资源简介

本章复习提升
易混易错练
易错点1　对圆锥曲线的定义理解不清而致错
1.已知点P到曲线C上的点的距离的最小值称为点P到曲线C的距离,那么平面内到定圆C的距离与到定点A(不在圆C上)的距离相等的点的轨迹不可能是(　　)
A.圆　　　　B.椭圆　　
C.双曲线的一支　　　　D.直线
2.给出下列命题:
①到定点(2,3)与到定直线2x-y-1=0的距离相等的点的轨迹是抛物线;
②设A,B为两个定点,k为常数且k>0,若|PA|-|PB|=k,则动点P的轨迹是双曲线;
③对任意实数α,直线xsin α+ycos α=1总与某一个定圆相切;
④在平面内,到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.
其中真命题的序号是　　　　.
易错点2　忽略题目中的隐含条件而致错
3.已知F1,F2分别为椭圆E:+y2=1的左、右焦点,P是椭圆E上一动点,G是三角形PF1F2的重心,则点G的轨迹方程为(　　)
A.x2+9y2=1　　　　B.x2+9y2=1(y≠0)
C.+=1　　　　D.+=1(y≠0)
4.若抛物线y2=2px的准线与圆x2+y2+2x-3=0相切,则抛物线的方程为(　　)
A.y2=-12x或y2=4x
B.y2=12x或y2=-4x
C.y2=-6x或y2=2x
D.y2=6x或y2=-2x
5.已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别是F1,F2,且P是双曲线C上一点,若|PF1|=15,则|PF2|=(　　)
A.3　　B.9　　C.21　　D.27
6.已知双曲线C的两个焦点分别为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过F1作D的切线,与C交于M,N两点,且cos∠F1NF2=,则C的离心率为　　　　.
易错点3　忽略直线斜率不存在的情况而致错
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M(0,2)是椭圆C的一个顶点,△F1MF2是等腰直角三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点M作直线MA,MB,分别交椭圆于另一点A,B,设两直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明:直线AB过定点.
思想方法练
一、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
1.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线交于M,N两点.
(1)若l过点F,且|MN|=3p,求l的斜率;
(2)若P,且l的斜率为-1,当P l时,求l在y轴上的截距的取值范围(用p表示),并证明∠MPN的平分线始终与y轴平行或垂直.
二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
2.已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于点P,Q及点M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.
三、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
3.已知双曲线C:-=1(a>0),过其右焦点F的直线l与双曲线C交于A,B两点,已知|AB|=16,若这样的直线l有4条,则实数a的取值范围是　　　　　　.
4.已知椭圆C:+=1(0(1)求C的方程;
(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.D 3.B 4.B 5.D
1.D　设动点为Q,定圆C的半径为R,
①如图,当点A在定圆C内且不与圆心C重合时,连接CQ并延长,交圆于点B,由题意知|QB|=|QA|,
又|QB|+|QC|=R,所以|QA|+|QC|=R,又R>|CA|,故Q的轨迹为椭圆;
②如果点A在圆C外,由题得|QC|-R=|QA|,即|QC|-|QA|=R<|CA|,为一定值,故Q的轨迹为双曲线的一支;
③当点A与圆心C重合时,设B'为圆C上与Q距离最小的点,要使|QB|=|QA|,则Q必然在与圆C同圆心的圆上,即Q的轨迹为圆.
故选D.
2.答案　③
解析　对于①,定点(2,3)恰好在定直线2x-y-1=0上,故到定点(2,3)与到定直线2x-y-1=0的距离相等的点的轨迹为过点(2,3)且与直线2x-y-1=0垂直的直线,故①是假命题;
对于②,当||PA|-|PB||=k且k<|AB|时动点P的轨迹才是双曲线,故②是假命题;
对于③,易知圆x2+y2=1的圆心(0,0)到直线xsin α+ycos α=1的距离为=1,故直线xsin α+ycos α=1总与定圆x2+y2=1相切,故③是真命题;
对于④,当该常数大于两定点之间的距离时,动点的轨迹才是椭圆,故④是假命题.
故答案为③.
3.B　∵F1,F2分别为椭圆E:+y2=1的左、右焦点,∴F1(-2,0),F2(2,0).设G(x,y),P(m,n),
则∴
∵点P为椭圆E上的动点,∴+n2=1,∴x2+9y2=1.又P与F1,F2不共线,(P与F1,F2共线时,△PF1F2不存在)∴n≠0,∴y≠0.
