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第3章　圆锥曲线与方程
3.1　椭圆
3.1.1　椭圆的标准方程
基础过关练
题组一　椭圆的定义及其应用
1.(多选题)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切,则圆心C的轨迹可能是(　　)
A.圆　　　　B.椭圆
C.线段　　　　D.射线
2.已知点P为椭圆+y2=1上的一个动点,点F1,F2分别为该椭圆的左、右焦点,当∠F1PF2=时,△F1F2P的面积为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.已知椭圆=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为4,N是MF的中点,O为坐标原点,则线段ON的长是　(　　)
A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3
4.已知F1,F2为椭圆的焦点,且F1F2=2,M,N是椭圆上两点,且,以F1F2为直径的圆经过M点,则△MNF2的周长为(　　)
A.4　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.12
题组二　椭圆的标准方程及其应用
5.已知椭圆C:=1的焦点在y轴上,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-1,3)　　　　B.(-5,-1) C.(-5,3)　　　　D.(-5,-1)∪(-1,3)
6.若动点P(x,y)满足,则动点P的轨迹方程为(　　)
A.=1
C.=1
7.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是(　　)
A.=1(x≠0)　　　　B.=1(x≠0)
C.=1(x≠0)　　　　D.=1(x≠0)
8.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P(3,4)为椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,则椭圆的标准方程为　　　　　　　　.
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)经过点(2,3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点;
(2)经过P(-2,-2)两点.
10.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,F1F2=2,M为C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若P为C上一点,且∠F2PF1=30°,求△F1PF2的面积.
题组三　直线与椭圆的位置关系
11.过椭圆x2+2y2=2的左焦点作斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,则弦AB的长为(　　)
A.
12.如图,已知F1,F2为椭圆=1的左、右焦点,椭圆上的点A在第一象限,且AF2⊥x轴,若线段BF1与x轴垂直,直线AB与椭圆只有一个交点,则BF1,AF1的大小关系是　(　　)
A.BF1=AF1　　　　B.BF1>AF1
C.BF113.已知椭圆=1,过点E(0,1)且斜率为k的直线l与x轴交于点M,与椭圆交于A,B两点,若,则k的值为　　　　.
14.(2023江西南昌外国语学校月考)已知椭圆C:+y2=1,直线l与椭圆C相交于A,B两点,点P为线段AB的中点.
(1)求直线l的方程;
(2)若O为坐标原点,求△OAB的面积.
能力提升练
题组一　椭圆的定义、标准方程及其应用
1.已知椭圆C:=1的左焦点为F,P为C上一动点,定点A(-1,),则PF+PA的最大值为(　　)
A.4
2.古希腊数学家阿波罗尼斯所著的八册《圆锥曲线论》中,首次提出了圆锥曲线的光学性质,其中之一的内容为:若点P为椭圆上的一点,F1、F2为椭圆的两个焦点,则点P处的切线平分∠F1PF2的外角.根据此信息回答下列问题:已知椭圆C:=1,O为坐标原点,l是点P(2,)处的切线,过左焦点F1作l的垂线,垂足为M,则OM=(　　)
A.2
3.已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,点A(0,b),点B在椭圆C上,且,D,E分别是AF2,BF2的中点,且△DEF2的周长为4,则椭圆C的方程为(　　)
A.=1
C.=1
4.(多选题)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,与x轴的负、正半轴的交点分别是A,B,点P是C上的一个动点,则下列结论正确的有(　　)
A.不存在点P,使得∠F1PF2=
B.cos∠APB的最小值为-
C.若∠F1PF2=,则△F1PF2的面积为
D.点P到点(1,0)的距离的最小值为
题组二　直线与椭圆的位置关系
5.椭圆=1的一个焦点为F,过原点O作直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF的面积是20,则直线AB的斜率为(　　)
A.±
6.已知F1、F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,且PF1⊥x轴,点A、B分别是椭圆与x轴、y轴正半轴的交点,且AB∥OP,PF1+PF2=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的左焦点F1作不与坐标轴垂直的直线,交椭圆于M,N两点,线段MN的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q,若点Q的纵坐标的最大值是-,求MN的最大值.
