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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第三章　圆锥曲线的方程
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知方程(m-3)x2+(5-m)y2=(m-3)(5-m),其中m∈R,当m取不同的值时,该方程不可能表示的曲线是(　　)
A.直线　　B.圆　　C.双曲线　　D.抛物线
2.已知平面上点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y),以下叙述错误的是(　　)
A.若|MA|2-|MB|2=3,则M的轨迹是一条直线　　　　
B.若|MA|-|MB|=4,则M的轨迹是双曲线的一支
C.若|MA|=k|MB|(k为正实数,且k≠1),则M的轨迹一定是圆　　　　
D.若|MA|+|MB|=8,则M的轨迹是椭圆
3.已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的(　　)
A.实轴长相等　　B.虚轴长相等　　C.离心率相等　　D.焦距相等
4.一个葡萄纹椭圆盘如图(1)所示,一个青花山水楼阁纹椭圆盘如图(2)所示,一个汝窑椭圆盘如图(3)所示,这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图(1)(2)(3)中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为,,,设图(1)(2)(3)中椭圆的离心率分别为e1,e2,e3,则(　　)
　　　　　　
A.e15.设抛物线y2=4x的准线与x轴交于点K,过点K的直线l与抛物线交于A,B两点.设线段AB的中点为M,过点M作x轴的平行线交抛物线于点N.已知△NAB的面积为2,则直线l的斜率为(　　)
A.±　　B.±　　C.±　　D.±2
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是棱CD,AB上的动点,P是△A1C1D内的动点(不包括边界),记直线D1P与MN所成的角为θ,若θ的最小值为,则点P的轨迹是(　　)
A.圆的一部分　　　　
B.椭圆的一部分
C.抛物线的一部分　　　　
D.双曲线的一部分
7.2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽(如图)的正视图近似为伯努利双纽线.定义:在平面直角坐标系Oxy中,到定点F1(-a,0),F2(a,0)的距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线.已知P(x0,y0)是双纽线C上的一点,下列说法错误的是(　　)
A.双纽线C关于原点O中心对称
B.-≤y0≤
C.双纽线C上满足|PF1|=|PF2|的点P有两个
D.|OP|的最大值为a
8.已知m,n,s,t均为正实数,m+n=4,+=9,其中m,n是常数,且s+t的最小值是,点M(m,n)是曲线-=1的一条弦AB的中点,则弦AB所在直线的方程为(　　)
A.x-4y+6=0　　B.4x-y-6=0　　C.4x+y-10=0　　D.x+4y-10=0
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知曲线C:+=1(mn≠0),则下列说法正确的是(　　)
A.若m=n<0,则曲线C为圆
B.若mn<0,则曲线C为双曲线
C.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则其离心率e=
D.若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则其渐近线方程为y=±x
10.一般地,若=λ,=-λ(λ>0,λ≠1),则称A,B,P,Q四点构成调和点列.已知椭圆C:+=1,过点D(1,1)的直线l与椭圆C交于M,N两点.动点E满足M,N,D,E四点构成调和点列,则下列结论正确的是(　　)
A.M,N,D,E四点共线　　　　　 B.+=
C.动点E的轨迹方程为2x+3y-6=0　　　　　D.|DE|既有最小值又有最大值
11.如图,已知椭圆C1:+y2=1,过抛物线C2:x2=4y的焦点F的直线交抛物线于M,N两点,连接NO,MO并延长,分别交C1于点A,B,连接AB,记△OMN与△OAB的面积分别为S△OMN,S△OAB,直线NO,MO的斜率分别为k1,k2,则下列命题中是真命题的为(　　)
A.k1k2的大小是定值-
B.S△OAB是定值1
C.线段OA,OB的长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值5
D.设λ=,则λ≥
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x的双曲线的标准方程为　　　　　　　.
13.设F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为　　　　.
14.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与抛物线及圆(x-1)2+y2=依次交于A,B,C,D四点,则|AB|+9|CD|的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知椭圆+=1及直线l:y=x+m.
(1)当直线l与该椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求直线l被此椭圆所截得的弦长的最大值.
16.(15分)如图,已知曲线Γ的方程是x2-y|y|=1,其中A、B为曲线Γ与x轴的交点,A点在B点的左边,曲线Γ与y轴的交点为D.已知F1(-c,0),F2(c,0),c>0,△DBF1的面积为.