∴△PF1F2的重心G的轨迹方程为x2+9y2=1(y≠0).故选B.
4.B　圆x2+y2+2x-3=0可化为(x+1)2+y2=4,抛物线y2=2px的准线方程为x=-,
∵抛物线y2=2px的准线与圆x2+y2+2x-3=0相切,∴=2,解得p=6或p=-2.
故抛物线的方程为y2=12x或y2=-4x.故选B.
5.D　由双曲线C:-=1,可得a=6,b=8,则c==10,∴||PF1|-|PF2||=2a=12,若|PF1|=15,则|PF2|=3或|PF2|=27,又|PF2|=36.答案　或
解析　依题意,不妨设双曲线的焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,过F1的圆D的切线与圆D切于点G.
若M,N在左、右两支上,因为OG⊥NF1,且cos∠F1NF2=>0,所以N在双曲线的右支上,如图1,又|OG|=a,|OF1|=c,所以|GF1|=b,设∠F1NF2=α,∠F2F1N=β,
在△F1NF2中,有==,
故=,即=,所以=,①
而cos α=,sin β=,cos β=,故sin α=,代入①式并整理,得到2b=3a,即=,
所以双曲线的离心率e===.
　
若M,N均在左支上,如图2,设∠F1NF2=α,∠F2F1N=β,β为钝角,
同理可得==,
故=,
即=,②
又cos α=,sin β=,故sin α=,cos β=-,代入②式并整理,得到=,故a=2b,故e==.
故双曲线C的离心率为或.
7.解析　(1)由题意可得b=2,因为△F1MF2是等腰直角三角形,所以b=c=2,所以a2=b2+c2=4+4=8,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)证明:当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+t,t≠2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,整理可得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-8=0,
则Δ=8(8k2-t2+4)>0,x1+x2=-,x1x2=,
由题意知k1+k2=+==2k+(t-2)·=2k-=8,整理可得k=2t+4,
即直线AB的方程为y=(2t+4)x+t=t(2x+1)+4x,
所以2x+1=0且y=4x,得x=-,y=-2,即直线AB恒过定点.
当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=n,n∈(-2,2),
将x=n代入椭圆的方程,可得y2=4,即y=±2,
不妨设A,B,
则k1+k2=+=+=-=8,可得n=-,即直线AB的方程为x=-,也过定点.
综上所述,直线AB恒过定点.
思想方法练
1.解析　(1)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=,与抛物线方程联立,消去x可得y2=p2,即y=±p,所以|MN|=2p,与题意不符,故直线l的斜率存在,设其为k,易知k≠0,则直线l的方程为y=k(k≠0).
由消去y,得k2x2-(k2p+2p)x+=0,
设M(xM,yM),N(xN,yN),则xM+xN=,
所以|MN|=|MF|+|NF|=xM++xN+=xM+xN+p=+p=3p,
利用抛物线的定义进行距离的转化,从而得到与k有关的式子并求解.
解得k=±,所以直线l的斜率为±.
(2)设直线l的方程为y=-x+m,M(x1,y1),N(x2,y2).
由消去y,得x2-(2m+2p)x+m2=0,
则x1+x2=2m+2p,x1x2=m2.
由Δ=(2m+2p)2-4m2>0,得m>-.又P l,故-+m≠p,所以m≠,从而l在y轴上的截距m的取值范围为∪.
通过∠MPN与直线PM,PN的倾斜角的关系,将问题转化为两直线斜率之间的关系问题.
kPM+kPN=+
=
=
=
==0,
所以直线PM,PN的斜率互为相反数,倾斜角互补,从而∠MPN的平分线始终与y轴平行或垂直.
思想方法　转化与化归思想在解析几何中的运用常常体现在以下方面:利用圆锥曲线的定义及几何性质对相关的量进行转化与化归,将一般点或一般图形转化为特殊点或特殊图形,将图形问题转化为代数形式或者代数运算,将代数形式或者代数运算翻译为几何图形语言等.
2.解析　(1)由题意得椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆方程为+=1(a>b>0).
由消去y,得(a2+b2)x2-2a2x+3a2-a2b2=0.
因为直线y=x-与椭圆相切,
所以Δ=(-2a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,
得a2+b2=3.
又两焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),
所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,
利用方程知识得到a,b的关系式,再解方程组得到a2,b2,进而得到椭圆的方程.
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN===2.
若直线PQ的斜率存在且不为0,设斜率为k(k≠0),则直线MN的斜率为-,直线PQ的方程为y=kx+k.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
所以|PQ|=|x1-x2|
==2×,
同理可得,|MN|=2×.
