资源简介

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第二章　直线和圆的方程
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线y=kx+b经过第一、三、四象限,则有(　　)
A.k>0,b>0　　　　B.k>0,b<0
C.k<0,b>0　　　　D.k<0,b<0
2.已知圆x2+y2+2x+2y+k=0和定点P(1,-1),若此圆过点P的切线有两条,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-2,+∞)　　　　B.(-∞,2)
C.(-2,2)　　　　D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
3.过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是(　　)
A.x-y+1=0　　　　B.x-y+1=0或4x-3y=0
C.x+y-7=0　　　　D.x+y-7=0或4x-3y=0
4.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:2x+ay+2=0与直线l2:(a+1)x+y+a=0平行”的　(　　)
A.必要不充分条件　　　　B.充分不必要条件
C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
5.“圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广泛的运用,最具代表性的便是园林中的门洞.如图,某园林中的圆弧形门洞高2.5 m,地面入口宽1 m,则该门洞的半径为(　　)
A.1.2 m　　B.1.3 m　　C.1.4 m　　D.1.5 m
6.已知两条动直线x+my=0和mx-y-4m+4=0交于点P,圆C:(x+2)2+(y+2)2=3上两点E,F间的距离为2.若点Q是线段EF的中点,则|PQ|的最小值为(　　)
A.2-　　B.2-1　　C.4-　　D.4
7.过圆O1:x2+y2=64上的动点作圆O2:x2+y2=16的两条切线,两个切点之间的线段称为切点弦,则圆O2内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为(　　)
A.4π　　　　B.6π　　
C.8π　　　　D.12π
8.已知点P为圆O:x2+y2=1上的一个动点,O为坐标原点,过P点作圆O的切线,与圆O1:x2+y2-2x-8y=19相交于A,B两点,则的最大值为(　　)
A.3+2　　B.5　　C.3+　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法错误的是(　　)
A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件
B.直线xsin α+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是∪
C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程均可写成=
D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程为x+y-2=0
10.已知平面上一点M(5,0),若某条直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是(　　)
A.y=x+1　　　　B.y=2
C.y=x　　　　D.y=2x+1
11.如图,经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD均与圆x2+y2-4x+2y-20=0相交,交点分别为A,C和B,D,弦AB的中点为M,则下列说法正确的是(　　)
A.线段BO的长度的最大值为10-2
B.弦AC的长度的最小值为4
C.点M的轨迹是一个圆
D.连接四边形ABCD各边的中点,所得四边形的面积的最大值为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0),B(-4,0)两点,则圆C的方程为　　　　　　　.
13.已知直线l:y=kx+3与圆C:x2+y2-2y=0无公共点,AB为圆C的直径,若在直线l上存在点P使得·=1,则直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　.
14.已知P为圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1上一动点,直线PA,PB分别与圆C2:(x+2)2+y2=4相切于点A,B,且直线PA,PB分别与y轴交于点C,D,则△PCD的周长能取得的整数值为　　　　.(写出1个即可)
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知正方形ABCD的中心为点E(0,2),点A在第三象限内,AB边所在直线的方程是x-2y-1=0.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求对角线AC所在直线的方程.
16.(15分)已知A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.
17.(15分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,坐标原点为O,设△AOB的面积为S,求S的最小值及S最小时直线l的方程.
18.(17分)在平面直角坐标系中,定义d(A,B)=max{|xA-xB|,|yA-yB|}是两点A(xA,yA),B(xB,yB)的“切比雪夫距离”,又设点P及直线l上任一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”,记作d(P,l).
(1)已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0,求d(P,l);
(2)求证:对任意三点A,B,C,都有d(A,C)+d(C,B)≥d(A,B);
(3)定点C(x0,y0),动点P(x,y)满足d(C,P)=r(r>0),请求出点P所在曲线所围成图形的面积.
19.(17分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别是AC和BD(C,D为垂足),测得|AB|=10,|AC|=6,|BD|=12(单位:百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处 并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.
答案全解全析
1.B　直线过第一、三象限,故斜率k>0.当直线在y轴上的截距b为正时,直线过第一、二、三象限;当直线在y轴上的截距b为负时,直线过第一、三、四象限.故选B.
