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1.1 空间向量及其运算
知识 清单破
1.1.1　空间向量及其运算
知识点 1 空间向量的概念
名称 定义
空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量(简称为向量),空间向量的大小称为向量的模(或长度)
单位向量 模等于1的向量
零向量 始点和终点相同的向量,规定零向量与任意向量平行
相等向量 大小相等、方向相同的向量
相反向量 大小相等、方向相反的向量
平行(共 线)向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反,那么称这两个向量平行(共线)
共面向量 对于空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在同一平面内,则称这些向量共面
知识点 2 空间向量的线性运算
空间向 量的线 性运算 加法 三角形法则:a+b= + = ; 平行四边形法则:a+b= + =
减法 三角形法则:a-b= - = 数乘 (1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向: ①当λ>0时,与a的方向相同; ②当λ<0时,与a的方向相反. (2)当λ=0或a=0时,λa=0 运算律 (λ,μ ∈R) 交换律 a+b=b+a
结合律 (a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a
分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb
知识点 3 空间向量的数量积
1.向量的数量积
两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cos,其中为a与b的夹角,
范围为[0,π].
　　规定零向量与任意向量的数量积为0.
2.空间向量数量积的几何意义
两个向量数量积的几何意义与投影有关.一般地,给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α),
过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线,假设垂足为A,B,则向量 称为a在直线l(或
平面α)上的投影.
a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积,即向量a在向量b上的投影的数
量为 =|a|cos.
3.空间向量数量积的性质
(1)a⊥b a·b=0;
(2)a·a=|a|2=a2;
(3)|a·b|≤|a||b|;
(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R);
(5)a·b=b·a(交换律);
(6)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.若两个向量是共线向量,则表示这两个向量的有向线段必在同一条直线上. (　 )

表示这两个向量的有向线段所在的直线平行或重合.
提示
2.向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面. (　 )
提示
向量共面时,向量所在的直线不一定共面,只有这些向量都过同一点时,向量所在的直线才共面.

3.对于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=(b·c)·a. (　 )

向量数量积的运算不满足乘法的结合律,(a·b)·c与c共线,(b·c)·a与a共线,但c与a不一定共
线.
提示
4.若a,b,c为非零向量,|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|. (　 )
提示

|a·c|=|a||c||cos θ|,其中θ是向量a和c的夹角,|b·c|=|b||c|·|cos α|,其中α是向量b和c的夹角,而
|cos θ|和|cos α|不一定相等,故错误.
疑难 情境破
疑难 向量的数量积
1.求两个向量的数量积的方法
(1)当所求数量积中两向量的夹角和模已知时,直接利用a·b=|a||b|cos求解.
(2)当所求数量积中两向量的夹角和模未知,但其他向量的模和夹角已知时,将所求数量积中
两向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式,再利用向量数量积的运算律展开,转化成已
知模和夹角的向量的数量积.
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
讲解分析
2.向量数量积的应用
(1)利用数量积求向量的夹角(或夹角的余弦值):可利用cos= 求两个向量的夹角(或
夹角的余弦值).若a·b>0,则∈ ;若a·b=0,则= ;若a·b<0,则∈ .
(2)利用数量积求向量的模:求向量的模时,一般将此向量表示为已知的几个向量的和或差的
形式,求出已知向量两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|= (推广公式:|a±b|=
= )求解即可.
典例 如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点E,F,G分别是AB,
AD,CD的中点.
(1)求 · ;
(2)求| |;
(3)求cos< , >.

