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　　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点就是圆心,定长就是半径.
第2章 圆与方程
2.1　圆的方程
知识点 1 圆的定义
必备知识 清单破
　
1.圆的标准方程
　　方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫作以点(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程.特别地,当a=b=0 时,方程为x2+y2=r2(r>0),表示以原点为圆心,r为半径的圆.
2.圆的一般方程
方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程,化为标准形式为 + =
,表示以点 为圆心, 为半径的圆.
　　说明:①当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 ;
②当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形;
③二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆时,B=0,A=C≠0.
知识点 2 圆的方程
　　已知圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)或一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 设所给点为M(x0,y0),则点与圆的位置关系如表:
知识点 3 点与圆的位置关系
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 MC=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2(或 + +Dx0+Ey0+F=0)
点在圆内 MC点在圆外 MC>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2(或 + +Dx0+Ey0+F>0)
知识拓展
圆的直径式方程与圆的参数方程
(1)若圆的直径端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
(2)若点P(x,y)满足 (α为参数)(*),则点P的轨迹是圆心为(a,b),半径为r的圆.(*)式
叫作圆的参数方程.
知识辨析
1.方程(x0-a)2+(y0-b)2=m2一定表示圆吗
2.过原点的圆的标准方程是否可表示为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)
3.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)一定表示圆吗
4.如果方程x2+y2+2kx+2y+2k2=0表示圆,那么k的取值范围是什么 点A(1,2)与此圆有怎样的位 置关系
一语破的
1.不一定.当m2>0时,方程表示以(a,b)为圆心,|m|为半径的圆;当m2=0时,方程表示点(a,b).
2.可以.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由原点在圆上得a2+b2=r2≠0,因此过原点的圆的标 准方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0).
3.一定.方程可化为x2+y2+ax-ay=0(a≠0),因为D2+E2-4F=2a2>0,所以方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠ 0)一定表示圆.
4.由方程表示圆,得(2k)2+22-4×2k2>0,解得-10,故 点A在圆外.
定点 1 圆的方程的求解
关键能力 定点破
1.直接代入法
　　确定圆心坐标和半径,直接代入圆的标准方程即可,确定圆心坐标和半径的方法:
(1)利用条件确定圆心C(a,b)及半径r.
(2)利用几何性质确定圆心C(a,b)及半径r,常用的几何性质如下:
①圆心与切点的连线垂直于圆的切线;
②圆心到切线的距离等于圆的半径r;
③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2;
④圆的弦的垂直平分线过圆心;
⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点,则此两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与 直线l的交点为圆心.
2.待定系数法
(1)根据题意,设出所求圆的标准方程或一般方程;
(2)根据已知条件,建立关于参数的方程组;
(3)解方程组,求出参数的值;
(4)将参数代入所设的方程中,即可得到所求圆的方程.
典例 求满足下列条件的圆的标准方程.
(1)圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3);
(2)与圆x2+y2-4x+6y+7=0同圆心且过点P(-1,1);
(3)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(4,0),C(0,0),求△ABC外接圆的方程.
解析 (1)设圆心坐标为(a,0),因为点A(2,-3)在圆上,所以(2-a)2+(-3)2=25,
所以a=6或a=-2.
所以所求圆的标准方程为(x-6)2+y2=25或(x+2)2+y2=25.
(2)解法一:设圆的方程为x2+y2-4x+6y+F=0(F≠7),把(-1,1)代入,得F=-12,
所以圆的方程为x2+y2-4x+6y-12=0,化为标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
解法二:圆x2+y2-4x+6y+7=0的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=6,圆心坐标为(2,-3),设所求圆的方程为 (x-2)2+(y+3)2=r2(r>0,r≠ ),
将(-1,1)代入,得r2=25,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
(3)解法一:易得AC的垂直平分线的方程为y= ,CB的垂直平分线的方程为x=2,
所以圆心坐标为 ,半径r= = ,
所以△ABC的外接圆的标准方程为(x-2)2+ = .
解法二:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则由 解得
所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-4x-3y=0,化为标准方程为(x-2)2+ = .
方法技巧 用待定系数法求圆的方程时,若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,通常设圆的标 准方程;若已知条件为多个点,通常设圆的一般方程.
