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知识 清单破
1.1.2　空间向量基本定理
知识点 1 空间向量共线、共面的有关定理
1.共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a,那么存在唯一的实数λ,使得b=λa.
2.共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,那么向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+
yb.
知识点 2 空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组
(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
2.基底
如果空间中的三个向量a,b,c不共面,则它们的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量,这时
a,b,c组成空间向量的一组基底,记为{a,b,c},其中a,b,c都称为基向量;表达式xa+yb+zc称为向
量a,b,c的线性组合或线性表达式.
当a与e1,e2不共面时,不能这样表示.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.若向量e1,e2不共线,则对空间中任意向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R). (　 )

提示
2.若对向量p可找到三个向量a,b,c,使p=xa+yb+zc(x,y,z∈R),则a,b,c可构成空间向量的一组基
底. (　 )
提示

三个向量必须不共面才行.
3.空间向量的基底确定后,空间内的任何一个向量都能用这组基底唯一表示. (　 )
√
4.若{a,b,c}是空间向量的一组基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则必有x=y=z=0. (　 )
√
5.已知e1,e2,e3不共面,且 =e1+2e2-e3, =-3e1+e2+2e3, =e1+e2-e3,则{ , , }是空间向量
的一组基底.(　 )
√
假设 , , 共面,则存在实数λ,μ,使得 =λ +μ ,即e1+2e2-e3=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-
μ)e3,∴-3λ+μ=1,λ+μ=2且2λ-μ=-1,无解,∴ , , 不共面,∴{ , , }能作为空间向量的一组基底.
提示
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 共面向量定理的应用
证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)向量共面:利用已知条件将其中一个向量表示成另外两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,
则向量p,a,b共面.
(2)空间四点A,B,P,M共面:① =x +y ;② = +x +y ;③ =x +y +z (x
+y+z=1);④ ∥ (或 ∥ 或 ∥ ).(O为空间中不与A,B,P,M重合的任一点,x,y,z∈
R)
典例 如图,四边形ABCD是平行四边形,过平面ABCD外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射
线上分别取点E,F,G,H,使 = = = =k,证明:E,F,G,H四点共面.

证明 因为 = = = =k,所以 =k , =k , =k , =k .
连接AC,EG,在 ABCD中, = + ,
所以 = - =k( - )=k =k( + )=k( - + - )= - + - = + .
由共面向量定理可知, , , 共面,
又 , , 过同一点E,
所以E,F,G,H四点共面.
疑难 2 空间向量基本定理的应用
1.用基底表示向量
　　若未给定基底,则先根据已知条件确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基底.基
底确定后,利用空间向量的三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换,把目标向量
逐步分解,向基底靠近,最后化简整理求出结果.
2.利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、模、夹角
根据已知条件确定基底,一般用已知的向量(向量的模、夹角已知)作为基向量,用基底表示要
求的向量,可证平行、垂直,可求两向量的数量积、夹角,向量的模.
典例 如图,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E是线段CD的中点,O在线段BE上,且 =2 .设
=a, =b, =c,以{a,b,c}为基底,用向量法解决下列问题:

(1)用基底表示向量 ;
(2)证明: ⊥ , ⊥ .
解析 (1)连接AE.
= + = + = + ( - )= + = + × ( + )= + +
= a+ b+ c.
(2)证明:由题意知,a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a= , =b-a, =c-a.
∵ · = (a+b+c)·(b-a)= (a·b-a2+b2-b·a+c·b-c·a)=0,
∴ ⊥ .
∵ · = (a+b+c)·(c-a)= (a·c-a2+b·c-b·a+c2-c·a)=0,
∴ ⊥ .1.1.2　空间向量基本定理
基础过关练
题组一　共线向量基本定理
1.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　)
A.A,B,D　　　　B.A,B,C
C.B,C,D　　　　D.A,C,D
2.设空间向量e1,e2不共线,若ke1+e2与e1+ke2共线,则实数k的值为　　　　.
3.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,请判断是否共线.
题组二　共面向量定理
4.(多选题)已知空间向量a,b,c不共面,则下列各选项中的三个向量共面的有(　　)
A.a-b,b-c,c-a
B.a+b,b+c,c+a
C.a+b,a+c,b-c
D.a-2b+c,-a+3b+2c,-3a+7b
5.(多选题)已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,则能确定点M,A,B,C共面的是(　　)
A.
B.
C.
D.