(1)过点B作斜率为k的直线l交曲线Γ于P、Q两点(异于B点),点P在第一象限,设点P的横坐标为xP,Q的横坐标为xQ,求证:xP·xQ是定值;
(2)过点F2的直线n与曲线Γ有且仅有一个公共点,求直线n的倾斜角的取值范围;
(3)在(1)的条件下,当·=3+2时,求使||=λ||成立的λ的值.
17.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为,斜率为k的直线l与椭圆C相交于两个不同的点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB的面积的最大值;
(3)若线段AB的垂直平分线过点(1,0),求k的取值范围.
18.(17分)如图,已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=和抛物线C2:x2=4y,P(x0,y0)是圆C1上一点,M是抛物线C2上一点,F是抛物线C2的焦点.
(1)当直线PM与圆C1相切,且|PM|=|FM|时,求M的坐标;
(2)过P作抛物线C2的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,证明:存在两个x0,使得△PAB的面积等于.
19.(17分)已知双曲线H:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,椭圆E以A1,A2为焦点,以F1F2为长轴.
(1)求椭圆E的离心率e1;
(2)设椭圆E交y轴于B1,B2两点,过B1的直线l分别交双曲线H的左、右两支于C,D两点,求△B2CD的面积的最小值;
(3)设点M(m,n)满足m2<4n2.过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线l1,l2分别交H于点P,Q.过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S,T.证明:为定值,并求出此定值.
答案全解全析
1.D　易知当m取不同的值时,该方程不可能同时出现一次项和二次项,故方程不可能表示抛物线.故选D.
2.B　对于A,根据题意可得(x+2)2+y2-[(x-2)2+y2]=3,整理可得x=,故M的轨迹是一条直线,A中叙述正确;
对于B,因为|MA|-|MB|=4=|AB|,所以M的轨迹是一条射线,不是双曲线,故B中叙述错误;
对于C,由|MA|=k|MB|(k>0,且k≠1),得(x+2)2+y2=k2[(x-2)2+y2],整理得+y2=,其表示圆心为,半径为的圆,故C中叙述正确;
对于D,因为|MA|+|MB|=8>|AB|,所以M的轨迹是焦点为A,B,且长轴长为8的椭圆,故D中叙述正确.
故选B.
3.D　因为0<θ<,所以cos θ>sin θ>0.双曲线C1和C2的实半轴长分别是sin θ和cos θ,虚半轴长分别是cos θ和sin θ,半焦距都等于1,离心率分别是和,故选D.
4.B　因为椭圆的离心率e=====,
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大,离心率越大,
因为<<,所以e25.A　抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,则K(-1,0),如图.
∵直线l过点K且与抛物线交于A,B两点,∴直线l的斜率存在且不为0,
∴可设直线l的方程为x=ty-1(t≠0),将其代入y2=4x,可得y2-4ty+4=0.由Δ=(-4t)2-16>0,得t2>1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=4,
∴x1+x2=ty1-1+ty2-1=t(y1+y2)-2=4t2-2.
∵M是AB的中点,∴M(2t2-1,2t).
过点M且平行于x轴的直线的方程为y=2t,易知此直线与抛物线的交点为N(t2,2t),所以|MN|=t2-1.
又∵=-4y1y2=(4t)2-4×4=16(t2-1),∴|y1-y2|=4,∴△NAB的面积为|MN|×|y1-y2|=2()3.
由已知得2()3=2,解得t2=2,满足Δ>0,∴t=±.
∴直线l的方程为x=±y-1,即y=±(x+1),∴直线l的斜率为±.
故选A.
6.B　延长D1P,交平面ABCD于点Q,连接DP,DQ,则直线MN与D1Q所成的角为θ,又直线D1Q与平面ABCD内的直线所成角的最小值为,所以直线D1Q与平面ABCD所成的角为,则∠DQD1=.设正方体的棱长为a,则|DQ|=a,所以点Q在以D为圆心,a为半径的四分之一圆上(不包括端点)运动,即在底面半径为DQ的圆锥DD1的底面四分之一圆上(不包括端点)运动.用过底面圆心D的平面A1C1D截取圆锥,在四分之一圆锥DD1表面所得的曲线即为点P的轨迹,即点P的轨迹为椭圆的一部分.故选B.