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法:根据已知条件,先抽象出动点间的几何关系,再利用解析几何的有关公式(两点间的 距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简,即把这种关系“翻译”成含x,y的等式.
(2)定义法:若动点轨迹满足已知曲线的定义,则可先设方程,再确定其中的基本量,进而求出动 点的轨迹方程.
(3)相关点法:有些问题中,动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相 关点)的运动而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动 点坐标表示相关点坐标,根据相关点坐标所满足的条件即可求得动点的轨迹方程.
定点 2 与圆有关的轨迹问题
典例 已知△ABC的顶点A(0,0),B(6,0).
(1)若CB=2CA,求顶点C的轨迹方程;
(2)若顶点C在曲线y=x2+3上运动,求△ABC的重心的轨迹方程.
思路点拨 (1)利用直接法求.先令C(x,y),再直接利用两点间的距离公式列方程求解.(2)用相 关点法求.先设出重心坐标(m,n),然后用m,n表示C的坐标,最后代入曲线方程得轨迹方程.
解析 (1)设C(x,y),由CB=2CA,得(x-6)2+y2=4(x2+y2),整理得x2+y2+4x-12=0,
又A,B,C三点不能共线,所以C的轨迹方程为x2+y2+4x-12=0(y≠0).
(2)设△ABC的重心为(m,n),则C(3m-6,3n),
由顶点C在曲线y=x2+3上运动,得3n=(3m-6)2+3,所以n=3(m-2)2+1,
则重心的轨迹方程为3(x-2)2-y+1=0.
方法技巧 若除了求轨迹方程的动点外,无其他动点,一般考虑直接法;若有多个动点,且其坐 标之间存在一定关系,则考虑用相关点法,注意此时设要求轨迹的动点坐标.第2课时　圆的一般方程
基础过关练
题组一　对圆的一般方程的理解
1.若方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆,则m=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.-1或1　　　　D.-2或2
2.若a∈,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.已知圆E:x2-ax+y2-2y-2=0关于直线l:x-y=0对称,则a=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
4.已知点A(1,2)在圆C:x2+y2+mx-2y+2=0外,则实数m的取值范围为　　　　　　　　　.
题组二　求圆的一般方程
5.与圆x2+y2-2x+4y+3=0同圆心,且过点(1,-1)的圆的方程是　(　　)
A.x2+y2-2x+4y-4=0　　　　B.x2+y2-2x+4y+4=0
C.x2+y2+2x-4y-4=0　　　　D.x2+y2+2x-4y+4=0
6.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为(　　)
A.x2+y2-6x-6y-16=0　　　　B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0　　　　D.x2+y2-2x+2y-56=0
7.圆C:x2+y2-4y=0关于直线y=2x+1对称的圆的方程为(　　)
A.x2+y2-2x-2y=0　　　　
B.x2+y2-2x-4y+1=0
C.x2+y2-=0　　　　
D.x2+y2-=0
8.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限内,半径为,则圆C的一般方程为　　　　　　　.
题组三　求动点的轨迹方程
9.已知点P(4,3),点Q在圆x2+y2=4上运动,若点M满足,则点M的运动轨迹围成图形的面积为(　　)
A.π　　　　B.2π　　　　
C.3π　　　　D.4π
10.当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接点P与定点Q(3,0),则线段PQ的中点M的轨迹方程为　　　　　　　　　.
11.已知圆O:x2+y2=4,直线l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0.若l过定点P,点M,N在圆O上,且PM⊥PN,Q为线段MN的中点,则点Q的轨迹方程为　　　　　　　　.
12.已知△ABC的顶点A(-2,0),B(2,0),
C(1,).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程;
(2)在△ABC外接圆上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹方程.
能力提升练
题组一　圆的方程
1.若圆x2+y2+2x-4y+1=0被直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)平分,则的最小值为(　　)
A.
2.由曲线x2+y2=2|x|+2y围成的图形的面积为(　　)
A.2π　　　　B.3π　　　　C.2π+3　　　　D.3π+2
3.已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为　(　　)
A.+1
题组二　圆的方程的综合应用
4.已知点A(-1,-1)与点B关于直线x+y-1=0对称,与点C关于x轴对称,若过A,B,C三点的圆与x轴和直线x+y-1=0交于四点,则以这四个点为顶点的四边形的面积为(　　)
A.6
5.已知a≠0,点(a,b)是圆x2+y2-4x-8y+16=0上任意一点,则　　(　　)
A.a+b的最大值是4+2
B.