答案与分层梯度式解析
第3章　圆锥曲线与方程
3.1　椭圆
3.1.1　椭圆的标准方程
基础过关练
1.AB　设已知圆的圆心为A,半径为R,圆内的定点为B,动圆C的半径为r,则r=BC,
若点A与点B不重合,由题意知圆A与圆C内切,则AC=R-r=R-BC,即CA+CB=R,
∴动点C到两个定点A,B的距离之和为常数R.
∵B为圆A内的定点,∴AB若A,B重合,则动点C的轨迹是以R为直径的圆.故选AB.
2.A　由题意可得a=2,b=1,c=,设PF1=m,PF2=n,
则所以(m+n)2-2mn=12,解得mn=2,所以mn=1.故选A.
3.C　不妨设左焦点为F,右焦点为F1,连接MF1,因为N是MF的中点,O是FF1的中点,故ON是△MFF1的中位线,故ON=MF1,
由椭圆方程得a=6,由椭圆的定义可知MF+MF1=2a=12,因为MF=4,所以MF1=8,故ON=MF1=4,故选C.
4.D　由于以F1F2为直径的圆经过M点,所以MF1⊥MF2,
不妨设NF1=x,则MF1=2x,MN=3x.
由椭圆的定义可得MF2=2a-2x,NF2=2a-x,
由勾股定理可得
即所以a=3,x=1,
故△MNF2的周长为4a=12,故选D.
5.A　因为椭圆的焦点在y轴上,所以5+k>3-k>0,解得-16.B　设F1(-2,0),F2(2,0),故原式表示点P到F1,F2的距离之和为4,
又F1F2=4,所以PF1+PF2=4>F1F2,
故点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且2a=4,2c=4,所以b2=a2-c2=8-4=4,
故点P的轨迹方程为=1.故选B.
7.B　由题意得BC=8,故AB+AC=12>BC,
所以顶点A的轨迹是以B(0,-4),C(0,4)为焦点的椭圆(去掉点(0,-6),(0,6)).
设椭圆的方程为=1(a>b>0),则a=6,c=4,
所以b2=a2-c2=20.
故顶点A的轨迹方程为=1(x≠0).
易错警示　　　本题隐含A,B,C三点不共线,因此在求轨迹方程时,要去掉y轴上的两点,防止漏掉x≠0导致错误.
8.答案　=1
解析　设F1(c,0),F2(-c,0),则b2=a2-c2,
由PF1⊥PF2,可得=-1,解得c=5,∴椭圆方程为=1,
∵点P(3,4)在椭圆上,∴=1,解得a2=45或a2=5,又a>c,故a2=45,b2=20,
故所求椭圆的标准方程为=1.
9.解析　(1)椭圆方程可变形为=1,
故椭圆的焦点在y轴上,且c=,
设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),
所以
所以所求椭圆的标准方程为=1.
(2)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),
把P(-2,-2)代入,得
解得=1.
方法技巧　　　在不确定椭圆焦点位置时,经过两点的椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m>0,n>0),这样能避免对焦点所在位置的讨论.
10.解析　(1)由F1F2=2,可得c=1,设F1(-1,0),F2(1,0),则MF1=,
由椭圆的定义可得a=,所以b==2,
故椭圆C的标准方程为=1.
(2)在△PF1F2中,由余弦定理得F1PF1·PF2,①
由椭圆的定义可得PF1+PF2=2a=2,
平方得P+2PF1·PF2=20,结合①得F1PF1·PF2+2PF1·PF2=20,解得PF1·PF2=16(2-),
所以△F1PF2的面积S=PF1·PF2sin 30°=4(2-).
11.D　椭圆方程可变形为+y2=1,∴a2=2,b2=1,c2=1,∴c=1,
若设左焦点为F(-1,0),则过F且斜率为1的直线为y=x+1,代入椭圆方程得3x2+4x=0.①
解法一:由①解得x=0或x=-,则y=1或y=-.
∴AB=.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=0,
所以AB=,
故选D.
12.A　由已知得a=2,b=,则c=1,F1(-1,0),F2(1,0),将x=1代入椭圆方程,可得y=±,又A在第一象限,∴A,故AF1=.
设直线AB的方程为y-=k(x-1),
由得(3+4k2)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,
∴Δ=(12k-8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12k-3)=0,整理得4k2+4k+1=0,∴k=-,
则直线AB的方程为y-(x-1),即y=-x+2,
直线BF1的方程为x=-1,
由即B,
故BF1==AF1,故选A.
