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1.如果组成两个数列的数相同,但顺序不同,那么它们是不同的数列.
2.同一个数可以在数列中重复出现.
3.{an}表示一个数列,an表示数列中的第n项.
4.并非所有的数列都能写出它的通项公式.
5.数列的分类:
(1)按项的个数分:有穷数列,无穷数列;
(2)按数列的变化趋势分:递增数列,递减数列,摆动数列,常数列.
1.1 数列的概念
1 | 数列相关概念的理解
1.数列是特殊的函数,从函数的观点看:
2.求数列中的项或判断某项是不是数列的项时,①如果已知an=f(n)和n0,则 = f(n0);②判断m是不是{an}的项,只需令m=an,判断此方程是否有正整数解.
定义域 正整数集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应
的一列函数值组成的集合
表示方法 (1)通项公式(解析法);
(2)图象法;(3)列表法
2 | 数列与函数的关系
1.通项公式反映了数列中项与序号之间的关系,而递推公式反映了数列中项与项
之间的关系;
2.求数列的某一项时,可以通过将序号代入通项公式直接求出该项,而对于递推公
式,则必须通过逐项计算求出该项;
3.递推公式可以揭示数列的一些性质,但不容易了解数列的全貌,计算也不方便,
而通项公式可以“把握”整个数列.
3 | 数列的通项公式与递推公式的区别
1.数列的项和它的项数是否相同
不相同.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,相当于f(n),
而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n.
2.数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是同一个数列吗
不是.两个数列中的数虽然相同,但顺序不同,故不是同一个数列.
3.数列an= an= (n∈N+),an= (n∈N+)是同一个数列吗
是.三个数列都可以写成0,1,0,1,…的形式,数列的通项公式不一定是唯一的.
知识辨析
1.从下面4个角度观察数列的前几项:
(1)各项的符号特征;
(2)各项能否拆分;
(3)分式的分子、分母的特征;
(4)相邻项的变化规律.
2.寻找各项与对应的项的序号之间的规律,一般方法如下:
(1)统一项的结构,将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”
“商”,如都化成分数、根式等;
1 求数列的通项公式
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分与对应序号间的函数解
析式;
(3)当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n或
(-1)n+1来表示;
(4)当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时,一般考虑用分段的形式给出,有时也
可以将给出的各项统一化成某种形式.
典例　根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式:
(1) ,2, ,8, ,…;
(2) , , , , ,…;
(3)2,6,2,6,…;
(4)2,3,5,9,17,33,…;
(5)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;
(6)2,-6,12,-20,30,-42,….
思路点拨　先观察各项的特点,注意前后项间的关系,分子与分母的关系,项与序
号的关系,每一项符号的变化规律,然后归纳出通项公式.
解析 (1)将每一项都统一写成分母为2的分数,即 , , , , ,…,所以它的一个
通项公式是an= .
(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积,即an= .
(3)此数列为摆动数列,而2=4-2,6=4+2,中间符号用(-1)n来表示,所以an=4+(-1)n·2或
an=
(4)因为a1=2=1+1,a2=3=2+1,a3=5=22+1,a4=9=23+1,a5=17=24+1,a6=33=25+1,……,所
以an=2n-1+1.
(5)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以an=n+ .
(6)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,-6×7,…,所以an=(-1 n(n+1).
1.判断数列单调性的方法
(1)转化为函数,利用函数的性质求解.
(2)通过作差法或作商法比较数列中相邻两项的大小关系.
2.求数列中的最大(或最小)项的方法
(1)构造函数,确定函数的单调性,进一步求出数列的最大(或最小)项.
(2)利用 (n≥2,n∈N+)求数列中的最大项an;利用 (n≥2,n∈N+)求
数列中的最小项an.当所得解不唯一时,比较各解的大小即可.
2 数列与函数的关系列
典例　已知数列{an}中,an=n2+λn,n∈N+.
(1)当λ=-7时,讨论{an}的单调性;
(2)若数列{an}的第7项是最小项,求实数λ的取值范围.