解析 (1)因为E,F分别为AB,AD的中点,所以 = ,所以 · = · = | || | cos 120°
=- .
(2)连接BG.由题意得 = + = + ( + )= ( + - ),所以| |2= ( + - )2= ×
( + + +2 · -2 · -2 · )= × 12+12+12+2×1×1× -2×1×1× -2×1×1×
= ,所以| |= .
(3)由题意得 = ( + ), = + = - ,
所以 · = ( + )· = · - + · - · = ×1×1× - +
×1×1× - ×1×1× =- ,| |2= ( + )2= ( + +2 · )= ×(1+1+1)= ,| |2=
= - · + = -1×1× +1= ,
所以| |= ,| |= ,
所以cos< , >= = =- .第一章　空间向量与立体几何
1.1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其运算
基础过关练
题组一　空间向量的概念
1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,下列说法正确的是(　　)
A.|
C.向量共线　　　　D.向量共面
2.下列关于空间向量的说法正确的是(　　)
A.方向相反的两个向量是相反向量
B.任意两个空间向量总是共面的
C.零向量没有方向
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
3.下列说法正确的是(　　)
A.将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点,则它们的终点构成一个圆
B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
D.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
题组二　空间向量的线性运算
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是(　　)
①
.
A.①②　　　　B.②③　　　　C.③④　　　　D.①④
5.已知四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　)
A.空间四边形　　　　B.平行四边形
C.等腰梯形　　　　 D.矩形
6.如图所示,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且,N为BC的中点,则=(　　)
A.a-b+c　　　　B.-a+b+c
C.a+b-c　　　　D.a+b-c
7.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
=a,=b,=c,点P在A1C上,且A1P∶PC=2∶3,则=(　　)
A.a+b+c　　　　 B.a+b+c
C.-a+b+c　　　　D.a-b-c
8.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1C1,BB1的中点,G是MN的中点,若,则x+y+z=(　　)
A.1　　　　B.
9.在四面体O-ABC中,=a,
=b,=c,G为△ABC的重心,点M在线段OC上,且OM=2MC,则=(　　)
A.a+b-c　　　　 B.a+b+c
C.-a+b+c　　　　D.a-b+c
题组三　空间向量的数量积
10.如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,F,G分别是AD,CD的中点,则=
(　　)
A.
11.已知空间向量a,b,若|a|=1,|b|=2,
c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为(　　)
A.30°　　　　 B.60°　　　　
C.120°　　　　D.150°
12.已知|a|=2,|b|=3,=
60°,则|2a-3b|等于(　　)
A.　　　　B.97　　　　
C.　　　　D.61
13.已知|a|=1,|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d上的投影数量为(　　)
A.　　　　C.1　　　　D.-1
14.在三棱锥P-ABC中,PA=8,AB=6,
AC=4,BC=5,∠PAC=45°,∠PAB=60°,则向量的夹角的余弦值是(　　)
A.　　　　
C.　　　　D.0
15.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是正方形,AA1=5,AB=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,则BD1的长为(　　)
A.　　　　B.7　　　　
C.6　　　　 D.
16.在空间四边形ABCD中,=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.不确定
17.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,=135°,m⊥n,则λ=　　　　.
18.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°,当a+2b与ka-b的夹角为钝角时,实数k的取值范围为　　　　.
能力提升练
题组　空间向量的数量积
1.在三棱锥A-BCD中,AD⊥AB,AD⊥AC,给出下列结论:
①;
②若∠BAC是锐角,则>0;
③若∠BAC是钝角,则∠BDC是钝角;
④若||且||,则∠BDC是锐角.
其中正确结论的序号为(　　)
A.①②④　　　　B.①④　　　　C.②③　　　　D.②④
2.若空间向量e1,e2满足|e1|=|2e1
+e2|=3,则e1在e2上的投影数量的最大值是(　　)
A.3　　　　B.0　　　　C.-
3.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P是四边形A1B1C1D1的内切圆上一点,O为四边形ABCD的中心,则的最大值为(　　)
A.5　　　　 B.6　　　　
C.5+
4.如图所示,在平面角为120°的二面角α-AB-β中,AC α,BD β,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,
