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第4章　数列
4.1　数列
基础过关练
题组一　对数列概念的理解
1.下列说法中正确的是(　　)
A.一个数列不是递增数列就是递减数列
B.数列1,0,-1,-2与-2,-1,0,1是相同的数列
C.数列的第k项为1+,k,n∈N*
D.数列0,2,4,6,…可记为{2n},n∈N*
2.下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A.1,,…
B.sin,…
C.-1,-,…
D.1,,…,
题组二　数列的通项公式
3.已知数列{an}的一个通项公式为an=(-1)n·2n+a,且a3=-5,则实数a等于(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.-1　　　　D.-3
4.已知数列{an}的前4项分别为-1+,则该数列的一个通项公式为(　　)
A.an=(-1)nn+(-1)n　　　　
B.an=(-1)nn-(-1)n
C.an=(-1)nn-(-1)n-1　　　　
D.an=(-1)nn+(-1)n-1
5.观察下图,并阅读图形下面的文字,像这样10条直线相交,交点的个数最多为(　　)
2条直线相交,最多有1个交点 3条直线相交,最多有3个交点 4条直线相交,最多有6个交点
A.40　　　　B.45　　　　C.50　　　　D.55
6.根据下面数列的前几项写出数列的一个通项公式.
(1),…;
(2)0.3,0.33,0.333,0.333 3,…;
(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;
(4)-,….
7.(教材习题改编)已知数列{an}的一个通项公式为an=n2-7n+6.
(1)这个数列的第4项是多少
(2)150是不是这个数列中的项 若是,求出它是第几项;若不是,请说明理由;
(3)该数列从第几项开始各项都是正数
题组三　数列的递推公式
8.如图所示,九连环是我国传统民间智力玩具,以金属丝制成9个圆环,解开九连环共需要256步,解下或套上一个环算一步,且九连环的解下和套上是一对逆过程.把玩九连环时,按照一定的程序反复操作可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为an(n≤9,n∈N*),已知a1=1,a2=1,按规则有an=an-1+3an-2+2(n≥3),则解下第5个圆环最少需要移动的次数为(　　)
A.15　　　　B.21　　　　C.27　　　　D.31
9.已知斐波那契数列{an}满足:a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),若a1+a3+a5+a7+a9+…+a59=ak,则k=(　　)
A.2 022　　　　B.2 023　　　　C.59　　　　D.60
10.已知数列{an}满足an+1=若a1=,则a2 023=(　　)
A.
11.已知数列{an}满足an+1=(-1)nan,且a1=1,则a18+a19=(　　)
A.-2　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
12.在数列{an}中,a1=1,a2=3,anan+2=1,则a2 023+a2 024=　　　　.
13.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=(n∈N*),则an=　　　　.
题组四　数列与函数的关系
14.(多选题)若数列{an}是递增数列,则{an}的通项公式可能为(　　)
A.an=n2-3n+1　　　　B.an=-
C.an=n+
15.已知数列{an}的通项公式为an=n×,则{an}中的最大项的项数为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.2或3　　　　D.4
16.已知数列{an}是递增数列,且an=则a的取值范围是(　　)
A.
17.已知数列{an}的通项公式为an=,则an取得最大值时,正整数n=　　　　.
能力提升练
题组一　数列的通项公式及其应用
1.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.已知该数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列的第20项与第21项的和为(　　)
A.380　　　　B.410　　　　C.420　　　　D.462
2.已知数列{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{cn},则484是数列{cn}中的第(　　)
A.12项　　　　B.13项　　　　C.14项　　　　D.15项
3.(多选题)若数列{an}满足: i,j∈N*,若iA.an=n2-4n+1　　　　B.an=
C.an=sin nπ　　　　D.an=ln
4.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.
题组二　数列的递推公式及其应用
5.已知数列{an}满足,a1=1,则数列{an}的通项公式是(　　)
A.an=
C.an=
6.数列{an}的构成法则如下:a1=1,若an-2为自然数且之前未出现过,则用递推公式an+1=an-2,否则用递推公式an+1=3an,则a6=(　　)
A.7　　　　B.3　　　　C.15　　　　D.81
7.已知数列{an}满足a1=,则an=　(　　)
A.
C.