C.a2+b2的最小值是24+8
D.a2+b2-2a+2b的最大值是30+4
6.已知点P(-1,-1),点M为圆O:x2+y2=1上的任意一点,点N在直线OP上,其中O为坐标原点,若MP=MN恒成立,则点N的坐标为　　　　.
7.在△ABC中,AB=3,sin B=m·sin A(m≥2),则△ABC面积的最大值为　　　　.
8.已知动点M与两定点Q,P的距离之比=λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,定点Q为x轴上一点,P,且λ=2,若点B(1,1),则2MP+MB的最小值为　　　　.
9.如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向,且距O岛40千米处,B岛在O岛的正东方向,且距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,圆C经过O,A,B三点.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船在O岛的南偏西30°方向,且距O岛40千米的M处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问:该船有没有触礁的危险,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第2课时　圆的一般方程
基础过关练
1.D　由方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆,可得=1,解得m=±2.
故选D.
2.C　当方程表示圆时,有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)=-3a2-4a+4>0,即(3a-2)(a+2)<0,解得-2又a∈,所以a∈.故选C.
3.C　由于圆E关于直线l对称,所以圆心在直线l上,所以-1=0,解得a=2,故选C.
4.答案　(-3,-2)∪(2,+∞)
解析　因为方程x2+y2+mx-2y+2=0表示圆,
所以m2+(-2)2-4×2>0,即m>2或m<-2,①
因为点A在圆C外,
所以12+22+m-2×2+2>0,即m>-3,②
由①②得-32,
故实数m的取值范围为(-3,-2)∪(2,+∞).
易错警示　　　在运用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0时,要注意隐含条件D2+E2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.
5.B　设所求圆的方程为x2+y2-2x+4y+m=0(m≠3),由该圆过点(1,-1),得12+(-1)2-2×1+4×(-1)+m=0,解得m=4,
所以所求圆的方程为x2+y2-2x+4y+4=0.故选B.
方法技巧　　　与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)同圆心且不重合的圆的方程可设为x2+y2+Dx+Ey+λ=0,D2+E2-4λ>0,λ≠F.
6.C　设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则圆心坐标为,
所以
所以圆C的方程为x2+y2-6x-6y+8=0.故选C.
7.D　将圆C:x2+y2-4y=0化为标准形式为x2+(y-2)2=4,则圆心C(0,2),半径r=2.
设点C(0,2)关于直线y=2x+1对称的点为D(x0,y0),则
即对称圆的圆心为D.
又两圆半径相等,所以所求圆的方程为=4,化为一般方程为x2+y2-=0.
故选D.
8.答案　x2+y2+2x-4y+3=0
解析　易知圆心C的坐标为.
因为圆心在直线x+y-1=0上,
所以--1=0,即D+E=-2.①
因为,所以D2+E2=20.②
由①②可得
又圆心在第二象限内,所以->0,
即D>0,E<0,所以
所以圆C的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
9.A　设M(x,y),Q(x0,y0),
由得M是线段PQ的中点,∴
又Q在圆x2+y2=4上,∴(2x-4)2+(2y-3)2=4,即(x-2)2+=1,
∴点M的轨迹是半径为1的圆,面积S=π×12=π,故选A.
10.答案　x2-3x+y2+2=0
解析　设M(x,y),因为M是线段PQ的中点,所以点P(2x-3,2y),又点P在圆x2+y2=1上,
故(2x-3)2+(2y)2=1,即x2-3x+y2+2=0,
所以点M的轨迹方程为x2-3x+y2+2=0.
11.答案　
解析　直线l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0,即(x-y)+m(2x+y-3)=0,
令即点P(1,1).
∵PM⊥PN,Q为MN的中点,∴MQ=PQ.
设Q(x,y),易知OQ⊥MN.
所以OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,
即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得,即点Q的轨迹方程为.
