距离的最小值为-3,故x2+y2的最小值为19-6,故A错误;设=k,则kx-y+k=0,因为x,y满足x2+y2-6x+2y+1=0,所以直线kx-y+k=0与圆C有公共点,则≤3,解得≤k≤,即的最大值为,故B正确;设x+2y=t,即x+2y-t=0,因为x,y满足x2+y2-6x+2y+1=0,所以直线x+2y-t=0与圆C有公共点,所以≤3,解得1-3≤t≤1+3,故x+2y的最小值为1-3,故C正确;因为x,y满足x2+y2-6x+2y+1=0,即x,y满足(x-3)2+(y+1)2=9,所以+=3+,易知表示圆C上的点到点(0,3)的距离,其最小值为2,故+的最小值为5,故D正确.故选BCD.
2.BCD　对于A选项,以点P为圆心,1为半径的圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=1,圆C的圆心为C(2,3),半径为4,∵|PC|==5=1+4,∴圆P与圆C外切,故圆C上有且只有一点到点P的距离为1,故A错误;
对于B选项,过点P作圆C的切线,切点为E,连接CE,如图,则CE⊥PE,
∴sin∠CPE==,故当直线PQ与圆C相切时,sin∠CPQ=,故B正确;
对于C选项,设点B(x,y),则=(3,4),=(x+1,y+1),∴·=3(x+1)+4(y+1)=3x+4y+7,令t=3x+4y+7,即3x+4y+7-t=0,则直线3x+4y+7-t=0与圆C有公共点,∴=≤4,解得5≤t≤45,故C正确;
对于D选项,设||=a(a>0),若=3,则||=3a,过点P作圆C的切线,则切线长为==3,由切割线定理可得||·||=3a2=32,解得a=(负值舍去),∴|MN|=|PM|-|PN|=2a=2,则0<|MN|<2×4=8(关键点:弦MN的长度小于直径,从而存在这样的割线),∴过点P可作直线l与圆C交于两点M,N,使得=3,故D正确.故选BCD.
知识链接　切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
3.答案　48
解析　∵=λ(λ∈R),∴P,M,N三点共线,又∵圆O:x2+y2=16过两点M(x1,y1),N(x2,y2),∴M,N是过点P(0,2)的直线与圆x2+y2=16的两交点,
设MN的中点为(x0,y0),则2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,
易知+的几何含义为M,N两点到直线3x+4y+25=0的距离之和,
则+=2·,
又∵M,N是圆x2+y2=16上的点,
∴+=16,+=16,
两式作差并整理,可得=-,
又由两点之间的斜率公式可得=,
∴-=,整理可得+=1,则MN的中点的轨迹是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,
则点(x0,y0)到直线3x+4y+25=0的距离的最小值为-1=,
∴(|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|)min=5×+min=5×2×=
48.
4.答案　(-4,1)
解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M,则M,
由已知可得,圆C的圆心为C(m,2),半径r=2.
连接CM,则CM⊥AB,且|AM|=|AB|=,所以|CM|==1,
依题意,不妨设P1(3t,-4t),
则=(x1-3t,y1+4t),=(x2-3t,y2+4t),
所以=+=(x1+x2-6t,y1+y2+8t)=(m,2),
所以所以=3t+,=-4t+1,
即M,所以=,
所以+(-4t-1)2=1,即100t2+(32-12m)t+m2=0,
因为至少存在两个满足题意的点Pi(i=1,2),所以Δ=(32-12m)2-400m2>0,整理可得m2+3m-4<0,解得-45.解析　(1)设P(t,4),由题意得M(-2,0),T(0,2),|MT|=2.
当|PT|=|MT|时,=2,解得t=±2,
当t=2时,P,M,T三点共线,舍去,所以P(-2,4);
当|PM|=|PT|时,=,
解得t=-4,所以P(-4,4).
综上可得,P(-2,4)或P(-4,4).
①设P(t',4)(t'≠0),由题得T(0,2),S(0,-2),则kPT=,kPS=,则kPS=3kPT,∵A为圆O上一点,ST为圆的直径,∴AS⊥AT,
∴kAS·kAT=-1,∴kAS·kBS=-3.
易知直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,b>0,
与x2+y2=4联立,消去y可得(1+k2)x2+2kbx+b2-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
故y1+y2=,y1·y2=,kAS·kBS====-3,解得b=1或b=-2(舍去),
则直线AB:y=kx+1,∴直线AB恒过定点(0,1);
当t'=0时,直线AB:x=0,也过定点(0,1),符合.
综上,直线AB恒过定点(0,1).
②由①得x1+x2=,x1x2=,
则S四边形ASBT=×4×|x1-x2|=2
=2=4,
令1+k2=m,则m≥1,==-+≤3,当且仅当m=1时取等号,此时k=0,
∴当直线AB的方程为y=1时,四边形ASBT的面积取得最大值,为4.
6.解析　(1)如图所示:
过点O作OE⊥AB于点E,则|OE|=10,设∠AOE=α,
则<α<,∠BOE=-α,
所以|AB|=|AE|+|BE|=10tan α+10tan-α=,
而cos α·cos=cos α·-cos α+sin α==sin2α--,因为<α<,所以<2α-<,
所以当2α-=,即α=时,sin=1,故|AB|min=20(+1),即两出入口A,B之间距离的最小值为20(+1)km.
(2)以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则圆C的方程为(x+30)2+y2=25,
设直线AB的方程为y=kx+t(k>0,t>0),
则|OA|=-=,
由题意得=10,且>5,所以=,代入>5,化简得t2-80kt+1 200k2>0,解得t<20k或t>60k(舍去),
因为∠BAO<,所以0当AB∥ON时,k=1,又=,所以此时t=10,故|OA|趋近于10.
综上可得,10<|OA|<20.
7

展开更多......

收起↑