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专题强化练8　圆锥曲线中的斜率问题
1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的上顶点为P,过P的两条直线l1,l2分别与C交于异于点P的A,B两点,若直线l1,l2的斜率之和为-1,试判断直线AB是否过定点,若过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.
2.在平面直角坐标系Oxy中,已知抛物线C:y2=2x,A1,A2为C上两点,且A1,A2分别在第一、四象限内.直线A1A2与x轴正半轴交于A3,与y轴负半轴交于A4.
(1)若∠A1OA2>90°,求A3横坐标的取值范围;
(2)记△A1OA2的重心为G,直线A1A2,A3G的斜率分别为k1,k2,且k2=2k1.若|A1A2|=λ|A3A4|,证明:λ为定值.
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点.
(1)求C的方程;
(2)已知A,B分别是C的左、右顶点,过右焦点F且斜率不为0的直线交C于点M,N,直线AM与直线x=4交于点P,记直线PA,PF,BN的斜率分别为k1,k2,k3,问是不是定值 如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.
4.已知椭圆C:+=1,过点P(4,0)且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A,B两点.
(1)若线段AB中点的横坐标为,求直线l的方程;
(2)设直线AB与直线x=1交于点Q,点M满足MP⊥x轴,MB∥x轴,试求直线MA的斜率与直线MQ的斜率的比值.
5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,且过点P(2,1).
(1)求C的方程;
(2)设A,B为C上异于点P的两点,记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若(2k1-1)(2k2-1)=1,试判断直线AB是否过定点,若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
6.在平面直角坐标系Oxy中,点P在椭圆C:+=1(a>b>0)上,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,记椭圆的左、右顶点分别为A1,A2,过点B(m,0)(m<-2或m>2)作一条直线交椭圆C于E,F(均不与A1,A2重合)两点,直线A1E,A2F交于点G,连接BG,记直线A1E,A2F,GB的斜率分别为k1,k2,k3.
①对于给定的m,求的值;
②判断是否存在一个定值k使得k1+k2=kk3恒成立,若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
专题强化练8　圆锥曲线中的斜率问题
1.解析　(1)因为椭圆C的离心率为,所以=,①
因为点(,)在椭圆C上,所以+=1,②
又c2=a2-b2,③
故联立①②③,解得a2=6,b2=4,c2=2,
则椭圆C的方程为+=1.
(2)易知直线AB的斜率存在,P(0,2),
不妨设直线AB的方程为y=kx+m(m≠±2),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y并整理,得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-12=0,
所以x1+x2=-,x1x2=,
所以kPA+kPB=+=+
=2k+=2k+(m-2)·=2k+==-1,所以m=-4k-2,
此时直线AB的方程为y=k(x-4)-2,
故直线AB恒过定点(4,-2).
2.解析　(1)设A1,A2,A3(x3,0),
∵∠A1OA2>90°,∴·<0,即·+y1y2<0,∴-4易得直线A1A2的方程为y-y1=·,
整理可得,y=x+,
令y=0,则x=-,即x3=-,
又-4即A3横坐标的取值范围为(0,2).
(2)证明:结合(1)可知△A1OA2的重心为G,A3,
∴k2==,又k1=,且k2=2k1,∴=,整理得+=-4y1y2,
∵|A1A2|=λ|A3A4|,A3,A4,
∴λ2==
==
=
==12,
故λ=2,所以λ为定值.
3.解析　(1)由离心率e===,可得3a2=4b2,
故不妨设椭圆的方程为+=1(t≠0),将代入椭圆的方程可得+=1,可得t2=1,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由(1)及题可得A(-2,0),B(2,0),右焦点F(1,0),
由题意可设直线MN的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去x,整理可得(4+3m2)y2+6my-9=0,
显然Δ>0,y1+y2=-,y1y2=,
可得+=m,可得=m-,
易得直线AM的方程为y=(x+2),令x=4,可得y=,即P,
可得k1=,k2==,k3=,
所以k1+k2=,
所以======1,可得为定值1.