8.(多选题)如果一个人爬楼梯的方式只有两种,一次上一级台阶或一次上两级台阶,设爬上n级台阶的方法数为an,则下列结论正确的有(　　)
A.a6=13　　　　 B.an+2=an+an+1
C.a1+a2+…+a7=51　　　　D.+…+=anan+1-1
9.(多选题)已知正项数列{an}满足a1=1,an=,则(　　)
A.a2=　　　　 B.{an}是递增数列
C.an+1-an>
题组三　数列与函数的关系及其应用
10.已知数列{an}对任意的n∈N*都有an+1<,且a1+a2+…+a9=9,则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an+1-an}为递减数列,且a5>1
B.数列{an+1-an}为递增数列,且a5>1
C.数列{an+1-an}为递减数列,且a5<1
D.数列{an+1-an}为递增数列,且a5<1
11.(多选题)设函数f(x)=数列{an}满足an+1=f(an),则(　　)
A.当a1=时,1B.若{an}为常数列,则a1=1或a1=2
C.若{an}为递减数列,则1D.当a1=3时,+…+<1
12.已知数列{an}满足 m,n∈N*,am+n=aman,且a1=.
(1)求a4的值;
(2)数列{n2·an}中的最大项为第几项
13.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数 n为何值时,an有最小值 并求出这个最小值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第4章　数列
4.1　数列
基础过关练
1.C　对于A,数列还可以为常数列或摆动数列,A错误;
对于B,两个数列的单调性不同,故不是相同数列,B错误;
对于C,设an=,则当n=k时,ak=,k,n∈N*,C正确;
对于D,数列中的第一项不能用2n,n∈N*表示,D错误.故选C.
2.C　观察可知A中数列是递减数列,B中数列是摆动数列,D中数列是有穷数列,均不符合题意.故选C.
3.B　把n=3代入数列的通项公式,得-23+a=-5,解得a=3.故选B.
4.D　观察可知数列前4项的整数部分分别为-1,2,-3,4,可写成(-1)n·n,分数部分分别为,可写成(-1)n-1,所以该数列的一个通项公式为an=(-1)nn+(-1)n-1.故选D.
5.B　由题图得,交点个数的最大值构成数列1,3,6,…,即,…,则猜想该数列的一个通项公式为an=,易知10条直线相交的交点个数的最大值为该数列的第9项,∴a9==45,故选B.
6.解析　(1)易知该数列中每一项的分子比分母少1,且分母可依次写成21,22,23,24,25,…,故所求数列的一个通项公式为an=,n∈N*.
(2)因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的一个通项公式为bn=1-,而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的每一项都是上面数列对应项的,所以所求数列的一个通项公式为an=,n∈N*.
(3)原数列可变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以该数列的一个通项公式为an=n+,n∈N*.
(4)该数列中各项的分子都是1,分母是n2+1,第n项的符号可以用(-1)n来表示,所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n·,n∈N*.
7.解析　(1)a4=42-7×4+6=-6.
(2)令an=n2-7n+6=150,即(n-16)(n+9)=0,解得n=16或n=-9(舍去),故150是数列{an}的第16项.
(3)令an=n2-7n+6>0,即(n-1)(n-6)>0,解得n<1或n>6,因为n∈N*,所以从第7项开始都为正数.
8.D　由题意可知a3=a2+3a1+2=6,a4=a3+3a2+2=11,a5=a4+3a3+2=31.故选D.
9.D　由题意得a1+a3+a5+a7+a9+…+a59=a2+a3+a5+a7+a9+…+a59=…=a58+a59=a60=ak,故k=60.
故选D.
10.B　由题意得a2=2a1-1=,……,故数列{an}的周期为4,则a2 023=a4×505+3=a3=.故选B.
11.A　因为=(-1)n,所以=(-1)1+2+3+…+17=(-1)153=-1,
所以a18=-1,所以a19=(-1)18a18=-1,所以a18+a19=-2,故选A.
方法技巧　若=f(n)(n≥2,n∈N*),则通常用累乘法求数列{an}的通项公式.
12.答案　
解析　因为a1=1,a2=3,anan+2=1,所以a1a3=1,a2a4=1,a3a5=1,a4a6=1,……,则a3=1,a4=,a5=1,a6=3,……,由此可得数列{an}为1,3,1,,…,以4为周期,
则a2 023=a4×505+3=a3=1,a2 024=a4×506=a4=,
所以a2 023+a2 024=.
规律总结　已知数列{an}的递推公式求an时,若n的值较大,则数列通常具有周期性,此时先求出数列的周期再求an较简便.
13.答案　
解析　由an-an+1=(n∈N*)可得,
所以当n≥2,n∈N*时,,……,,
累加可得,即an=,
当n=1时,a1=1符合上式,所以an=.
方法总结　若数列的递推关系是形如an+1-an=f(n)的形式,则可以用累加法求数列的通项公式.