13.答案　±　　
解析　由已知得直线l的方程为y=kx+1,k≠0,则M,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y得(2+3k2)x2+6kx-9=0,
∴Δ=36k2+36(2+3k2)>0,x1+x2=,
又,
∴x1+=-x2,y1=1-y2,即x1+x2=-,解得k=±.
14.解析　(1)由题意知直线l的斜率存在,设其方程为y-=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).
解法一:由得(4k2+2)x2+(4k-8k2)x+4k2-4k-3=0,
因为点P为线段AB的中点,所以x1+x2==2×1,解得k=-1,
故直线l的方程为y-=(-1)×(x-1),即2x+2y-3=0.
解法二:由题意得=1②,
①-②整理得,因为点P为线段AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=1,
所以直线l的斜率k==-1,
所以直线l的方程为y-=(-1)×(x-1),即2x+2y-3=0.
(2)由(1)知x1+x2=2,x1x2=,
所以AB=
=,
O到直线l的距离d=,
所以S△OAB=AB·d=.
能力提升练
1.B　由已知得a=2,c=2,由<1,知A在椭圆内部,记椭圆的右焦点为E,则E(2,0),由椭圆的定义得PF+PE=2a=4,则PF=4-PE,
故PF+PA=4-PE+PA≤4+AE,当且仅当P是AE的延长线与椭圆的交点时,取等号,
所以PF+PA的最大值为4,故选B.
解题模板　　　求椭圆内一点,椭圆上一点与焦点间的距离的最值问题,一般利用平面几何知识,转化为三点共线问题解决.设椭圆方程为=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,Q(x0,y0)为椭圆内一定点,M为椭圆上任意一点,则
(1)-QF1≤MQ-MF1≤QF1;
(2)2a-QF1≤MF2+MQ≤2a+QF1.
2.A　不妨设右焦点为F2,延长F1M、F2P交于点N,
由题意可知∠F1PM=∠NPM,
又因为PM⊥F1N,所以M为F1N的中点,且PF1=PN,所以F2N=PN+PF2=PF1+PF2=2a=4,
又因为O为F1F2的中点,
所以OM=.故选A.
3.B　因为,所以A,F1,B三点共线,且AF1=2F1B,
因为D,E分别为AF2和BF2的中点,
所以4a=AB+AF2+BF2=2(DE+DF2+EF2)=8,解得a=2,设B(x0,y0),F1(-c,0),A(0,b),
由,可得(-c,-b)=2(x0+c,y0),
则x0=-,所以B,
把B的坐标代入椭圆方程得=1,故c2=,所以椭圆C的方程为=1.故选B.
4.BCD　设椭圆与y轴的正、负半轴的交点分别为D,E,由椭圆方程知a=2,b=1,c=,
所以F1(-,0),A(-2,0),B(2,0),D(0,1),E(0,-1),
则,-1),所以=-3+1=-2<0,
则∠F1PF2的最大角为钝角,即存在点P,使得∠F1PF2=,故A错误;
当点P运动到D或E的位置时,∠APB最大,则cos∠APB最小,
此时AD=BD=,且AB=4,
在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=,
所以cos∠APB的最小值为-,故B正确;
设PF1=m,PF2=n,由椭圆定义可得m+n=2a=4,即m2+n2+2mn=16①,
由余弦定理可得F1-2PF1·PF2cos,
即m2+n2-mn=12②,①-②可得3mn=4,即mn=,
所以,故C正确;
设P(x0,y0),-2≤x0≤2,则=1,
则点P到点(1,0)的距离为,
当x0=时,[,故D正确.故选BCD.
5.A　由椭圆方程得c==5,不妨取F(5,0).
①当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=0,此时AB=4,
S△ABF=AB·5=,不符合题意;
②当直线AB的斜率存在时,可设其方程为y=kx,
由可得(4+9k2)x2=180,得x=±6,
不妨设xA=6,则yA=,
∴S△ABF=2S△AOF=2×=20,解得k=±.故选A.