7.C　对于A,由双纽线的定义可得曲线上的点的坐标(x,y)满足×=a2,用(-x,-y)替换方程中的(x,y),原方程不变,所以双纽线C关于原点O中心对称,所以A中说法正确;
对于B,根据等面积法可知=×|PF1|×|PF2|sin∠F1PF2=×2a×|y0|,即|y0|=sin∠F1PF2≤,所以-≤y0≤,所以B中说法正确;
对于C,若双纽线C上的点P满足|PF1|=|PF2|,则点P在y轴上,即x0=0,所以×=a2,得y0=0(二重根),所以这样的点P只有一个,所以C中说法错误;
对于D,因为=(+),
所以||2=(||2+2||·||cos∠F1PF2+||2),
在△PF1F2中,由余弦定理得||2=4a2=||2-2||·||·cos∠F1PF2+||2,
所以||2=a2+||·||cos∠F1PF2=a2+a2cos∠F1PF2≤2a2,当且仅当∠F1PF2=0°,即P与F1,F2共线时取等号,所以|PO|的最大值为a,所以D中说法正确.
故选C.
8.A　∵s+t=(s+t)=m+++n≥(m+n+2)=,当且仅当=,即s=t时取等号,
∴m+n+2=8,又m+n=4,m,n为正数,∴m=2,n=2.
不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),则
两式相减得-=0,
∵M(2,2)为弦AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=4,∴kAB===,
∴弦AB所在直线的方程为y-2=(x-2),即x-4y+6=0.故选A.
9.BD　对于选项A,当m=n>0时,曲线C为圆,故A错误.
对于选项B,当mn<0时,曲线C为双曲线,故B正确.
对于选项C,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则e=,故C错误.
对于选项D,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则其渐近线方程为y=±x,故D正确.
故选BD.
10.ABC　对于A,因为M,N,D,E四点构成调和点列,所以有=λ,=-λ,
因为MD与DN有公共点D,ME与EN有公共点E,所以M,D,N三点共线,M,E,N三点共线,从而可得M,N,D,E四点共线,故A正确;
对于B,因为=-λ,所以||=λ||,
又=+=+=+=,即||=||,所以==+=+,故B正确;
对于C,设E(m,n),M(x1,y1),N(x2,y2),由=λ,=-λ,得即
①×②,得-λ2=m(1-λ2),同理可得-λ2=n(1-λ2),
则-λ2=(1-λ2),
又∵点M,N在椭圆C上,∴1-λ2=(1-λ2),
又λ≠1,∴+=1,∴2m+3n=6,即动点E的轨迹方程为2x+3y-6=0,故C正确;
对于D,D(1,1)到直线2x+3y-6=0的距离d==,
可知|DE|的最小值为,无最大值,故D错误.
故选ABC.
11.ABC　由题意得F(0,1),直线MN的斜率存在,则可设直线MN的方程为y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去y可得x2-4kx-4=0,由根与系数的关系得x1+x2=4k,x1·x2=-4.
对于A,k1=,k2=,∴k1k2===x1·x2=-,故A正确;
对于B,由选项A中结论知,k1k2=-,
直线OA的方程为y=k1x(k1>0),直线OB的方程为y=k2x(k2<0),
联立直线OA与椭圆C1的方程,得解得结合题图可知A,
同理,联立直线OB与椭圆C1的方程,可解得B,
∴|OA|=,点B到直线OA的距离d=,
∴S△OAB=|OA|·d=··==1,故B正确;
对于C,由上述分析得A,B,k1k2=-,
则|OA|2+|OB|2=+++=+=4×=4×=5,故C正确;
对于D,由上述分析可得λ=======≥=2,当且仅当=,即k1=时等号成立,故D错误.
故选ABC.
12.答案　-=1或-=1
解析　当焦点在x轴上时,由顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x,可得2a=6,=,∴a=3,b=,
∴双曲线的标准方程为-=1,即-=1;
当焦点在y轴上时,由顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x,可得2a=6,=,∴a=3,b=2,∴双曲线的标准方程为-=1,即-=1.
综上所述,所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
13.答案　
解析　由题可知|PF2|=b,|OF2|=c,∴|PO|=a,∴|PF1|=a.
在Rt△POF2中,cos∠PF2O==.