思路点拨 (1)运用作差法比较an+1与an的大小,进而判断单调性,或利用二次函数
的性质求解;
(2)通过列出不等式组 从而求出实数λ的取值范围.
解析 (1)解法一:当λ=-7时,an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6,
所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6.
当1≤n≤3时,an+1-an≤0,{an}单调递减;当n≥4时,an+1-an>0,{an}单调递增.
解法二:当λ=-7时,an=n2-7n= - .
易知函数f(x)= - 图象的对称轴为直线x= ,
所以由二次函数的性质可知
当1≤n≤3时,an+1-an≤0,{an}单调递减;当n≥4时,an+1-an>0,{an}单调递增.
(2)由题意得 即
解得-15≤λ≤-13,所以实数λ的取值范围是[-15,-13].
易错警示 在利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意数列的定义域是N+或
其有限子集.
1.根据数列的递推公式和第1项(或其他项)求数列前几项的方法
(1)根据递推公式求数列的前几项,首先要弄清公式中各部分的关系,依次代入计
算即可.
(2)若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an= 2an+1+1.
(3)若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=
.
3 利用数列的递推关系解决相关数列问题
2.由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类:
①an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)[f(n)是可以求和的],使用累加法或迭代法;
②an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an[f(n)是可以求积的],使用累乘法或迭代法;
③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决.
典例 (1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+ - ,则an等于 (　 )
A. 　 B. 　 C. 　 D.
(2)已知数列{an}满足a1=1,an+1= an(n∈N+),则an等于 (　 )
A.n+1　 B.n　
C. 　 D.
B
D
解析 (1)解法一(归纳法):数列的前5项分别为a1=1,a2=1+1- =2- = ,a3= + - =
2- = ,a4= + - =2- = ,a5= + - =2- = ,由此可得数列的一个通项公式为an
= .
解法二(迭代法):a2=a1+1- ,a3=a2+ - ,……,an=an-1+ - (n≥2),
则an=a1+1- + - + - +…+ - =2- = (n≥2).
又a1=1也适合上式,
所以an= (n∈N+).
解法三(累加法):an+1-an= - ,a1=1,a2-a1=1- ,a3-a2= - ,a4-a3= - ,……,an-an-1=
- (n≥2),以上各式相加得an=1+1- + - + - +…+ - =2- = (n≥2).
因为a1=1也适合上式,
所以an= (n∈N+).
(2)由题意得 = ,
所以an= · ·…· · ·a1
= × ×…× × ×1
= .第1章　数列
1.1　数列的概念
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　
题组一　对数列相关概念的理解
1.(多选)下面四个结论正确的是(　　)
A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列
B.数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数
C.数列的图象是一系列孤立的点
D.数列的项数是无限的
2.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A.1,,,,…
B.sin ,sin ,sin ,sin ,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,2,3,4,…,30
3.写出一个同时满足下列条件的数列{an}:①无穷数列;②递减数列;③每一项都是正数,则an=　　　　　.
题组二　数列的通项公式
4.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N+,则该数列的前4项依次为(　　)
A.1,0,1,0　　　　B.0,1,0,1
C.,0,,0　　　　D.2,0,2,0
5.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一个通项公式是an=(　　)
A.(10n-1)　　　　B.(10n-1)
C.　　　　D.(10n-1)
6.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两点间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图中化学键的个数为(　　)
A.6n　　　　B.5n+1
C.5n-1　　　　D.4n+2
7.已知数列1,,,,,,,,,,…,则是数列中的(　　)
A.第29项　　　　B.第30项
C.第36项　　　　D.第37项
题组三　数列的递推公式
8.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,n∈N+,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5等于(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
9.九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏,它由九个铁丝圆环相连成串,按一定规则移动圆环的次数,决定解开圆环的个数.在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N+)个圆环最少需要移动的次数,数列{an}满足a1=1,且an+1=则解下5个环最少需要移动的次数为(　　)
A.7　　　　B.10
C.16　　　　D.31
10.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照,的分形规律生长成的一个树形图,则第10行的实心圆点的个数是(　　)
A.89　　　　B.55
C.34　　　　D.144
11.数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=　　　　.