14.BD　选项A,an+1-an=(n+1)2-3(n+1)+1-n2+3n-1=2n-2,所以a2-a1=0,故{an}不是递增数列;
选项B,an+1-an=->0,所以{an}是递增数列;
选项C,an+1-an=n+1+,所以a2-a1=0,故{an}不是递增数列;
选项D,an+1-an=ln>0,所以{an}是递增数列.
故选BD.
15.C　a1=1×当n≥4时,an+1-an=(n+1)·-n·<0,所以an+1所以数列{an}中的最大项的项数为2或3.故选C.
16.D　因为数列{an}是递增数列,
所以则a的取值范围是.故选D.
易错警示　分段数列的单调性与相应分段函数的单调性有所不同,如本题中数列{an}递增需满足a517.答案　6
解析　an=.易知当3n-17取最小正数时,an取得最大值,
令3n-17>0,得n>,又n∈N*,故nmin=6.
能力提升练
1.C　设该数列为{an},由已知可得该数列的偶数项的通项公式为a2n=2n2,奇数项的通项公式为a2n-1=2n(n-1),∴a20=a2×10=2×102=200,a21=a2×11-1=2×11×10=220,∴a20+a21=200+220=420,故选C.
2.C　令an=bm,即3n+1=m2,m,n∈N*.易知a1=4,b2=4符合题意.
若m=3k,则bm=9k2 {an};
若m=3k+1,则bm=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1∈{an};
若m=3k+2,则bm=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1∈{an}.
故当m=3k+1和m=3k+2,k∈N*时,项bm才能在{an}中出现,即为公共项.
所以公共项为b2,b4,b5,b7,b8,b10,b11,b13,b14,b16,b17,b19,b20,b22,…,
令m2=484,得m=22,即b22=484,为数列{bn}的第22项,{cn}的第14项.故选C.
3.BD　对于A,不妨取i=1,j=3,则a1=-2=a3,不满足ai对于B,an=, i,j∈N*,若i对于C,不妨取i=2,j=4,则a2=0=a4,不满足ai对于D,an=ln, i,j∈N*,若i4.答案　61
信息提取　①四个对称图形;②f(1)=1, f(2)=1+3+1, f(3)=1+3+5+3+1, f(4)=1+3+5+7+5+3+1,从而归纳出f(n).
解析　由题图得, f(1)=1,
f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3,
f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5,
f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7,
故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.
所以f(6)=2×6×5+1=61.
5.A　因为,所以,……,,
所以×…××…×,即,又a1=1,所以an=.
故选A.
6.C　由a1=1,a1-2=-1 N,得a2=3a1=3.
又a2-2=1=a1,所以a3=3a2=9.
又a3-2=7∈N,所以a4=a3-2=7.
又a4-2=5∈N,所以a5=a4-2=5.
又a5-2=3=a2,所以a6=3a5=15.故选C.
7.B　因为an+1=an+,
所以an+1-an=,
则当n≥2,n∈N*时,a2-a1=1-,……,an-an-1=,将这(n-1)个式子左、右两边分别相加可得an-a1=1-+…+,
因为a1=,所以an=1-,
当n=1时,a1=符合该式,
所以an=,n∈N*.
8.ABD　由题意得爬到第(n+2)级台阶有两种方法:从第(n+1)级上一级台阶或从第n级上两级台阶,
则an+2=an+an+1,故B正确;
易知a1=1,a2=1+1=2,所以a3=2+1=3,a4=3+2=5,a5=5+3=8,a6=8+5=13,故A正确;
a7=13+8=21,所以a1+a2+…+a7=1+2+3+5+8+13+21=53≠51,故C错误;
由B选项分析可知=a3(a4-a2),……,=an(an+1-an-1),n≥2,
则+…+=1+a2(a3-a1)+a3(a4-a2)+…+an-1(an-an-2)+an(an+1-an-1)=1+a2a3-a1a2+a3a4-a2a3+…+an-1an-an-1an-2+anan+1-anan-1=anan+1-a1a2+1=anan+1-1,当n=1时,=a1a2-1,满足上式,故+…+=anan+1-1,故D正确.
故选ABD.
9.BCD　由题意得a1==1,即-a2-1=0,解得a2=,
因为{an}为正项数列,所以a2=,故A错误;
因为an+1-an=an+1->0,因此{an}是递增数列,故B正确;
易知an+1>1,所以an+1-an=,即an+1-an>,故C正确;
因为an+1-an=,即an+1-an<,
所以a2-a1<1,a3-a2<,……,an+1-an<,
因此an+1-a1<1++…+,即an+1<1+,故D正确.故选BCD.