∴在△PF1F2中,cos∠PF2F1==,
即=,整理得c2=3a2,∴e=.
14.答案　11
解析　设A(xA,yA),D(xD,yD).易得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,所以|AF|=xA+1.
又|AF|=|AB|+,所以|AB|=xA+.同理,|CD|=xD+.
当直线l的斜率不存在时,xD=xA=1,所以|AB|+9|CD|=15;
当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-1),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以xAxD=1,
所以|AB|+9|CD|=5+xA+9xD≥5+2=11,当且仅当xA=3,xD=时,等号成立.
综上,|AB|+9|CD|的最小值为11.
15.解析　(1)由消去y,并整理得9x2+6mx+2m2-18=0.(3分)
因为直线l与椭圆有公共点,所以Δ=36m2-36(2m2-18)=-36(m2-18)≥0,解得-3≤m≤3.(5分)
故实数m的取值范围为[-3,3].(6分)
(2)设直线l与椭圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)得x1+x2=-,x1x2=,Δ=-36(m2-18)>0,故-3故|AB|=|x1-x2|==·=·,(11分)
故当m=0时,直线l被此椭圆所截得的弦长取得最大值,为.(13分)
16.解析　(1)证明:由已知得曲线Γ的方程为故当y≥0时,曲线Γ为双曲线的一部分,当y<0时,曲线Γ为圆的一部分.
对于方程x2-y|y|=1,令y=0,得x=±1.故A(-1,0),B(1,0),则直线l:y=k(x-1),
联立解得x=或x=1(舍去),故xP=,(2分)
联立解得x=或x=1(舍去),故xQ=,(4分)
所以xPxQ=1.(5分)
(2)易得D(0,-1),|BF1|=1+c,由△DBF1的面积为,可得×1×(1+c)=,解得c=,(6分)
当直线n的斜率存在时,设直线n的方程为y=m(x-),联立
消去y,得(1+m2)x2-2m2x+2m2-1=0,
令Δ=8m4-4(1+m2)(2m2-1)=0,解得m=1或m=-1.(8分)
当m=1时,直线n:y=x-,与圆x2+y2=1(y<0)相切,与双曲线x2-y2=1的一条渐近线y=x平行,故直线n与曲线x2-y2=1(y≥0)无交点,满足题意;
当m=-1时,直线n:y=-x+,与双曲线x2-y2=1的一条渐近线y=-x平行,故直线n与曲线x2-y2=1(y≥0)只有一个交点,与圆x2+y2=1(y<0)无交点,满足题意.
当直线n的斜率不存在时,n:x=,与曲线Γ只有一个交点,符合题意,
当直线n绕点F2从直线y=x-的位置逆时针旋转到直线y=-x+的位置时,直线n与曲线Γ始终只有一个交点,
所以直线n的倾斜角的取值范围为.(10分)
(3)由(2)知F1(-,0),故=(xP+,k(xP-1)),=(xQ+,k(xQ-1)),
所以·=(xP+)(xQ+)+k2(xP-1)(xQ-1)=(1+k2)xPxQ+(-k2)(xP+xQ)+k2+2,
由(1)知xP+xQ=,xPxQ=1,(12分)
所以·=(3+2k2)+(-k2)·=3+2,所以k2=,
所以xP=3+2,xQ=3-2,||==,||==,
则λ====3+2.(15分)
17.解析　(1)由题可得则
故椭圆C的方程为+y2=1.(3分)
(2)设直线l:y=kx+m,则=,故4m2=3(1+k2),(4分)
联立消去y可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,
故Δ=36k2m2-12(m2-1)(1+3k2)>0,即1+3k2>m2,
设A(xA,yA),B(xB,yB),
所以xA+xB=-,xAxB=,
则|AB|=·|xA-xB|=·
=,(6分)
所以△AOB的面积S=××|AB|=·
=·≤·=,
当且仅当9k2=,即k2=,即k=±时等号成立,
所以△AOB的面积的最大值为.(9分)
(3)线段AB的中点为,设为G,由(2)知xA+xB=-,
则yA+yB=k(xA+xB)+2m=2m-=,所以G,(11分)
因为线段AB的垂直平分线过点(1,0),所以直线AB的斜率k≠0,
所以=-,整理得-1-3k2=2km,所以=4k2m2,(13分)
由(2)知1+3k2>m2,所以<4k2(1+3k2),则k2>1,