题组四　数列的单调性
12.已知数列{an}满足an=n∈N+,若对于任意n∈N+都有an>an+1,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
13.已知an=(n∈N+),则在数列{an}的前40项中,最大项和最小项分别是(　　)
A.a1,a30　　　　B.a1,a9
C.a10,a9　　　　D.a12,a11
14.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N+),且数列{an}从第n项起单调递减,则n的最小值为(　　)
A.11　　　　B.12
C.13　　　　D.不存在
15.若an=2n2+λn+3(其中λ为实常数),n∈N+,且数列{an}为单调递增数列,则实数λ的取值范围为　　　　.
16.已知an=(n∈N+),则数列{an}中有没有最大项 如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由.
能力提升练
题组一　数列的通项公式及其应用
1.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第20项与第21项的和为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.380　　B.410　　C.420　　D.462
2.设an=+++…+(n∈N+),那么an+1-an=(　　)
A.　　　 　B.
C.+　　　　D.-
3.(多选)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以为(　　)
A.an=　　　　B.an=1+(-1)n+1
C.an=2　　　　D.an=
4.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.
5.已知数列{an}的通项公式是an=.
(1)判断是不是数列{an}中的项;
(2)试判断数列{an}中的各项是否都在区间(0,1)内;
(3)试判断在区间内是否有数列{an}中的项.若有,是第几项 若没有,请说明理由.
题组二　数列的递推公式及其应用
6.在数列{an}中,a1=1,a2=2,a3n+2=an+2,a3n+1=a3n=an,则a2 021=(　　)
A.7　　　　B.8
C.9　　　　D.10
7.雪花曲线因其形状类似雪花而得名,它的产生与雪花类似,由等边三角形开始,把三角形的每一条边三等分,并以每一条边三等分后的中段为边,向外作新的等边三角形,但要去掉与原三角形叠合的边,接着对每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程,即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形[图(2)、(3)、(4)是等边三角形(1)经过第一次、第二次、第三次变化所得的雪花曲线].若按照上述规律,一个边长为3的等边三角形,经过四次变化得到的雪花曲线的周长是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
8.数学上有很多著名的猜想,角谷猜想就是其中之一,一般指冰雹猜想,它是指一个正整数,如果是奇数就乘3再加1,如果是偶数就除以2,这样经过若干次数,最终回到1.对任意正整数a0,记按照上述规则实施第n次运算的结果为an(n∈N),则使a7=1的a0的所有可能取值的个数为(　　)
A.3　　　　B.4
C.5　　　　D.6
题组三　数列的单调性
9.已知数列{an}对任意的n∈N+都有an+1<,且a1+a2+…+a9=9,则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an+1-an}为单调递减数列,且a5>1
B.数列{an+1-an}为单调递增数列,且a5>1
C.数列{an+1-an}为单调递减数列,且a5<1
D.数列{an+1-an}为单调递增数列,且a5<1
10.已知数列{an}满足 m,n∈N+,am+n=am·an,且a1=.则
(1)a4=　　　　;
(2)数列{n2·an}的最大项为第　　项.
11.已知数列{an}满足an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0).
(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.BC
2.C　
3.答案　(答案不唯一)
4.A　解法一:由an=,n∈N+,可得a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.故选A.
解法二:因为当n∈N+且n为奇数时,1+(-1)n+1=2,当n∈N+且n为偶数时,1+(-1)n+1=0,所以数列{an}的奇数项的值为1,偶数项的值为0,故该数列的前4项依次为1,0,1,0.
5.C　数列9,99,999,9 999,…的一个通项公式是bn=10n-1,则数列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的一个通项公式是cn=×(10n-1)=1-,则数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一个通项公式是an=.故选C.