12.解析　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,
因为该圆经过A(-2,0),B(2,0),C(1,)三点,
所以
所以△ABC外接圆的一般方程为x2+y2-4=0.
(2)设M(x,y),∵M为线段PD的中点,PD⊥x轴,D为垂足,∴D(x,0),P(x,2y),
又点P在圆x2+y2=4上,
∴x2+(2y)2=4,即+y2=1,
故点M的轨迹方程为+y2=1.
能力提升练
1.C　由题意得圆心(-1,2)在直线2ax-by+2=0上,所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,
又a>0,b>0,所以+2≥2+2=4,当且仅当,即a=b=时取等号,所以的最小值为4.故选C.
2.D　当x≥0时,曲线方程为x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2;
当x<0时,曲线方程为x2+y2=-2x+2y,即(x+1)2+(y-1)2=2,
如图所示,
故所求面积为两个圆的面积减去中间重叠部分的面积,
易知两圆的半径都为,且两圆对称,故所求面积为2×π×()2-2×=3π+2.故选D.
3.D　由x2+y2+2x-2my-4-4m=0,得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,
因此圆心为C(-1,m),半径r=,当且仅当m=-2时,半径最小,即圆的面积最小,此时圆心为C(-1,-2),半径r=1,圆心到坐标原点的距离d=.根据圆的性质,可知圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=+1.
4.D　解法一:设B(x,y),则故B(2,2),
∵点A(-1,-1)与点C关于x轴对称,∴C(-1,1),
设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则
因此圆的方程为x2+y2-2x-4=0,即(x-1)2+y2=5,
由题意易知四边形为矩形(直径所对的圆周角为直角),由解得y=±,
故该四边形的面积为.故选D.
解法二:因为点A(-1,-1)与点B关于直线x+y-1=0对称,
所以过A,B,C三点的圆的圆心在直线x+y-1=0上.
又因为点A(-1,-1)与点C关于x轴对称,
所以过A,B,C三点的圆的圆心在直线y=0上.
由所以圆心坐标为(1,0),设为P,圆的半径为AP=,
故圆的方程为(x-1)2+y2=5,
下同解法一.
5.B　圆的方程可化为(x-2)2+(y-4)2=4,
设0≤θ<2π且θ≠π,即0≤<π且,
则a+b=6+2sin θ+2cos θ=6+2,
当θ=时,a+b取得最大值6+2,故A错误;
=
=tan2,
所以当tan时,,故B正确;
a2+b2=(2+2cos θ)2+(4+2sin θ)2=24+8cos θ+16sin θ=24+8cos(θ-φ1),其中tan φ1=2,
所以当cos(θ-φ1)=-1时,a2+b2取得最小值24-8,故C错误;
a2+b2-2a+2b=(2+2cos θ)2+(4+2sin θ)2-2(2+2cos θ)+2(4+2sin θ)=24+8cos θ+16sin θ-4-4cos θ+8+4sin θ=28+4cos θ+20sin θ=28+4cos(θ-φ2),其中tan φ2=5,
所以当cos(θ-φ2)=1时,a2+b2-2a+2b取得最大值28+4,故D错误.
故选B.
方法总结　　　利用三角换元思想来求最值,是一个很好的方法.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可转化为=1,类比cos2θ+sin2θ=1,可以得到=cos θ,=sin θ,则可进行三角换元0≤θ<2π.
6.答案　
解析　易知直线OP的方程为x-y=0,由题意可设N(x0,x0),M(x',y'),则可得x'2+y'2=1,
由MP=MN,可得=2,
则2(x'+y')+3=2[-2x0(x'+y')+1+2],
即2(1+2x0)(x'+y')=(2x0+1)(2x0-1),
若MP=MN恒成立,则1+2x0=0,解得x0=-,
故N.
7.答案　3
解析　设角A,B,C的对边分别为a,b,c.因为sin B=m·sin A,所以由正弦定理得b=ma,即AC=m·BC,
设边AB的中点为O,以O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
不妨设A,C(x,y),
由AC=m·BC得=m·,
因为m≥2,所以整理得x2+y2-=0,
由此可知点C的轨迹是以为圆心,r=为半径的圆,且除去当y=0时的两个点,
所以当点C在圆上运动时,点C到x轴的最大距离为半径r=,
所以△ABC的面积S=,易知y=在m∈[2,+∞)上单调递减,
所以Smax==3.