2.C　因为方程x2+y2+2x+2y+k=0表示一个圆,所以4+4-4k>0,解得k<2.由题知点P在圆外,所以1+1+2-2+k>0,解得k>-2.故-23.D　当直线过原点时,直线方程为y=x,即4x-3y=0;当直线不过原点时,设直线方程为+=1,因为该直线过点P(3,4),所以+=1,解得a=7,所以直线方程为x+y-7=0.所以过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y-7=0或4x-3y=0.故选D.
4.B　当a=1时,直线l1:2x+y+2=0,直线l2:2x+y+1=0,显然两直线平行,故充分性成立;
若两直线平行,则有a(a+1)=2且2a≠2(a+1),即a2+a-2=(a+2)(a-1)=0,解得a=-2或a=1,故必要性不成立.故选B.
5.B　设半径为R m,由题可得(2.5-R)2+=R2,解得R=1.3.
故选B.
6.B　因为两条动直线x+my=0和mx-y-4m+4=0交于点P,所以联立两直线方程,消去m,可得x2+y2-4x-4y=0,即(x-2)2+(y-2)2=8,故点P的轨迹为圆,该圆的圆心为(2,2),半径R=2,记D(2,2).
圆C:(x+2)2+(y+2)2=3的半径为,圆心为C(-2,-2),
因为点Q是线段EF的中点,|EF|=2,故圆心C到Q的距离为=1,所以点Q的轨迹为圆,其圆心为C(-2,-2),半径r=1,
如图,由图可知,|PQ|的最小值为|CD|-R-r=-2-1=2-1.故选B.
7.A　设圆O1:x2+y2=64上的动点为P(m,n),过P作圆O2的切线,切点分别为A,B,
易知过P,A,B的圆是以PO1为直径的圆,其方程为x(x-m)+y(y-n)=0,
由可得直线AB的方程为mx+ny=16.
原点到直线mx+ny=16的距离为==2,
故圆O2内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为4π.故选A.
8.A　若两圆圆心在切线的两侧,如图所示,
连接AO1,OO1,过O1作O1M⊥AB,垂足为M,
连接OP并延长,与过O1且平行于AB的直线相交于点N.
设|O1M|=x,则0≤x≤-1,
当x=-1时,P与M重合,此时=1;
当0≤x<-1时,==
==1+=1+,
而|MA|2=|AO1|2-|O1M|2=36-x2,|PM|2=|NO1|2=|OO1|2-|NO|2=17-(x+1)2,
∴==1+=1-,
又当0≤x<-1时,10≤x+10<9+,
且函数y=x+在[10,9+)上单调递增,
∴x+10+的最小值为,∴的最小值为,∴的最大值为5.
若两圆圆心在切线的同侧,作O1M'⊥AB,交AB于M',连接OP,则OP⊥AB,
设|O1M'|=x',则|BM'|=,|M'P|=,
∴=,
令m=,n=,则==.
由题意知∈(0,1),∴==,
令t=x'-10,则x'=t+10,
∴=≤=,当且仅当t=,即t=-8时等号成立,∴==-1+≤-1+=3+2.
综上可知,=3+2.故选A.
9.ACD　当a=0时,两直线方程分别为y=1和x=2,此时满足两条直线互相垂直,故A中说法错误;易知直线的斜率k=-sin α,则-1≤k≤1,即-1≤tan θ≤1,∴θ∈∪,故B中说法正确;当x1=x2或y1=y2时,直线方程为x=x1或y=y1,此时不可写成=,故C中说法错误;若直线过原点,则直线方程为y=x,此时也满足条件,故D中说法错误.故选ACD.
10.BC　所给直线上的点与定点M的距离能否为4,可通过求各直线上的点与点M的距离的最小值,即点M到直线的距离来分析.
A中,因为d==3>4,所以直线上不存在与点M的距离等于4的点,故直线y=x+1不是“切割型直线”;
B中,因为d=2<4,所以在直线上可以找到点P,使其与点M的距离等于4,故直线y=2是“切割型直线”;
C中,因为d==4,所以在直线上存在一点P,使其与点M的距离等于4,故直线y=x是“切割型直线”;
D中,因为d==>4,故直线上不存在点P与点M的距离等于4,故直线y=2x+1不是“切割型直线”.