联立方程,消元得到一个一元二次方程,根据根与系数的关系及弦长公式计算相关长度.
所以S四边形PMQN==4×
=4×=4×
=4×.
根据四边形的面积公式,建立关于k的关系式,将四边形PMQN的面积看成关于k的函数,求解函数的最值即可.
因为4k2++10≥2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),
所以∈,
所以4× ∈.
综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为,最大值为2.
思想方法　在解析几何中,建立坐标系,利用代数方法构造方程或函数,通过方程或函数的知识解决问题是一种最基本的方法.在与圆锥曲线有关的问题中,常将求圆锥曲线中面积(或长度)的最值或者范围问题转化为求二次函数、三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求范围或者最值.
3.答案　
解析　设双曲线的半焦距为c,则c=,
若直线l与x轴重合,则|AB|=2a.
若直线l⊥x轴,将x=c代入双曲线方程可得y=±,此时|AB|=.
当2a=16时,a=8,此时=3;当=16时,a=,则2a=3,
所以双曲线C的实轴长和通径长不可能同时为16,故不可能有4条这样的直线l.
当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=my+c(m≠0),点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x,可得(12m2-a2)y2+24mcy+144=0,
由题意可得12m2-a2≠0,可得m2≠,
则Δ=242m2c2-4×144(12m2-a2)=242(m2c2-12m2+a2)=242a2(m2+1)>0,
且y1+y2=-,y1y2=,
所以|AB|=·=·==16,
即3a(m2+1)=2|12m2-a2|,
所以关于m的方程3a(m2+1)=2|12m2-a2|有四个不等的实数解.
依据代数式12m2-a2符号的不同,进行分类讨论.
当12m2-a2>0,即m2>时,可得3a(m2+1)=2(12m2-a2),可得m2=>,整理可得<0,因为a>0,所以0当12m2-a2<0,即m2<时,可得3a(m2+1)=2(a2-12m2),可得m2=<,故解得a>.
综上所述,实数a的取值范围为4.解析　(1)由题可知a=5,b=m,
又离心率e====,
∴m=,∴C的方程为+=1,即+=1.
(2)不妨设P,Q均在x轴上方,过点P作x轴的垂线,垂足为M,设直线x=6与x轴的交点为N.
根据题意画出图形,如图1.
图1
∵|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,∠PMB=∠QNB=90°,
且∠PBM+∠QBN=90°,∠BQN+∠QBN=90°,
∴∠PBM=∠BQN,∴△PMB≌△BNQ.
易得B(5,0),N(6,0),∴|PM|=|BN|=6-5=1,
设P(xP,yP),则yP=1,则P(xP,1),将(xP,1)代入+=1,可得+=1,解得xP=3或xP=-3,∴P点坐标为(3,1)或(-3,1).
根据P点位置的不同进行分类讨论,分别作图并求解.
①当P点坐标为(3,1)时,如图2,此时|MB|=5-3=2,
∵△PMB≌△BNQ,∴|NQ|=|MB|=2,∴Q点坐标为(6,2),
∵A(-5,0),Q(6,2),∴直线AQ的方程为y=(x+5),即2x-11y+10=0,
根据点到直线的距离公式可得P到直线AQ的距离d===,
根据两点间的距离公式可得|AQ|==5,∴△APQ的面积为×5×=;
图2
图3
②当P点坐标为(-3,1)时,如图3,此时|MB|=5+3=8,∵△PMB≌△BNQ,∴|NQ|=|MB|=8,∴Q点坐标为(6,8),
∵A(-5,0),Q(6,8),∴直线AQ的方程为y=(x+5),即8x-11y+40=0,
根据点到直线的距离公式可得P到直线AQ的距离d'==,
根据两点间的距离公式可得|AQ|==,
∴△APQ的面积为××=.
综上所述,△APQ的面积为.
思想方法　在解析几何中,分类讨论思想主要应用在以下几个方面:一是由于数学概念、法则、公式、定理、性质有使用的范围或者有一定的限制条件,所以在涉及这些方面时要注意分类讨论,如双曲线的定义中的绝对值会涉及点在双曲线左支上或在右支上的讨论,圆锥曲线焦点位置的不同也需讨论;二是当几何位置发生变化时需分类讨论,如本题中P点位置的不同;三是参数的限制引起的分类讨论,如设直线方程时需要对斜率的存在与否进行讨论等.
7

展开更多......

收起↑