资源简介

专题强化练10　圆锥曲线中的最值与范围问题
1.已知双曲线-=1(b>a>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且·=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点M(3,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点),当|AB|<时,求实数t的取值范围.
3.在平面直角坐标系Oxy中,已知等轴双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A,过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B,C两点,且△ABC的面积为+1.
(1)求双曲线E的方程;
(2)若直线l:y=kx-1与双曲线E的左、右两支分别交于点M,N,与双曲线E的两条渐近线分别交于点P,Q,求的取值范围.
4.已知椭圆C:+=1,点N(0,1),斜率不为0的直线l与椭圆C交于A,B两点,与圆N相切于点M,且M为AB的中点.
(1)求圆N的半径r的取值范围;
(2)求|AB|的取值范围.
5.已知抛物线Γ:y2=2x,A,B,M,N为抛物线Γ上四点,点T在y轴左侧,满足=2,=2.设线段AB的中点为D.
(1)求抛物线Γ的准线方程和焦点坐标;
(2)证明:直线TD与y轴垂直;
(3)设圆C:(x+2)2+y2=3,若点T为圆C上的动点,△TAB的面积为S,求S的最大值.
6.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且F2为抛物线C2:y2=8x的焦点,P(2,)为椭圆C1上一点.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)已知A,B为椭圆C1上不同的两点,且都在x轴上方,满足=λ.
(i)若λ=3,求直线F1A的斜率;
(ii)若直线F1A与抛物线y2=x无交点,求四边形AF1F2B的面积的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练10　圆锥曲线中的最值与范围问题
1.解析　(1)由e=2,可得c=2a,∴b2=c2-a2=3a2,
∴双曲线方程为-=1,∵点M(,)在双曲线上,∴-=1,解得a2=4,
∴双曲线的方程为-=1.
(2)①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,
由消去y并整理,得(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0(*),
∵直线l与双曲线交于P,Q两点,
∴Δ=(-2km)2-4(3-k2)(-m2-12)=12(m2-4k2+12)>0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,
由·=0得x1x2+y1y2=0,即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,
∴(1+k2)·-km·+m2=0,化简得m2=6k2+6.
∴|OP|2+|OQ|2=|PQ|2=(1+k2)[-4x1x2]=24+≥24,
当且仅当k=0时上式取等号,且此时方程(*)有解.
②当直线l的斜率不存在时,不妨设直线l的方程为x=t,P(t,y),Q(t,-y),y>0,
由·=0可得y2=t2,又P(t,y)在双曲线上,故3t2-y2=12,故3t2-t2=12,解得t2=6,∴|PQ|2=4y2=4t2=24,∴|OP|2+|OQ|2=|PQ|2=24.
综上可得,|OP|2+|OQ|2的最小值是24.
2.解析　(1)由已知得e==,所以=,所以a2=4b2,c2=3b2,所以椭圆方程为+=1,
又过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为=1,所以b2=1,a2=4,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题知直线AB的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),直线AB:y=k(x-3),联立消去y并整理,
得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,
则Δ=242k4-16(9k2-1)(1+4k2)>0,解得k2<,
由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,
则+=(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),
故x=(x1+x2)=,
y=(y1+y2)=[k(x1+x2)-6k]=,
由点P在椭圆上,得+=4,
整理得36k2=t2(1+4k2),
又|AB|=|x1-x2|<,所以(1+k2)·<3,即(1+k2)[-4x1x2]<3,