10.D　∵数列{an}对任意的n∈N*都有an+1<,
∴an+2-an+1>an+1-an,因此(an+2-an+1)-(an+1-an)>0,
∴{an+1-an}为递增数列.
∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,
a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,
同理可得,2a5∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故选D.
解题模板　数列的单调性问题可以类比函数的单调性问题求解,解题时一般先分析数列自身的特点,再考虑作差,如an+1-an,判断其符号,符号为正,则数列递增;符号为负,则数列递减.
11.ABD　对于A,当a1=时,a1∈(1,2),∴a2=f(a1)=-2a1+2=(a1-1)2+1∈(1,2),∴a3=f(a2)∈(1,2),
同理a4∈(1,2),……,an∈(1,2),故A正确;
对于B,若{an}为常数列,则an+1=an,当an≤0时,有an+1=f(an)=an-1=an,不成立,
当an>0时,an+1=f(an)=-2an+2=an,解得an=1或an=2,故B正确;
对于C,若{an}为递减数列,则an+1当an≤0时,an+1-an=an-1-an=-1<0,
当an>0时,an+1-an=-2an+2-an=(an-1)(an-2)<0,解得1对于D,当a1=3>2时,an+1=+1>2,由an+1=-2an+2可得an+1-2=an(an-2),
∴,
∴,
故+…++…+<1,故D正确.故选ABD.
12.解析　(1)因为am+n=am·an,a1=,所以a4=a2·a2==(a1·a1)2=.
(2)因为am+n=am·an,
所以n≥2时,an=an-1·a1=an-2·a1·a1=…=a2·,因为a1=符合上式,所以an=,n∈N*,所以n2an=n2.
设数列{n2·an}的第k(k≥2,k∈N*)项最大,
则有
即
解得k∈[2+].
因为k≥2,k∈N*,所以k=5,所以第5项最大.
13.解析　(1)当k=-5时,an=n2-5n+4.由n2-5n+4<0,解得1所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.
易得an=n2-5n+4=,
由二次函数的性质,结合n∈N*得当n=2或n=3时,an有最小值,最小值为a2=a3=-2.
(2)因为an+1>an,所以(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,整理得k>-2n-1,
又对任意的n∈N*,都有an+1>an,
所以k>(-2n-1)max,所以k>-2-1=-3.
所以实数k的取值范围为(-3,+∞).
19(共17张PPT)
1.数列的概念
　　按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫作这个数列的项.
2.数列的表示
　　数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中a1称为数列{an}的第1项或首 项,a2称为第2项……an称为第n项.
第4章 数列
4.1　数列
知识点 1 数列的相关概念
必备知识 清单破
(有些项满足an+1>an,有些项满足 an+14.数列与函数的联系与区别
　　数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,k})为定义域的函数an=f(n),当自变 量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i= 1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….
3.数列的分类
(1)按项数可分为有穷数列、无穷数列.
(2)按项的变化趋势可分为递增数列(an+1>an)、递减数列(an+1　　一般地,如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么
这个公式叫作这个数列的通项公式.
数列可以由通项公式来给定,也可以通过列表或图象来表示.
知识点 2 数列的通项公式
知识点 3 数列的递推公式
　　一般地,如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.递推公式也 是给定数列的一种方法.
知识辨析
1.an和{an}表示的意思相同吗
2.任何一个数列都有通项公式,对吗
3.1,1,1,1,1是数列吗
4.数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是同一个数列吗
5.如果一个数列的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那 么这个公式是这个数列的递推公式吗
6.已知数列{an},{bn},{cn}满足an= (n∈N*),bn= (n∈N*),cn= (n∈N*),则
数列{an},{bn},{cn}是同一个数列吗
一语破的
1.不相同.an表示数列{an}的第n项或数列的通项,而{an}表示数列.
2.不对.数列是一种特殊的函数,正如不是所有的函数都有解析式一样,不是所有的数列都有 通项公式,存在数列只能用表格或图象表示.
3.是.这是一个常数列.
4.不是.两个数列中的数虽然相同,但顺序不同,故不是同一个数列.
5.不是.用递推公式表示数列时,必须给出数列的第1项(或前几项),而且数列中的任一项an与 它的前一项an-1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示.
6.是.三个数列都可以写成0,1,0,1,…的形式,故数列{an},{bn},{cn}是同一个数列.
定点 1 求数列的通项公式
关键能力 定点破
根据数列的前几项写出它的一个通项公式的步骤
(1)观察数列的前几项,一般从下面4个角度出发:
①各项的符号特征;
②各项能否拆分,以及拆分后的特征;
③分式的分子、分母的特征;
④相邻项的变化规律.