8.答案　
解析　由题意可得圆x2+y2=1是关于P,Q的阿波罗尼斯圆,且λ=2,则=2,
设M(x,y),Q(m,0),则=2,
整理得x2+y2+=0,
由该圆的方程为x2+y2=1得
解得m=-2,∴Q(-2,0),
易知2MP+MB=MQ+MB,
如图,当点M位于M1或M2时,MQ+MB取得最小值,且最小值为QB=.
9.解析　(1)由题意得A(40,40),B(20,0),
设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则
所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.
(2)该船有触礁的危险.理由:由题意得M(-20,-20),且该船的航线所在直线(记为l)的斜率为1,
故直线l:x-y+20-20=0,
由(1)知圆心C(10,30),半径r=10,
所以圆心C到直线l的距离d=,所以该船有触礁的危险.
14第2章　圆与方程
2.1　圆的方程
第1课时　圆的标准方程
基础过关练
题组一　对圆的标准方程的理解
1.若直线l:y=ax-b经过第二、三、四象限,则圆C:(x-a)2+(y-b)2=1的圆心位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
2.方程y=-表示的曲线是(　　)
A B C D
3.若直线l:2x+y-1=0是圆C:(x+a)2+y2=1的一条对称轴,则a=　　　　.
4.已知直线l过圆(x-2)2+(y+3)2=4的圆心,且与直线x+2y-4=0平行,则l的方程是　　　　　　.
题组二　求圆的标准方程
5.已知点A(-3,1),B(1,-3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=8　　　　
B.(x+1)2+(y+1)2=8
C.(x-1)2+(y-1)2=32　　　　
D.(x+1)2+(y+1)2=32
6.已知圆C经过A(1,-5),B(0,2)两点,且点C在直线x-y+1=0上,则圆C的标准方程为　　　　　　　　.
7.圆心在直线x-y=0上,且与y轴相切于点(0,1)的圆的标准方程为　　　　　　　.
题组三　点与圆的位置关系
8.点(sin 30°,cos 30°)与圆x2+y2=的位置关系是　(　　)
A.点在圆上　　　　B.点在圆内
C.点在圆外　　　　D.不能确定
9.若点A(a+1,3)在圆C:(x-a)2+(y-1)2=m外,则实数m的取值范围是(　　)
A.(,+∞)　　　　B.(5,+∞)
C.(0,5)　　　　D.(0,)
题组四　圆的标准方程的应用
10.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点的距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点P与A、B的距离之比为,当P、A、B三点不共线时,△PAB面积的最大值是(　　)
A.
11.苏州有很多圆拱形的悬索拱桥,经测得某圆拱索桥的跨度AB=100米,拱高OP=10米,在建造该桥时每隔5米需用一根支柱支撑,则与OP相距30米的支柱MN的长约为(≈3.162)(　)
A.6.48米　　　　B.5.48米 C.4.48米　　　　D.3.48米
能力提升练
题组　圆的标准方程的求解及应用
1.若点A、B在圆C1:(x-2)2+y2=3上运动,AB=2,P为AB的中点,点Q在圆C2:(x+2)2+y2=1上运动,则PQ的最小值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2.已知点P(x,y)在圆x2+y2=2上运动,则|x-y+3|的取值范围为(　　)
A.[0,1]　　　　B.[0,4]　　　　C.[1,5]　　　　D.[1,4]
3.几何学史上有一个著名的米勒问题:“设点M,N是∠AQB(锐角)的边QA上的两点,当点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点时,∠MPN最大.”根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2),N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取得最大值时,该圆的方程是(　　)
A.(x-1)2+(y-2)2=2　　　　B.(x+7)2+(y-10)2=100
C.(x-1)2+(y-2)2=4　　　　D.(x+7)2+(y-10)2=10
4.在圆的方程的探究中,有四位同学分别给出了一个结论,甲:该圆的半径为,乙:该圆经过点(7,0),丙:该圆的圆心为(2,1),丁:该圆经过点(3,3),如果只有一位同学的结论是错误的,那么这位同学是(　　)
A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁
5.在平面内,一只蚂蚁从点A(-2,-3)出发,爬到y轴后又爬到圆C:(x+3)2+(y-2)2=2上,则它爬过的最短路程是　　　　.