11.BCD　圆x2+y2-4x+2y-20=0即(x-2)2+(y+1)2=25,设其圆心为E,则E(2,-1),半径r=5,
由三角形中两边之和大于第三边可知|EB|+|EO|≥|BO|,又|EB|=5,|EO|==,所以当BO的长度取最大值时,圆心E与B,O共线且在它们之间,此时|BO|=r+=5+,A错误;
由圆的性质知当EO⊥AC,即圆心E到直线AC的距离最大时,AC的长度取最小值,
此时圆心E到直线AC的距离为|EO|=,故|AC|=2×=4,B正确;
设H,G,F分别是BC,CD,AD的中点,连接MF,MH,HG,GF,FH,MG,则MF∥HG∥BD,MH∥FG∥AC,且|MF|=|HG|=,|MH|=|FG|=,
又AC⊥BD,所以四边形MHGF为矩形,
而|FH|2=|MF|2+|MH|2=,
设圆心E(2,-1)到直线AC,BD的距离分别为d1,d2,则d1,d2∈[0,]且+=5,
所以+++=2×25=50,则=45,故|FH|=3,
所以点M在以|FH|=3为直径,HF,MG的交点为圆心的圆上,C正确;
由上述分析知|BD|2+|AC|2=180≥2|BD|·|AC|,则|BD|·|AC|≤90,当且仅当|BD|=|AC|=3时取等号,
故四边形MHGF的面积为|MF|·|MH|=≤,其最大值为,故D正确.
故选BCD.
12.答案　(x+3)2+(y-2)2=5
解析　线段AB的中垂线方程为x=-3.由得
故圆心为C(-3,2).由两点间的距离公式得|AC|=,即半径为.
∴圆C的方程为(x+3)2+(y-2)2=5.
13.答案　(-,-1]∪[1,)
解析　由直线l:y=kx+3与圆C:x2+y2-2y=0无公共点,可得>1,解得-设P(m,n),由题意可得+=2,两边同时平方,可得++2·=4,即2[m2+(n-1)2+1]+2=4[m2+(n-1)2],化简得m2+(n-1)2=2,故P在直线l上且在圆x2+(y-1)2=2上,从而≤,解得k≥1或k≤-1.
综上可得,k∈(-,-1]∪[1,).
14.答案　7(答案不唯一)
解析　连接PC1,PC2,AC2,BC2,C1C2.圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1的圆心为C1(2,3),半径r1=1,圆C2:(x+2)2+y2=4的圆心为C2(-2,0),半径r2=2,则圆C2与y轴相切于点O,|C1C2|==5,
因为直线PA,PB分别与圆C2:(x+2)2+y2=4相切于点A,B,且直线PA,PB分别与y轴相交于点C,D,所以|PA|=|PB|,|AC|=|OC|,|BD|=|OD|,所以△PCD的周长为|PC|+|CD|+|PD|=|PC|+|OC|+|OD|+|PD|=(|PC|+|AC|)+(|BD|+|PD|)=|PA|+|PB|=2|PA|=2=2,如图,
由图可知|C1C2|-r1≤|PC2|≤|C1C2|+r1,即5-1≤|PC2|≤5+1,即4≤|PC2|≤6,所以16≤|PC2|2≤36,所以12≤|PC2|2-4≤32,所以2≤≤4,所以4≤2≤8,即△PCD的周长的取值范围为[4,8],所以△PCD的周长能取得的整数值有7,8,9,10,11,填其中一个即可.
