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知识 清单破
2.2.4　点到直线的距离
知识点 距离公式
1.点到直线的距离
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离d= .
注意:利用点到直线的距离公式解决相关问题时,不管设直线方程的何种形式,最后都要化成
一般式方程后才可用公式.
2.两条平行直线间的距离
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)间的距离d= .
注意:①两直线方程中x,y的系数对应相等;②求两平行直线间的距离可转化为求其中一条直
线上任意一点到另一条直线的距离.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
1.当点在直线上时,点到直线的距离公式仍然适用. (　 )
√
2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离是 . (　 )

将直线方程化为一般式为kx-y+b=0,所以P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 .
提示
3.直线x+2y+1=0与2x+4y+3=0之间的距离d= . (　 )

讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 距离公式的应用
常见距离公式的应用问题的解题策略
(1)最值问题
①利用对称转化为两点之间的距离问题.
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离问题.
③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值.
(2)求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组,通过解方程或方程组求参数的
值.
(3)求直线方程问题:利用直线方程的各种形式,结合直线的位置关系,巧设直线方程(平行直线
系、垂直直线系及过定点的直线系),借助距离公式求解.
典例1 (1)已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则 的最小值为 (　 )
A. 　 B. 　 C.1　 D.
(2)已知实数x,y满足2x+y+3=0,则 的最小值为　　　 .
C
解析 (1)设P(m,n),Q(a,b),则|PQ|= .
依题意,P,Q两点分别在直线l1:3x+4y-6=0与l2:3x+4y-1=0上.
易知直线l1与l2平行,所以|PQ|的最小值就是两平行直线间的距离d,又d= =1,所以
的最小值为1.故选C.
(2) = .
设P(x,y),A(-1,0),则 表示点P与点A之间的距离.
又点P(x,y)在直线2x+y+3=0上,
所以 的最小值即为点A到直线2x+y+3=0的距离.
易知点(-1,0)到直线2x+y+3=0的距离为 = ,
故所求最小值为 .
典例2 已知点A(2,-1).
(1)求过点A且使原点到直线的距离为2的直线方程;
(2)求过点A且使原点到直线的距离最大的直线方程,并求出最大距离;
(3)是否存在过点A且使原点到直线的距离为3的直线 若存在,求出直线方程;若不存在,请说
明理由.
解析 (1)当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,原点到该直线的距离等于2,符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由已知得 =2,解得k= ,
此时直线方程为3x-4y-10=0.
综上,所求直线方程为x=2和3x-4y-10=0.
(2)过点A且使原点到直线的距离最大的直线是过点A且与直线OA垂直的直线(O为原点),
易知kOA=- ,所以所求直线的斜率为2,
因此,所求直线方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.
最大距离d= = .
(3)不存在.理由如下:
由(2)可知,过点A的直线中,原点到直线的最大距离为 ,而 <3,因此不存在过点A且使原点
到直线的距离为3的直线.
技巧点拨 解这类题目常用的方法是待定系数法,即根据题意设出方程,然后结合已知条件
求参数.也可以综合应用直线的有关知识,充分发挥几何图形的直观性,找到所求直线的特征,
然后由已知条件求出直线的方程.
疑难 2 常见的对称问题及应用
讲解分析
1.对称点的求法
(1)求点关于点的对称点坐标:若点M(x1,y1)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y),则由中点坐标公式
可得
(2)求点关于直线的对称点坐标:设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的对称点为N(x,
y),则点N的坐标可根据M,N的连线垂直于直线l及MN的中点在直线l上列方程组
求得.
2.对称直线的求法
(1)求直线关于点的对称直线:可在已知直线上任取两点,求出这两点关于点的对称点,再由对
称点确定对称直线;也可利用两对称直线相互平行及已知点到两直线的距离相等求解.
(2)求直线关于直线的对称直线:求解直线l1关于直线l对称的直线l2时,可利用l1上的点关于直
线l的对称点必在l2上进行求解,当直线l1与直线l平行时,还可用直线l1,l2与直线l的距离相等求
解.
典例 已知直线l:x+2y-2=0,试求:
(1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标;
(2)直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程;
(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.
解析 (1)设点P(-2,-1)关于直线l的对称点为P'(x0,y0),则PP'⊥l,且线段PP'的中点在直线l上.
所以 解得
故点P'的坐标为 .
(2)解法一:由 得直线l与l1的交点为N(2,0),在l1上任取一点B(0,-2),设B关于直线l
的对称点为B'(x1,y1),则 解得 即B' ,
所以直线l2的斜率为kNB'= =7,
所以l2的方程为y=7(x-2),即7x-y-14=0.