即(1+k2)<3,
即(8k2-1)(16k2+13)>0,所以8k2-1>0,即k2>,
所以3.解析　(1)因为双曲线E:-=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,所以a=b,设双曲线的焦距为2c,c>0,
故c2=a2+b2=2a2,即c=a,
因为直线BC过右焦点F,且垂直于x轴,所以xB=c,
将xB=c=a代入双曲线的方程可得|yB|=a,
故|BC|=2a,
又△ABC的面积为1+,故|BC|·|AF|=×2a×(a+c)=1+,解得a=1(舍负),
故双曲线E的方程为x2-y2=1.
(2)联立可得(1-k2)x2+2kx-2=0,
因为直线l:y=kx-1与双曲线的左、右两支分别交于M,N两点,
所以1-k2≠0,Δ=(2k)2-4(1-k2)(-2)>0,解得-所以|MN|==|xM-xN|=·
=·=,
易得双曲线E的渐近线方程为y=±x.
不妨设点P在渐近线y=x上,联立解得x=,即xP=,同理可得xQ=,
所以|PQ|=|xP-xQ|=·=,
所以==,其中-14.解析　(1)如图所示,
由题意知,直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0,
则Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,
且x1+x2=,x1x2=,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=+2m=,
又因为M为AB的中点,所以M,
又因为圆N与直线l相切于点M,所以NM⊥l,且r=|MN|,所以kNM·kl=-1,
所以kNM==-,整理得2k2+1=-m,
所以M(2k,-1),所以r=|MN|==2,
由Δ=8(8k2-m2+4)=8[8k2-+4]=8(2k2+1)(3-2k2)>0,可得0所以1(2)由(1)知,2k2+1=-m,所以|AB|=×=×=,
令t=2k2+1,则k2=(1所以|AB|==2,
显然y=-t++3在(1,4)上单调递减,
所以0<-t++3<6,所以0<2<2,即0<|AB|<2,故|AB|的取值范围为(0,2).
5.解析　(1)因为Γ:y2=2x,所以2p=2,即=,所以准线方程是x=-,焦点坐标是.
(2)证明:设T(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),由=2可知,M为TA的中点,故M,又点M,A在抛物线上,故=2·=x0+x1,=2x1,∴=x0+,
整理可得-2y0y1+4x0-=0,
同理可得-2y0y2+4x0-=0,故y1,y2为方程y2-2y0y+4x0-=0的两个实数根,∴y1+y2=2y0,y1y2=4x0-,∴D点的纵坐标为=y0,
所以直线TD的斜率为0,即直线TD与y轴垂直.
(3)由(2)可知===,∴D,
∴S=|TD|·|y1-y2|=·=|-2x0|×2
=,
∵T在圆C上,∴=3-,-2-≤x0≤-2+,
∴S==,
则当x0=-3时,=-9+18-1=8,
∴Smax=×=×8×2=48.
名师点睛
求圆锥曲线中最值问题的常用策略
(1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征时,考虑用几何图形的性质来解决.
(2)代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显时,可以建立目标函数,再求该函数的最值.求函数最值的常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等.
6.解析　(1)设椭圆C1的半焦距为c,依题意得c=2,则F1(-2,0),F2(2,0),而P(2,)为椭圆C1上一点,
于是2a=|PF1|+|PF2|=+=4,
从而a=2.又a2=b2+c2,所以b=2,
所以椭圆C1的方程为+=1.
(2)设直线F1A交椭圆于另一点B',直线F2B交椭圆于另一点A',如图,
由=λ,可知F1A∥F2B,由椭圆的对称性,可知|BF2|=|B'F1|,|AF1|=|A'F2|,且四边形ABA'B'为平行四边形.由题意知直线AB'的斜率不为0,设直线AB':x=ty-2,A(x1,y1),B'(x2,y2).
(i)由消去x并整理,得(t2+2)y2-4ty-4=0,则y1+y2=,y1y2=-,
由=3,得=-3,故y1=-3y2,故y1=,y2=,故-=-,
由于λ=3,||>||=||,所以t>0,
所以t=1,故直线F1A的斜率为1.
(ii)由消去x并整理,得y2-ty+2=0,由题知Δ=(-t)2-8<0,即t2<8.
所以|AB'|=|y1-y2|=·=,
直线AB'与BA'间的距离d=(即点F2到直线AB'的距离),
故=S四边形AB'A'B=··=,
令=s,则s∈[1,3),易知函数y=s+在区间[1,3)上单调递增,
所以y=s+∈,
则===∈,所以四边形AF1F2B的面积的取值范围为.
7

展开更多......

收起↑