6.已知圆M过点P(2,0),Q(-1,),且点P关于直线x+2y=0的对称点P'在圆M上,则圆M的标准方程为　　　　;设N(x,y)是圆M上的任意一点,A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),则NA2+NB2+NC2的最小值为　　　　.
7.已知圆C与x轴、y轴的正半轴分别交于A(2,0),B(0,6)两点,圆心C在第二象限.
(1)若圆C与x轴的另一个交点坐标为(-12,0),求圆C的标准方程;
(2)若OC=(O为坐标原点),求圆C的标准方程.
8.已知点B(6,5),点A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动,线段AB的中点P的轨迹为C2.
(1)求曲线C2的方程;
(2)若点C在曲线C2上运动,点Q在x轴上运动,求QA+QC的最小值.
答案与分层梯度式解析
第2章　圆与方程
2.1　圆的方程
第1课时　圆的标准方程
基础过关练
1.B　∵l经过第二、三、四象限,∴a<0,-b<0,
即b>0,故圆心C(a,b)位于第二象限.故选B.
2.A　对y=-两边平方,整理得x2+y2=4(y≤0),
故方程表示圆心为坐标原点,半径为2的圆在x轴及其下方的部分,故选A.
3.答案　-
解析　易知圆C的圆心C(-a,0).因为直线l是圆C的一条对称轴,所以点C(-a,0)在直线l上,所以2×(-a)-1=0,解得a=-.
4.答案　x+2y+4=0
解析　圆(x-2)2+(y+3)2=4的圆心为(2,-3),由题意可设l的方程为x+2y+m=0(m≠-4),把(2,-3)代入,得2+2×(-3)+m=0,解得m=4,所以l的方程是x+2y+4=0.
5.B　解法一:由题意得圆心为,即(-1,-1),半径r=,
所以圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=8.故选B.
解法二:∵A(-3,1),B(1,-3),
∴以AB为直径的圆的方程为(x+3)(x-1)+(y-1)(y+3)=0,化简整理得(x+1)2+(y+1)2=8.
课外拓展　　　本题解法二用到结论:以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
6.答案　(x+3)2+(y+2)2=25
解析　设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则
所以圆C的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25.
7.答案　(x-1)2+(y-1)2=1
解析　由圆心在直线x-y=0上可设所求圆的圆心坐标为(m,m),
由所求圆与y轴相切于点(0,1),知m=1,故所求圆的半径r=1,
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1.
8.C　因为sin230°+cos230°=,所以点在圆外.故选C.
9.C　由点A在圆C外,得(a+1-a)2+(3-1)2>m,解得m<5,又m>0,所以010.D　以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建系,如图,
则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),
∵,
两边平方,并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8(y≠0),∴动点P的轨迹是以(3,0)为圆心,2为半径的圆(除去点(3±2,0)),
∴△PAB面积的最大值是.
故选D.
11.A　以O为原点,AB、OP所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图.
则P(0,10),A(-50,0).
设圆拱所在圆的方程为x2+(y-a)2=r2,
则
所以圆拱所在圆的方程为x2+(y+120)2=16 900.
将x=-30代入,得900+(y+120)2=16 900,
因为y>0,所以y=40-120≈40×3.162-120=6.48.故选A.
能力提升练
1.B　由题意得P到圆心C1(2,0)的距离为=1,
由圆的定义可知点P的运动轨迹是以C1(2,0)为圆心,1为半径的圆,其方程为(x-2)2+y2=1,
∵点Q在圆C2:(x+2)2+y2=1上运动,∴PQ的最小值为C1C2-1-1=2.故选B.
2.C　|x-y+3|=表示圆上的点P(x,y)到直线x-y+3=0的距离,设为d,
所以|x-y+3|=d,
又圆心(0,0)到直线x-y+3=0的距离d1=,
所以d1-≤d≤d1+,即≤d≤,故1≤d≤5,所以|x-y+3|的取值范围是[1,5].故选C.