6.解析　(1)由题可知F1(-c,0),A(a,0),B(0,b),
因为PF1⊥x轴,所以可以把x=-c代入=1,可得|y|=,所以P或P,
又AB∥OP,所以kOP=kAB,所以-(舍去),得b=c,
又由椭圆定义知PF1+PF2=2a=2,所以a=,所以b=c=1,
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)知F1(-1,0),易知直线MN的斜率存在.设直线MN的方程为x=my-1,联立得(m2+2)y2-2my-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,
所以x1+x2=m(y1+y2)-2=,所以MN中点的坐标为,
故线段MN的垂直平分线的方程为y-,令x=0,得y=-,
因为点Q的纵坐标的最大值为-,
所以-≤-,解得1≤m≤2,
所以MN=,
1≤m≤2,
当m=2时,MN取得最大值,为.
技巧点拨　　　直线与椭圆的位置关系的问题中,设直线方程时有以下技巧:直线过x轴上的定点M(x0,0)时,常设m型直线,即x-x0=my(不含斜率为0的直线),消元常常消去x,保留y;直线过y轴上的定点N(0,y0)时,常设k型直线,即y-y0=kx(不含斜率不存在的直线),消元常常消去y,保留x.
17(共19张PPT)
　　平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆,两个定点F1,
F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
第3章 圆锥曲线与方程
3.1　椭圆
知识点 1 椭圆的定义
必备知识 清单破
3.1.1 椭圆的标准方程
知识点 2 椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 a2=b2+c2
　
　　点P(x0,y0)与椭圆 + =1(a>b>0)的位置关系:
(1)点P在椭圆上 + =1;
(2)点P在椭圆内部 + <1;
(3)点P在椭圆外部 + >1.
知识点 3 点与椭圆的位置关系
　
1.直线与椭圆位置关系的判断
　　一般地,联立直线Ax+By+C=0(A,B不全为0)与椭圆 + =1(a>b>0)的方程,得
整理,得到一个关于x(或y)的一元二次方程.
知识点 4 直线与椭圆的位置关系
位置关系 Δ的取值 交点的个数
相交 Δ>0 2
相切 Δ=0 1
相离 Δ<0 0
2.弦长公式
　　设直线l:y=kx+b与椭圆交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则P1P2= |x1-x2|= ·
或P1P2= |y1-y2|= · (k≠0).
知识拓展
1.若动点M与定点F(c,0)之间的距离和它到定直线l:x= 的距离之比是常数 (0M的轨迹叫作椭圆,定点为椭圆的一个焦点.
2.已知定点A(-a,0),B(a,0),若直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为- ,则点M的轨迹
是椭圆(不包含点A、B).
知识辨析
1.平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆吗
2.椭圆 + =1(a>b>0)和椭圆 + =1(a>b>0)的焦点虽然不同,但都满足a2=b2+c2,这种说
法正确吗
3.椭圆的标准方程可以写成mx2+ny2=1(m>0,n>0)的形式,反过来,若一个方程是mx2+ny2=1(m>0, n>0)的形式,它一定表示椭圆吗
一语破的
1.不一定.当常数大于两定点之间的距离时,点的轨迹是椭圆;当常数等于两定点之间的距离 时,点的轨迹是线段;当常数小于两定点之间的距离时,点的轨迹不存在.
2.正确.焦点无论是落在x轴上还是y轴上,都满足a2=b2+c2,且a>b,a>c.
3.不一定.若m=n,则该方程表示的图形是圆.
　
1.定义法求椭圆的标准方程
　　根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆的标准方程.
2.待定系数法求椭圆的标准方程
(1)求椭圆的标准方程,一般是先“定性”,即判断焦点所在的坐标轴,再“定量”,即确定a,b 的值.
(2)求a,b的值时可利用条件直接求出,也可用待定系数法设出相应的标准方程,然后计算.
如果明确椭圆的焦点在x轴或y轴上,那么设所求的椭圆方程为 + =1或 + =1(a>b>0).
如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2 =1(m>0,n>0,m≠n).
定点 1 椭圆标准方程的求解
关键能力 定点破
典例 求符合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 ;
(2)焦点在坐标轴上,且经过A( ,-2)和B(-2 ,1)两点.
思路点拨 (1)定性:设椭圆的方程为 + =1(a>b>0) 定量:求a,b的值 求椭圆的标准
方程.