6.已知向量e1,e2,e3是三个不共面的非零向量,且a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=11e1+5e2+λe3,若向量a,b,c共面,则λ=　　　　.
7.如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=DD1.
(1)求证:A,E,C1,F四点共面;
(2)若,求x+y+z的值.
题组三　对空间向量基本定理的理解
8.(多选题)给出下列命题,其中正确的有(　　)
A.空间任意三个向量都可以作为一组基底
B.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间向量的一组基底,则a,b共线
C.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}中的基向量对应相等
D.已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间向量的一组基底
9.若{a,b,c}是空间向量的一组基底,则下列能构成空间向量的另一组基底的是(　　)
A.b+c,a+c,a-b
B.a+b+c,a+b,a+c
C.a-b+c,a-b,a+c
D.2b-2c,a+b,a+c
题组四　空间向量基本定理的应用
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点,若=a,=b,=c,则用基底{a,b,c}表示向量为(　　)
A.a-b+c B.a-b-c
C.a-b+c D.a-b+c
11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M是棱CC1的中点,连接B1M、BC1交于点P,则=(　　)
A. B.
C. D.
12.如图,在正四面体P-ABC中,M,N分别为PA,BC的中点,D是线段MN上一点,且ND=2DM,若(x,y,z∈R),则x+y+z的值为　　　　.
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知=a,=b,=c,O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,则=　　　　.
14.如图,在正四面体A-BCD中,
M,N分别为棱BC,AB的中点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示向量,则夹角的余弦值为　　　　.
15.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1=4,且∠A1AD=∠A1AB=60°,M为BD的中点,P为BB1的中点,设=a,=b,=c.
(1)用向量a,b,c表示向量;
(2)求线段PM的长度.
能力提升练
题组一　共面向量定理的应用
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,
P,M为空间中任意两点,如果,那么点M在(　　)
A.平面BAD1内　　　　B.平面BA1D内
C.平面BA1D1内　　　　D.平面AB1C1内
2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分别在棱BB1,BC,BA上,且满足
,O是平面B1HN,平面ACM与平面B1BDD1的一个公共点,设,则x+y+3z=(　　)
A.2　　　　B.
3.已知圆锥PO(P为圆锥顶点,O为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形,A,B,C为底面圆周上三点,空间一动点Q满足,则||的最小值为　　　　.
4.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,,AC1与平面EFG交于点M,则=　　　　.
题组二　空间向量基本定理的应用
5.如图,在四面体B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,△ABD是等边三角形,AD=CD,AD⊥CD,M为AB的中点,N在侧面BCD上(包含边界),若(x,y,z∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.若x=,则MN∥平面ACD
B.若z=0,则MN⊥CD
C.当|MN|最小时,x=
D.当|MN|最大时,x=0
6.如图,在三棱锥P-ABC中,G为△ABC的重心,点M在PG上,且PM=3MG,过点M任意作一个平面分别交棱PA,PB,PC于D,E,F三点,若,求证:为定值.
答案与分层梯度式解析
1.1.2　空间向量基本定理
基础过关练
1.A 4.ACD 5.ABD 8.BD 9.C 10.C 11.B
1.A　因为=2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三点共线.
2.答案　±1
解析　∵ke1+e2与e1+ke2共线,∴ke1+e2=t(e1+ke2)(t∈R),则(k-t)e1+
(1-tk)e2=0.
∵向量e1,e2不共线,∴k-t=0,1-tk=0,∴k=±1.
3.解析　共线.理由如下:
取AC的中点G,连接EG,FG,
∵E,F分别为AB,CD的中点,
∴,
∴),即共线.
4.ACD　对于A,因为a-b=-(b-c)-(c-a),所以a-b,b-c,c-a共面;
对于B,假设a+b,b+c,c+a共面,则存在λ,μ∈R,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c,所以无解,所以a+b,
b+c,c+a不共面;
对于C,因为b-c=(a+b)-(a+c),所以a+b,a+c,b-c共面;
对于D,因为a-2b+c=(-a+3b+2c)-(-3a+7b),所以a-2b+c,-a+3b+2c,
-3a+7b共面.
故选ACD.
5.ABD　空间四点A,B,C,M共面的充要条件是,其中O为空间中不与A,B,C,M重合的点,x+y+z=1.故选ABD.
6.答案　1
解析　因为向量a,b,c共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即11e1+5e2+λe3=(2m-n)e1+(-m+4n)·e2+(m-2n)e3,即
7.解析　(1)证明:连接AC1,AC,则, ∴A,E,C1,F四点共面.