解法二:由于直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线为l2,则l2上任一点P1(x,y)关于l的对称点P'1(x',y')
一定在直线l1上.
由 得
把(x',y')代入方程y=x-2并整理,得7x-y-14=0,故l2的方程为7x-y-14=0.
(3)解法一:设直线l关于点A(1,1)对称的直线为l',则直线l'上任一点P'2(x'2,y'2)关于点A的对称点
P2(x2,y2)一定在直线l上.
由 得
将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直线l'的方程为x+2y-4=0.
解法二:设直线l关于点A(1,1)对称的直线方程为x+2y+c=0(c≠-2).
由题意得 = ,
解得c=-2(舍去)或c=-4,
所以直线l关于点A(1,1)对称的直线方程为x+2y-4=0.2.2.4　点到直线的距离
基础过关练
题组一　点到直线的距离公式及其应用
1.点P(0,1)到直线x-y-1=0的距离等于(　　)
A.　　　　D.2
2.若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为(　　)
A.(1,2)　　　　 B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1)　　　　D.(2,1)或(-1,2)
3.(多选题)已知A(-1,-2),B(2,4)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为(　　)
A.-4　　　　B.3　　　　C.-2　　　　D.1
4.已知点P(-2,3),点Q是直线l:3x+4y+3=0上的动点,则|PQ|的最小值为(　　)
A.2　　　　B.
5.若直线l:y=k(x+2)上存在两个与原点间的距离等于1的点,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-2,2)　　　　B.(-)
C.(-1,1)　　　　D.
6.已知A(3,3),B(2,-5),C(-2,-7),设△ABC的边BC上的高所在直线为l,则点P(0,-1)到l的距离为　　　　.
题组二　两条平行直线间的距离公式及其应用
7.两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+6=0间的距离为d,则a,d的值分别为(　　)
A.6,
8.设P,Q分别为直线3x+4y-12=0与3x+4y+3=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
9.若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则直线l1关于直线l2对称的直线方程为(　　)
A.x-2y-13=0　　　　B.x-2y+2=0
C.x-2y+4=0　　　　 D.x-2y-6=0
10.一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于的直线方程为　　 .
11.已知直线l1:2x+3y+18=0,l2:2x+3y-8=0,在l1上任取一点A,在l2上任取一点B,过线段AB的中点作l2的平行线l3.
(1)求直线l1与l2间的距离;
(2)求直线l3的方程.
能力提升练
题组　距离公式的综合应用
1.若点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M与原点间的距离的最小值为(　　)
A.3
2.已知直线l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,点M(4,3),记M到l的距离为d,则d的取值范围为(　　)
A.[0,8)　　　　B.[0,8]
C.[0,2]
3.在平面直角坐标系中,点P(a,b)满足|a|+|b|=1,记d为点P到直线x-my-2=0的距离.当a,b,m变化时,d的最大值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
4.已知直线l1:x-y+2=0,l2:x-y-2=0,直线l3垂直于l1,l2,垂足分别为A,B,若C(-4,0),D(4,0),则|CA|+|AB|+
|BD|的最小值为(　　)
A.
C.2　　　　D.8
5.已知直线l1:2x-y+2=0与l2:x+2y+1=0相交于点P,过点Q(1,1)的直线l与l1,l2分别交于点M,N,写出一个使“”成立的直线l的方程:　　　　　.
6.已知三条直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,l3:x+y-1=0,且原点到直线l1的距离是.
(1)求实数a的值;
(2)若a>0,能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:①点P在第一象限;②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
7.已知直线l的方程为(2-m)x+(2m
+1)y+3m+4=0(m∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)当m为何值时,点Q(3,4)到直线l的距离最大,最大值为多少
(3)若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值及此时直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
2.2.4　点到直线的距离
基础过关练
1.C 2.C 3.AC 4.B 5.D 7.B 8.A 9.A
1.C　所求距离为.
2.C　设点P的坐标为(x,5-3x),则由点到直线的距离公式,得,即|4x-6|=2,所以4x-6=±2,所以x=1或x=2,所以点P的坐标为(1,2)或(2,-1).
3.AC　由题意得,所以|a+1|=|2a+5|,解得a=-2或a=-4.故选AC.
4.B　|PQ|的最小值为点P到直线l的距离,
∴|PQ|min=.故选B.
5.D　由题意得原点到直线l的距离小于1,所以<1,解得-.
6.答案　2
解析　由题意得kBC=,则kl=-2,又直线l过点A(3,3),所以直线l的方程为y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0,所以P(0,-1)到l的距离d=.