(2)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n) 待定系数法求椭圆的标准方程.
解析 (1)由题意知,椭圆的焦点在y轴上,
∴设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0).
由椭圆的定义,知2a= + =2 ,即a= .
又c=2,∴b2=a2-c2=6.
∴所求椭圆的标准方程为 + =1.
(2)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
∵A( ,-2)和B(-2 ,1)两点在椭圆上,
∴
即 解得
∴所求椭圆的标准方程为 + =1.
　
1.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.关于椭圆的焦点三角 形问题,通常利用椭圆的定义,并结合勾股定理、正弦定理、余弦定理等知识求解.
2.焦点三角形的常用结论
(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.
(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知F1 =P +P -2PF1·PF2·cos∠F1PF2.
(3)设P(xP,yP),则焦点三角形F1PF2的面积为c·|yP|= PF1·PF2·sin∠F1PF2=b2tan .
定点 2 椭圆的焦点三角形问题
典例 已知点P是椭圆 + =1上的点,点F1,F2是椭圆的两个焦点,若△F1PF2中有一个角的大
小为 ,则△F1PF2的面积为　　 　 .
3 或6
解析 由椭圆方程知a=5,b=3,则c= =4.
若∠F1PF2= ,则 =b2tan =9tan =3 ;
若∠PF1F2= ,设PF1=m,则PF2=2a-m=10-m,
由余弦定理得P =P +F1 -2PF1·F1F2cos∠PF1F2,即(10-m)2=m2+64-8m,解得m=3,
∴ = PF1·F1F2·sin∠PF1F2= ×3×8× =6 ;
同理可得,当∠PF2F1= 时, =6 .
综上所述,△F1PF2的面积为3 或6 .
　
1.求相交弦的长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点的坐标,用两点间的距离公式求弦长.
(2)联立直线与椭圆的方程,消元,得到一个关于x(或y)的一元二次方程,设两个交点分别为A(x1,
y1),B(x2,y2),根据弦长公式AB= |x1-x2| ,结合根与系数的关
系求弦长.
2.与椭圆中点弦有关的三种题型及解法
(1)利用根与系数的关系求中点坐标:联立直线和椭圆方程构成方程组,消去x(或y)得到一元二 次方程,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)利用点差法求直线斜率或方程:利用弦的端点在椭圆上,将端点坐标分别代入椭圆方程,然
定点 3 直线与椭圆的相交弦问题
后作差,得到中点坐标和直线斜率的关系,即若椭圆方程为 + =1(a>b>0),直线与椭圆相交
于点A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,且弦AB的中点为M(x,y),则 ①-②,整理得a2( - )+
b2( - )=0,所以 =- · =- · .
　　这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系,从而使问题得以解决.
(3)利用共线法求直线方程:设椭圆 + =1(a>b>0)与直线AB的一个交点为A(x,y),另一个交
点为B,如果弦AB的中点为P(x0,y0),那么利用中点坐标公式可得B(2x0-x,2y0-y),则有 + =1,
+ =1,两式作差即可得所求直线的方程.
　　其中点差法是解决中点弦问题最常用的方法,点差法中体现的设而不求思想还可以用于 解决对称问题.
典例 已知椭圆 + =1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.
(1)当直线l的斜率为 时,求线段AB的长度;
(2)当P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.
思路点拨 (1)求出直线方程 联立直线与椭圆的方程,得方程组 解方程组得交点坐
标 由两点间距离公式求得弦长.
(2)设A,B的坐标 利用“点差法”求出kAB 得出直线l的方程.
解析 (1)由已知可得直线l的方程为y-2= (x-4),即y= x.
由 得x2-18=0,解得x=±3 .
设A(xA,yA),B(xB,yB),
不妨令xA=3 ,xB=-3 ,
则A ,B ,
所以AB= =3 ,
所以线段AB的长度为3 .
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
两式相减,
得 + =0,
整理,得kAB= =- .
又P(4,2)是线段AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4,于是kAB=- =- ,
于是直线l的方程为y-2=- (x-4).
即x+2y-8=0.
方法技巧 (1)解答直线与椭圆的综合题目时,常把直线与椭圆的方程联立,消去x(或y)建立一 元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及求解直线方程的问题,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

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