(2)) = =-,
∴x=-1,y=1,z=.
8.BD　空间中共面的三个向量不能作为一组基底,故A错误;两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间向量的一组基底,说明a,b与任何一个向量都共面,故a∥b,故B正确;空间向量的基底不唯一,只要是不共面的三个向量都可以作为一组基底,故C错误;{a,b,c}是空间向量的一组基底,即a,b,c不共面,由m=a+c知m,a,c共面,故b与m,a不共面,则{a,b,m}是空间向量的一组基底,故D正确.故选BD.
9.C　因为b+c=(a+c)-(a-b),所以b+c,a+c,a-b共面,所以b+c,a+c,a-b不能构成空间向量的一组基底.
因为a+b+c=+b++c,所以a+b+c,+b,+c共面,所以a+b+c,+b,+c不能构成空间向量的一组基底.
假设存在实数m,n,使得a-b+c=m(a-b)+n(a+c)=(m+n)a-mb+nc,则无解,所以a-b+c,a-b,a+c不共面,所以{a-b+c,a-b,a+c}是空间向量的一组基底.
因为2b-2c=2[a+b-(a+c)],所以2b-2c,a+b,a+c共面,所以2b-2c,a+b,a+c不能构成空间向量的一组基底.故选C.
方法归纳　判断给出的三个向量能否构成基底,关键是要判断它们是否共面,当从正面难以入手时,可用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断.
10.C　连接BD,∵E为PD的中点,∴(-b+++(a+c-2b)=-+.故选C.
11.B　在平行四边形BB1C1C中,因为M为CC1的中点,且BB1∥CC1,所以,所以),所以.故选B.
12.答案　
解析　+
,所以x=,所以x+y+z=.
13.答案　-++
解析　连接OG,则) =
++.
14.答案　+-c;-
解析　连接AM,则+-c,.
设正四面体的棱长为1.
易知|a|=|b|=|c|=1,a·b=a·c=b·c=.
则cos<=.
15.解析　(1)(b-a-c).
(2)由题意得|a|=|b|=2,|c|=4,a·b=0,a·c=b·c=2×4×=4,
所以(b-a-c)2=(b2+a2+c2-2a·b-2b·c+2a·c)=×(4+4+16-0-8+8)=6,
所以|,即线段PM的长度为.
能力提升练
1.C 2.C 5.C
1.C　因为,所以M,B,A1,D1四点共面.故选C.
2.C　由题意可得y·.
∵O,A,C,M四点共面,O,H,N,B1四点共面,
∴,
∴x+y+3z=.故选C.
3.答案　
解析　因为,
所以Q,A,B,C四点共面.
易得PO⊥平面ABC,所以||≥||.
因为圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形,
所以|,所以||的最小值为.
4.答案　
解析　设(0<λ<1).易知
,所以,又M,E,F,G四点共面,所以3λ+3λ+λ=1,解得λ=.
5.C　连接BN.因为N在侧面BCD上(包含边界),所以可设,λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1,所以.
又,所以且λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1.
对于A,若x=,则λ=μ=0,所以点N与点B重合,显然MN∩平面ACD=A,故A错误.
对于B,若z=μ=0,则,所以点N在线段BC上(包括端点).
因为AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,CD 平面ACD,所以CD⊥平面ABD,
所以当点N与点B重合时,MN⊥CD,故B错误.
对于C,D,过M作ME⊥BD,垂足为E,则|BE|=|BM|·cos∠ABD=|BD|,
|ME|=|BM|·sin∠ABD=|BD|.
连接NE,因为CD⊥平面ABD,ME 平面ABD,所以ME⊥CD,又ME⊥BD,
BD∩CD=D,BD,CD 平面BCD,所以ME⊥平面BCD,所以ME⊥NE,所以|MN|=,显然当点N与点E重合时,|MN|最小,此时λ=0,μ=,所以y=0,z=;当点N与点C重合时,|MN|最大,此时λ=1,μ=0,所以y=1,z=0,x=-,故C正确,D错误.故选C.
6.证明　连接AG并延长,交BC于点H,由题意,{}可作为空间向量的一组基底,.连接DM.因为点D,E,F,M共面,所以存在唯一的实数对(λ,μ),使,即),所以.
由空间向量基本定理,知=μt,所以=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4,为定值.
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