7.B　由题意得2×(-3)-(-1)×a=0,解得a=6.
将其代入ax-3y+6=0中,化简得2x-y+2=0.
所以d=.故选B.
8.A　易知直线3x+4y-12=0与3x+4y+3=0平行,所以|PQ|的最小值就是两条平行直线间的距离,为=3.故选A.
9.A　因为l1与l2平行,所以n=-2×2=-4,所以l2:x-2y-3=0,又l1与l2之间的距离是2,所以,又m>0,所以m=7,即直线l1:x-2y+7=0.设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y+c=0(c≠7,且c≠-3),则2,解得c=-13或c=7(舍去),故所求直线方程为x-2y-13=0.故选A.
10.答案　x-2y+c=0(c<-2或c>8)(写出符合条件的一条直线方程即可)
解析　因为所求直线与直线x-2y+3=0平行,所以设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠3).因为所求直线与直线x-2y+3=0间的距离大于,所以,解得c<-2或c>8.故与直线x-2y+3=0平行且距离大于的直线方程为x-2y+c=0(c<-2或c>8).
11.解析　(1)易知l1与l2平行,所以直线l1与l2间的距离d=.
(2)因为l3与l2平行,所以可设l3的方程为2x+3y+C=0(-8由题意及(1)知l3与l1间的距离为,
所以,解得C=5或C=31(舍去),
所以l3的方程为2x+3y+5=0.
能力提升练
1.A 2.C 3.C 4.C
1.A　由题意知l1∥l2,点M在直线l1与l2之间且在与直线l1,l2距离
相等的直线上,设其方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则,解得c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M与原点间的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,为.
2.C　若直线l过点M(4,3),则点M到直线l的距离d=0.
直线l的方程(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0可化为m(x+y-3)+2x-y-3=0.
令故直线l过定点(2,1),记为A.
易知当直线l与直线MA垂直时,M到l的距离最大,为|MA|=,此时kMA==1,所以kl=-=-1,无解,所以0≤d<2.故选C.
3.C　直线x-my-2=0恒过点(2,0),设其为C.
作出点P满足的图形如图所示.
旋转直线x-my-2=0,可以发现,当直线垂直于x轴时,点A(-1,0)到直线的距离最大,为|AC|=3.
所以当a,b,m变化时,d的最大值为3.故选C.
4.C　由两条平行直线间的距离公式得|AB|=2.
设直线l3的方程为x+y=2m(m∈R).
由所以A(m-1,m+1).
同理,得B(m+1,m-1).
所以|CA|+|AB|+|BD|=.
易知表示动点(m,m)(记为M)到定点(-3,-1)(记为E)与(3,1)(记为F)的距离的和.
显然动点M(m,m)在直线y=x上,点E(-3,-1)与F(3,1)在直线y=x的两侧,所以|ME|+|MF|≥|EF|=2,即的最小值为2,故|CA|+|AB|+|BD|的最小值为2.故选C.
5.答案　x=1(或3x-4y+1=0)
解析　由所以P(-1,0),所以kPQ=,所以直线PQ的方程为y=(x+1),即x-2y+1=0.
设点M,N到直线PQ的距离分别为d1,d2.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,则M(1,4),N(1,-1),所以d1=,所以,符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-1).
由所以M,
所以d1=.
同理,得N,
所以d2=.
所以,解得k=,
所以直线l的方程为y-1=(x-1),即3x-4y+1=0.
综上,直线l的方程为x=1或3x-4y+1=0.
6.解析　(1)由题意得,解得a=±3.
(2)由题意及(1)得a=3,所以l1:2x-y+3=0.
假设能找到满足题意的点P(x0,y0)(x0>0,y0>0).
若点P满足条件②,则,化简得4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0.
若点P满足条件③,则,化简得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
∵P是第一象限的点,∴3x0+2=0不符合题意,舍去.
由不符合题意,舍去.
由
∴满足题意的点P的坐标为.
7.解析　(1)证明:将直线l的方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0整理,得2x+y+4+m(-x+2y+3)=0(m∈R).
令
所以直线l过定点(-1,-2).
(2)记(-1,-2)为P.由题意得,点Q与定点P(-1,-2)之间的距离就是点Q到直线l的距离的最大值,为.
因为kPQ=,所以直线l的斜率为-,即-,解得m=,所以当m=时,点Q(3,4)到直线l的距离最大,最大值为2.
(3)设直线l的方程为y+2=k(x+1),k<0,
则A,B(0,k-2),所以S△AOB=≥2+2=4,当且仅当k=-2时取等号,所以
△AOB面积的最小值为4,此时直线l的方程为2x+y+4=0.
2

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