3.C　由题意可知,点P为过M,N两点且和x轴相切的圆的切点,易得线段MN的中点坐标为(0,3),kMN==1,
所以线段MN的垂直平分线的方程为y-3=-x,
所以以MN为弦的圆的圆心在直线y-3=-x上,
设该圆圆心为C(a,3-a),又因为圆C与x轴相切,所以圆的半径r=|3-a|,
又CN=r,所以(a-1)2+(3-a-4)2=(3-a)2,解得a=1或a=-7,
当a=-7时,∠MQP是钝角,故舍去.
所以a=1,此时圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4.
故选C.
4.B　设A(3,3),B(2,1),C(7,0),
假设甲的结论错误,则此圆的圆心为B(2,1),且过点A(3,3),C(7,0),此时BA=≠BA,故假设错误,所以甲的结论正确;
假设乙的结论错误,则此圆的圆心为B(2,1),半径为,所以该圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,把点(3,3)代入,等式成立,故该圆经过点A(3,3),故假设正确,所以乙的结论错误;
假设丙的结论错误,则此圆的半径为,且经过点C(7,0),A(3,3),则AC=,故假设错误,所以丙的结论正确;
假设丁的结论错误,则该圆的圆心为B(2,1),半径为,且经过点C(7,0),则BC=,故假设错误,所以丁的结论正确.
综上所述,结论错误的是乙同学.故选B.
5.答案　4
解析　由圆的方程得圆心为C(-3,2),半径为,
设点A(-2,-3)关于y轴的对称点为A',则A'(2,-3),设A'C与圆C交于点P,易知蚂蚁爬过的最短路程为A'P的长,
可得A'P=A'C-.
故蚂蚁爬过的最短路程为4.
6.答案　x2+y2=4;72
解析　由P(2,0),Q(-1,),得线段PQ的中点坐标为,直线PQ的斜率kPQ=,
则线段PQ的垂直平分线的斜率为,方程为y-,整理可得x-y=0,易知圆心M在直线x-y=0上,
由题意可知圆心M也在直线x+2y=0上,联立即M(0,0),
又圆M的半径为MP=2,所以圆M的标准方程为x2+y2=4.
由N(x,y)在圆M上,得x2+y2=4,
易知
整理可得NA2+NB2+NC2=3(x2+y2)-4y+68=80-4y,-2≤y≤2,
易知当y=2时取最小值,为72.
7.
思路分析　(1)
(2)A(2,0),B(0,6)设C圆心C(-5,1)圆的方程
解析　(1)由题意知A(2,0),(-12,0)在圆上,故圆心在直线x==-5上,
又直线AB的斜率为=-3,线段AB的中点坐标为(1,3),
故线段AB的垂直平分线的方程为y-3=(x-1),
令x=-5,得y=1,即圆心C(-5,1),
又半径r=,
所以圆C的标准方程为(x+5)2+(y-1)2=50.
(2)由(1)可知,圆心C在线段AB的垂直平分线y-3=(x-1),即y=上,设圆心C,
又OC=,所以,
解得x=-5或x=.
由于圆心C在第二象限,所以x=-5,故圆心C(-5,1),半径r=,
故圆C的标准方程为(x+5)2+(y-1)2=50.
8.解析　(1)设P(x,y),A(x0,y0),
由于B(6,5),且P是线段AB的中点,
所以x=,故x0=2x-6,y0=2y-5.
所以A(2x-6,2y-5).
因为A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动,
所以(2x-6-4)2+(2y-5-3)2=4,
整理,得(x-5)2+(y-4)2=1,
所以点P的轨迹C2的方程为(x-5)2+(y-4)2=1.
(2)圆C1的圆心为(4,3),半径r1=2,圆C2的圆心为(5,4),半径r2=1,
所以QA+QC≥QC1-r1+QC2-r2=QC1+QC2-3,当且仅当A在线段QC1上且C在线段QC2上时,取等号.
作圆C1关于x轴的对称圆C3,易知圆C3的圆心为(4,-3),当点Q为直线C2C3与x轴的交点时,QC1+QC2取得最小值,且(QC1+QC2)min=C2C3=5,
所以QA+QC的最小值为5-3.
方法技巧　　　与圆有关的形如QA+QC的折线段问题,要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)化曲为直,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和.
13

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