(2)寻找项与对应的项的序号之间的规律,一般方法如下:
①统一项的结构,将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”,如都 化成分数、根式等;
②分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分与对应序号间的函数解析式;
③当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n+1或(-1)n来表 示;
④当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,一般考虑用分段的形式给出,有时也可以将给出 的各项统一化成某种形式.
典例 写出下列数列的一个通项公式.
(1) , , , ,…;
(2)1,0, ,0, ,0, ,…;
(3)0.8,0.88,0.888,…;
(4)- , ,- , ,….
解析 (1)观察发现各项为分数,分子是连续正整数,分母比分子大2,
∴数列的一个通项公式为an= .
(2)观察发现数列的偶数项为0,奇数项为分数,分子为1,分母为n,故数列的一个通项公式为an= k∈N*.
(3)原数列可写成 × , × , × ,…,
∴数列的一个通项公式为an= × .
(4)数列可写成(-1)1× ,(-1)2× ,(-1)3× ,(-1)4× ,…,
∴数列的一个通项公式为an=(-1)n× = .
　　数列是一种特殊的函数,可以通过研究函数的性质来研究数列的性质.
1.判断数列的单调性
判断数列单调性的方法主要有:作差比较法、作商比较法及结合相应函数直观判断.
(1)作差比较法:根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.
①an+1-an>0 数列{an}是递增数列;
②an+1-an<0 数列{an}是递减数列;
③an+1-an=0 数列{an}是常数列.
(2)作商比较法:根据 (an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.
①当an>0时, >1 数列{an}是递增数列; <1 数列{an}是递减数列; =1 数列{an}是
定点 2 利用数列与函数的关系解决相关问题
常数列.
②当an<0时, >1 数列{an}是递减数列; <1 数列{an}是递增数列; =1 数列{an}是
常数列.
(3)函数法:结合相应的函数图象直观判断.
2.求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值,作出f(x)的图象,或利用求函数最值的 方法求出f(x)的最值,进而求出数列的最大(小)项;
(2)通过通项公式an研究数列的单调性,利用 (n≥2,n∈N*)确定最大项,利用
(n≥2,n∈N*)确定最小项;
(3)单调性法:若数列{an}是递增数列,则{an}的最小项为a1,若数列{an}是递减数列,则{an}的最
大项为a1.
3.数列周期性问题
数列的周期性可由函数的周期性得到,一般先写出前几项确定周期,再依据周期求解.若待求 式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式,都是周期数列的“信号”.
典例 已知数列{an}中,an=n2+λn,n∈N*.
(1)当λ=-7时,讨论{an}的单调性;
(2)若数列{an}的第7项是最小项,求实数λ的取值范围.
思路点拨 (1)思路一:运用作差法比较an+1与an的大小,进而判断数列{an}的单调性;思路二:利 用二次函数的性质求解.
(2)根据已知条件列出不等式组 从而求出实数λ的取值范围.
解析 (1)解法一:当λ=-7时,an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6,
所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6.
当1≤n≤3时,{an}单调递减;当n≥4时,{an}单调递增.
解法二:当λ=-7时,an=n2-7n= - .
易知函数f(x)= - 的图象的对称轴为直线x= ,
所以由二次函数的性质可知,当1≤n≤3时,{an}单调递减;
当n≥4时,{an}单调递增.
(2)由题意得 即
解得-15≤λ≤-13,
所以实数λ的取值范围是[-15,-13].
易错警示 在利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意数列的定义域是N*或其有限子集.

1.根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列的前几项时,首先要弄清公式中各部分之间 的关系,然后依次代入计算即可.
2.求数列中的某项时,对于通项公式,可以通过将序号代入直接求解,而对于递推公式,必须通 过逐项计算求出该项.
3.由递推公式求通项公式的常用技巧
(1)形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N*)求出通 项公式,这种方法叫累加法;
(2)形如 =f(n)(an≠0)的递推公式,可以利用a1· · ·…· =an(n≥2,n∈N*)求出通项公式,
这种方法叫累乘法.
定点 3 利用数列的递推关系解决问题
典例 (1)已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),则an=　　　 ;
(2)设数列{an}是首项为1的正项数列,且(n+1) -n +an+1·an=0,则它的通项公式为an=　　 .
解析 (1)因为an-an+1=nanan+1,
所以 = - =n,
则 = + +…+ + =(n-1)+(n-2)+…+1+1= +1=
,
所以an= .
(2)由(n+1) -n +an+1·an=0,
得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0,
又an>0,a1=1,
所以(n+1)an+1-nan=0,即 = ,
所以an= · ·…· ·a1= × ×…× ×1= .

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