AC=AB=BD=6,则||=　　　　.
5.如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3.若=7,则的夹角的余弦值为　　　　.
6.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,AB=AD=2,AA1=1,P为线段BC的中点.
(1)求||;
(2)求夹角的余弦值.
答案与分层梯度式解析
第一章　空间向量与立体几何
1.1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其运算
基础过关练
1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B 7.B 8.C
9.A 10.B 11.C 12.C 13.D 14.B 15.D 16.B
1.D　的长度相等,方向相反,故,A错误;无法确定||与||的大小关系,故B错误;不是共线向量,但可以平移到同一平面上,是共面向量,故C错误,D正确.
2.B　大小相等,方向相反的向量是相反向量,故A中说法错误;零向量的方向是任意的,故C中说法错误;不相等的两个空间向量的模可以相等,如相反向量,故D中说法错误.故选B.
3.C　将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点,则它们的终点构成一个球面,故A中说法错误;两个向量相等不仅要保证模相等,还要保证方向相同,但a与b的方向不一定相同,故B中说法错误;向量的相等具有传递性,故C中说法正确;向量的平行不具有传递性,若b=0,则a与b共线,b与c共线,但a与c不一定共线,故D中说法错误.
4.C　,①不符合;,②不符合;,③符合;,④符合.故选C.
5.B　由已知可得,由相等向量的定义可知,四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,无法判断其是不是矩形.故选B.
6.B　连接ON,则,又=a,=b,=c,∴+-.故选B.
7.B　连接AC.因为A1P∶PC=2∶3,所以,所以,又=a,=b,=c,所以++.故选B.
8.C　连接AM,AN. ∵G是MN的中点,∴.故选C.
9.A　如图,因为G为△ABC的重心,所以.因为OM=2MC,所以,所以+-.故选A.
10.B　由题意得,所以×1×1×cos 60°=.故选B.
11.C　设向量a与b的夹角为θ.∵c⊥a,∴c·a=(a+b)·a=0,则
|a|2+|a||b|cos θ=0,∴cos θ=-,∴θ=120°.
12.C　|2a-3b|2=4a2-12a·b+9b2 =4×22-12×2×3×cos 60°+9×32=61,∴|2a-3b|=.
13.D　由题意得a·b=1××cos 45°=1,|d|==1,c·d=a2-b2=-1,因此c在d 上的投影数量为=
-1.故选D.
14.B　设向量的夹角为θ.易得)·|·||cos 45°-||·||cos 60°=4×8×-24,所以cos θ=.故选B.
15.D　连接AD1,则,所以
=33,所以|.故选D.
16.B　令=a,=b,=c,则=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
17.答案　-
解析　由m⊥n得(a+b)·(a+λb)=0,∴a2+(1+λ)a·b+λb2=0,
∴18+(λ+1)×3×4cos 135°+16λ=0,即2λ+3=0,∴λ=-.
18.答案　k>-7且k≠-
解析　由题意得(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=16k+(2k-1)×4×8×cos 120°-128=-16k-112<0,解得k>-7.
又当k=-时,a+2b与ka-b反向共线,
∴k>-7且k≠-.
名师点睛　两向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0,但a·b>0时,a,b的夹角为锐角或零角;两向量a,b的夹角为钝角时,a·b<0,但a·b
<0时,a,b的夹角为钝角或平角.故在实际解题中,要考虑两向量同向、反向的情形.
能力提升练
1.D 2.C 3.C
1.D　因为AD⊥AB,AD⊥AC,所以=0.
对于①,)·(
,故①错误;
对于②,若∠BAC是锐角,则>0,所以)·
>0,故②正确;
对于③,设AB=AC=AD=1,∠BAC=120°,则>0,此时∠BDC是锐角,故③错误;
对于④,若||且||,则|·||cos∠BAC>||·||·||cos∠BAC
=||·||(1+cos∠BAC),因为∠BAC∈(0,π),所以||·
(1+cos∠BAC)>0,即>0,所以∠BDC是锐角,故④正确.
故选D.
2.C　设向量e1,e2的夹角为θ,
则e1在e2上的投影数量为|e1|cos θ.
因为|e1|=|2e1+e2|=3,所以|e2|2+4|e1|2+4|e1||e2|·cos θ=9,即|e2|2+12|e2|cos θ+27=0,易知|e2|≠0,所以cos θ=-,所以|e1|cos θ=-≤-2,当且仅当,即|e2|=3时,等号成立,所以e1在e2上的投影数量的最大值为-.故选C.
3.C　设正方形A1B1C1D1的中心为O1,连接OO1,DO,O1B1,O1P,如图所示.
易得,OO1⊥平面ABCD,OO1⊥平面A1B1C1D1,∴OO1⊥O1B1,OO1⊥O1P,∴
=0.
∴)·()
=
=0+22+0+|>+0+1
=5+>.
∵<>∈[0,π],∴cos<>∈[-1,1],
∴(.故选C.
4.答案　12
解析　∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴=0.
∵二面角α-AB-β的平面角为120°,
∴<>=180°-120°=60°.
∴=3×62+2×62×cos 60°=144,
∴||=12.
5.答案　
解析　由题意得=9,所以=2.由=7,可得·(·(·(-·(=7,所以=2,即4×3×cos<>=2,所以cos<.
6.解析　(1)连接AP,AD1,则,
∴|.
(2)由(1)知,.
∵,
∴)·.
1

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