4.解析　(1)易知直线AB的斜率存在且不为0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠x2,+=1,+=1,所以+=0,
设线段AB的中点为E,E的纵坐标为y0,由已知可得点E的坐标为,所以x1+x2=,y1+y2=2y0,所以+=0,
因为直线AB过点P(4,0),E,所以=,所以+×=0,所以y0=±,
当y0=时,==-,即直线AB的斜率为-,所以直线AB的方程为y=-(x-4),
因为直线AB:y=-(x-4)与y轴的交点坐标为(0,),点(0,)在椭圆+=1内,故直线AB与椭圆相交,满足条件;
当y0=-时,==,即直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=(x-4),因为直线AB:y=(x-4)与y轴的交点坐标为(0,-),点(0,-)在椭圆+=1内,故直线AB与椭圆相交,满足条件,所以直线l的方程为y=(x-4)或y=-(x-4).
(2)设直线AB的方程为x=ty+4(t≠0),
联立消去x,化简可得3(ty+4)2+4y2=12,即(3t2+4)y2+24ty+36=0,则Δ=(24t)2-144(3t2+4)=144(t2-4)>0,所以t>2或t<-2,
则yA+yB=-,yAyB=,
联立可得所以点Q的坐标为,
因为MP⊥x轴,MB∥x轴,所以点M的坐标为(4,yB),
所以直线MA的斜率k1==-,
直线MQ的斜率k2==,
所以=-×=-,
又tyAyB==-=-(yA+yB),
所以=-=-=2.
5.解析　(1)由题意知解得所以C的方程为-y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
因为P(2,1),所以k1=,k2=.
因为(2k1-1)(2k2-1)=1,所以k1+k2=2k1k2,所以+=2··,
即+=2··,
所以(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=2(y1-1)(y2-1),所以y1x2+y2x1-x2-x1+2=2y1y2,
当直线AB的斜率为0时,x2=-x1,y2=y1,代入上式得=1,
解得y1=1或y1=-1,不符合题意,所以直线AB的斜率不为0.
设直线AB的方程为x=my+n,
由消去x得(m2-2)y2+2mny+n2-2=0,
则Δ=4m2n2-4(m2-2)(n2-2)=8(m2+n2-2)>0,即m2+n2>2,所以y1+y2=,y1y2=.因为y1x2+y2x1-x2-x1+2=2y1y2,所以y1(my2+n)+y2(my1+n)-(my2+n)-(my1+n)+2=2y1y2,
整理得(2m-2)y1y2+(n-m)(y1+y2)-2n+2=0,所以++=0,
所以(2m-2)(n2-2)-2mn(n-m)+(-2n+2)(m2-2)=0,整理得m2-n2-2m+2n=0,即(m-n)(m+n-2)=0,则m=n或m=2-n.
当m=n时,直线AB的方程为x=ny+n=n(y+1),
此时直线AB过定点(0,-1);
当m=2-n时,直线AB的方程为x=(2-n)y+n=n(1-y)+2y,此时直线AB过定点(2,1),即过P(2,1),因为A,B为C上异于点P(2,1)的两个动点,所以不符合题意.故直线AB过的定点为(0,-1).
6.解析　(1)根据题意可得+=1,离心率e===,所以a=2,b=1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)①由(1)及题知A1(-2,0),A2(2,0),
因为直线A1E,A2F的斜率分别为k1,k2,所以直线A1E和A2F的方程分别为y=k1(x+2)和y=k2(x-2),
设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
联立消去y得(1+4)x2+16x+16-4=0,则+x1=,即-2+x1=,解得x1=,
则y1=k1(x1+2)=,所以E.
同理可得,点F的坐标为.
因为B,E,F三点共线,所以kBE=kBF,即=,整理得[(m+2)k1+(m-2)k2](1+4k1k2)=0,所以(m+2)k1+(m-2)k2=0或1+4k1k2=0,
即=-或k1k2=-.
当k1k2=-时,点G与椭圆的上顶点或下顶点重合,即E,F分别与A1,A2重合,与题干矛盾,故舍去.
综上,对于给定的m,=-=.
②由①知直线A1E和A2F的方程分别为y=k1(x+2)和y=k2(x-2),
联立可解得点G的坐标为,
因为点B(m,0),所以k3=,化简得4k1k2=[(m+2)k1-(m-2)k2]k3(*),
由①的结论可知=,所以m=,将其代入(*)式,化简并整理,可得k1+k2=2k3,故存在定值k使得k1+k2=kk3恒成立,且k=2.
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