15.解析　(1)正方形ABCD中,AB⊥AD,因为AB边所在直线的方程为x-2y-1=0,所以可设AD边所在直线的方程为2x+y+c=0,(2分)
因为正方形ABCD的中心为点E(0,2),所以点E到直线AB和直线AD的距离相等,
所以=,解得c=3或c=-7,(5分)
经验证c=-7时,点A不在第三象限内,(6分)
所以AD边所在直线的方程为2x+y+3=0.(7分)
(2)联立解得即A(-1,-1),(9分)
又E(0,2),故kAE==3,即kAC=3,(11分)
所以对角线AC所在直线的方程为y=3x+2.(13分)
16.解析　(1)因为圆心C在直线l:y=2x-4上,且在直线y=x-1上,所以圆心C为两直线的交点,
联立解得所以C(3,2).(3分)
易知切线的斜率存在,设其方程为y-3=k(x-0),即kx-y+3=0,
根据圆心到直线kx-y+3=0的距离等于半径1,可得=1,解得k=0或k=-,(6分)
故切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(7分)
(2)根据题意可得圆C的方程为(x-a)2+(y-2a+4)2=1.(8分)
设M(x,y),∵|MA|=2|MO|,
∴=2,化简可得x2+(y+1)2=4,
故点M在以(0,-1)为圆心,2为半径的圆上,记D(0,-1).(11分)
又点M也在圆C上,故圆C和圆D有交点,
∴2-1≤|CD|≤1+2,即1≤≤3,(13分)
整理得5a2-12a+8≥0且5a2-12a≤0,解得0≤a≤.(15分)
17.解析　(1)证明:直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,
故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).(3分)
(2)直线l的方程可化为y=kx+2k+1,则直线l的斜率为k,在y轴上的截距为2k+1,(5分)
要使直线l不经过第四象限,则解得k≥0,(7分)
即k的取值范围是[0,+∞).(8分)
(3)依题意知,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,
∴A,B(0,1+2k),(10分)
又-<0且1+2k>0,∴k>0,(11分)
故S=|OA||OB|=××(1+2k)=≥×(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时取等号,(14分)
故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.(15分)
18.解析　(1)取直线l:2x-y-1=0上一点Q(x',2x'-1),
则d(P,Q)=max{|x'-3|,|2x'-2|}.(2分)
令|x'-3|≥|2x'-2|,解得-1≤x'≤,此时d(P,Q)=|x'-3|,
当x'=时,d(P,Q)取得最小值,为;(4分)
令|x'-3|<|2x'-2|,解得x'>或x'<-1,此时d(P,Q)=|2x'-2|,
故d(P,Q)的取值范围是,无最值.(5分)
综上所述,d(P,Q)的最小值为,所以d(P,l)=.(6分)
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
则d(A,C)+d(C,B)=max{|x1-x3|,|y1-y3|}+max{|x3-x2|,|y3-y2|}≥|x1-x3|+|x3-x2|≥|x1-x2|,(7分)
同理可得,d(A,C)+d(C,B)≥|y1-y2|,(9分)
所以d(A,C)+d(C,B)≥max{|x1-x2|,|y1-y2|}=d(A,B).(12分)
(3)由题得d(C,P)=max{|x-x0|,|y-y0|}=r,(13分)
等价于或(15分)
所以点P的轨迹是以C(x0,y0)为中心,边长为2r的正方形,
故点P所在曲线所围成的图形的面积为4r2.(17分)
19.解析　解法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.
由已知条件得,四边形ACDE为矩形,|DE|=|BE|=|AC|=6,|AE|=|CD|=8.
因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE==.
所以|PB|===15.
因此道路PB的长为15百米.(4分)
(2)不能.理由如下:
①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知|AD|==10,
从而cos∠BAD==>0,所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此,Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.(8分)
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;(10分)
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,|OF|≥|OB|,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,|P1B|=15,
此时|P1D|=|P1B|sin∠P1BD=|P1B|cos∠EBA=15×=9;
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,|PB|>|P1B|=15.
由上可知,d≥15.(13分)
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得|QA|≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当|QA|=15时,|CQ|===3.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当PB⊥AB,点Q位于点C的右侧,且|CQ|=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离|PQ|=|PD|+|CD|+|CQ|=17+3.(16分)
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.(17分)
解法二:(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.
以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.
因为|BD|=12,|AC|=6,所以|OH|=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.
因为AB为圆O的直径,|AB|=10,
所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-,直线PB的方程为y=-x-.
所以P(-13,9),|PB|==15.
因此道路PB的长为15百米.(4分)
(2)不能.理由如下:
①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则|EO|=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),
又A(4,3),所以线段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).
在线段AD上取点M,因为|OM|=<=5,
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.(8分)
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;(10分)
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,|OF|≥|OB|,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,|P1B|=15,此时P1(-13,9);
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,|PB|>|P1B|=15.
由上可知,d≥15.(13分)
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得|QA|≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当|QA|=15时,设Q(a,9),由|AQ|==15(a>4),得a=4+3,所以Q(4+3,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离|PQ|=4+3-(-13)=17+3.(16分)
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.(17分)

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