解得k<-1或k>1,故k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).(15分)
18.解析　(1)易得焦点F的坐标为(0,1),C1(1,-1),设M,
则|PM|==,
由抛物线的定义,得M到焦点F的距离等于其到抛物线准线y=-1的距离,
所以|FM|=+1,(3分)
由|PM|=|FM|,得=+1,
所以xM=或xM=,所以M或M.(7分)
(2)证明:由P(x0,y0)是圆C1上一点,得(x0-1)2+(y0+1)2=,
设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),与x2=4y联立,
得x2-4k1x-4(y0-k1x0)=0(*),令Δ=16+16(y0-k1x0)=0,
整理得-k1x0+y0=0①,
设直线PB的方程为y-y0=k2(x-x0),同理得-k2x0+y0=0②,
由①②知,k1,k2是方程k2-kx0+y0=0的两根,
所以k1+k2=x0,k1k2=y0,(10分)
由(*)式得,xA+xA=4k1,则xA=2k1,
所以A(2k1,),同理B(2k2,),所以kAB==,(12分)
所以直线AB的方程为y-=(x-2k1),即y=x-k1k2,即y=x-y0.所以|AB|=|2k1-2k2|=·=·,P(x0,y0)到直线AB的距离d=,
所以S△PAB=|AB|·d==,(14分)
整理得-4y0=3,联立得(x0-1)(++19x0-13)=0,
所以x0=1或++19x0-13=0,设f(x0)=++19x0-13,≤x0≤,显然f<0,f(1)>0,f>0,易知f(x0)在上单调递增,所以f(x0)=++19x0-13在上有唯一零点.
所以存在两个x0,使得△PAB的面积等于.(17分)
19.解析　(1)不妨设椭圆E的方程为+=1,焦距为2c1,
由题知椭圆E的左、右顶点分别为F1(-,0),F2(,0),左、右焦点分别为A1(-2,0),A2(2,0),所以a1=,c1=2,b1==1,
则椭圆E的离心率e1===.(3分)
(2)不妨设B1在B2的上方,则B1(0,1),B2(0,-1),|B1B2|=2,易知直线CD的斜率存在,
设直线CD的方程为y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2),
因为双曲线-y2=1的渐近线的斜率的绝对值为,过点B1的直线l分别交双曲线H的左、右两支于C,D两点,
所以直线CD的斜率k满足-联立消去y并整理得(1-4k2)x2-8kx-8=0,
此时Δ=(-8k)2+32(1-4k2)=32(1-2k2)>0,
易知|x1-x2|===,(6分)
所以=+=|B1B2|·|x1-x2|=,(7分)
不妨设f(k)=,-不妨令t=1-4k2,则k2=,0此时函数f(k)=可转化为g(t)==4=4,∈[1,+∞),
结合二次函数的性质可知,当t=1,即k=0时,函数f(k)取得最小值,最小值为f(0)=4.
综上可得,△B2CD的面积的最小值为4.(9分)
(3)易知双曲线-y2=1的渐近线方程为x±2y=0,
当m=0时,由对称性得P,Q关于y轴对称,S,T关于y轴对称,
所以M为ST的中点,此时=1.(10分)
下面证明当m≠0时,=1,即证M为ST的中点,
因为点M(m,n)满足m2<4n2,
所以m-2n≠0,m+2n≠0,n≠0,不妨设m>0,
当x=m时,代入x-2y=0,可得y=m,易知m所以此时点M(m,n)在直线y=x的左上方,
同理可证得,点M(m,n)在直线y=-x的左下方,故点M(m,n)在两渐近线y=±x所夹区域的上方或下方(不含y轴),
不妨设点M(m,n)在上方区域,P在H的左支上,则kMQ=-,kMP=,(12分)
则直线MP的方程为y-n=(x-m),直线MQ的方程为y-n=-(x-m),设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),
联立可得此时点P的坐标满足同理点Q的坐标满足
则kPQ==·=·=,(14分)
则直线ST的方程为y-n=(x-m),不妨设T在渐近线y=x上.
联立消去y并整理得2nx-4n2=mx-m2,
则xT==2n+m,(16分)
同理得xS=m-2n,
所以xT+xS=2m,
则点M为ST的中点,故为定值1.
综上,为定值,且该定值为1.(17分)

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