6.B　题图中化学键的个数依次为6,11,16,…,后一个图中的化学键的个数总比前一个图中的化学键的个数多5,则第n个图中有(5n+1)个化学键.故选B.
7.A　数列中分母与分子之和为2的有一个,为3的有两个,为4的有三个,……,故出现在和为9的那组,即第八组,且为该组的第一个数,前七组共有1+2+3+…+7=28个数,故是第29个数,即第29项.故选A.
8.C　当n=2时,a1a2=22;当n=3时,a1a2a3=32;当n=4时,a1a2a3a4=42;当n=5时,a1a2a3a4a5=52,则a3===,a5===,所以a3+a5=.故选C.
9.C　由题意知a5=2a4+2=2(2a3-1)+2=4(2a2+2)=8(2a1-1)+8=16a1=16.故选C.
10.C　设第n行实心圆点的个数为an,由题图可得,a1=0,a2=1,a3=1,a4=2,a5=3,a6=5,……,则an=an-2+an-1(n≥3),故a7=a5+a6=8,a8=a6+a7=13,a9=a7+a8=21,a10=a8+a9=34.故选C.
11.答案　
解析　由已知得an+1===1-=1-=an-2,所以a8=a5=a2=2,而a2==2,解得a1=.
12.C　由题意可得解得13.D　an==1+,当n≤11时,数列{an}递减,且an<1;当n≥12时,数列{an}递减,且an>1,故最大项和最小项分别是a12和a11.故选D.
14.A　解法一:∵an=,∴an+1=,
∴an+1-an=-
=.
由数列{an}从第n项起单调递减可得an+1-an<0,
即-n2-n+130<0,n∈N+,解得n>或n<(舍去).
∵22<<23,∴10.5<<11,
∴n≥11,∴a11>a12>a13>…,
即从第11项起,{an}单调递减,
∴n的最小值为11.
解法二:设f(x)=(x>0),
则f(x)=,x+≥2,当且仅当x=时等号成立,则当x=时,x+取得最小值,此时f(x)取得最大值,又∵11<<12,a11=>a12=,∴数列{an}中的最大项是第11项,故选A.
15.答案　(-6,+∞)
解析　若数列{an}为单调递增数列,则an+1>an,即2(n+1)2+λ(n+1)+3>2n2+λn+3,整理得λ>-(4n+2),∵n≥1,∴-(4n+2)≤-6,故λ>-6.
16.解析　解法一:由an=(n∈N+)得,an+1-an=-=,n∈N+.
当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8时单调递增;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an,即a8=a9;当n>8时,an+1-an<0,即an+18时单调递减.
所以数列{an}的最大项是第8项或第9项,
即a8=a9=.
解法二:设an为最大项,
则(n≥2,n∈N+),
即解得8≤n≤9.
又因为n∈N+,所以n=8或n=9.
故{an}的最大项为a8=a9=.
能力提升练
1.C　由已知可得该数列的偶数项的通项公式a2n=2n2,∴a20=a2×10=2×102=200,奇数项的通项公式a2n-1=2n(n-1),∴a21=a2×11-1=2×11×10=220,∴a20+a21=200+220=420,故选C.
2.D　∵an=+++…+,
∴an+1=++…+++,
∴an+1-an=+-=-.故选D.
3.ABC　对于A,∵an=∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;
对于B,∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;
对于C,∵an=2,∴a1=2=2,a2=2=0,a3=2=2,a4=2=0,故C正确;
对于D,∵an=,∴a1==2,a2==1,a3==2,a4==1,故D错误.故选ABC.
4.答案　61
信息提取　①四个对称图形;②f(1)=1, f(2)=1+3+1, f(3)=1+3+5+3+1, f(4)=1+3+5+7+5+3+1.
数学建模　本题以小正方形的个数变化为背景构建“数列模型”.前四个图案中小正方形的个数分别是1,5,13,25,排成一列形成一个数列,从而把实际问题抽象成数列问题,再探索规律,总结出f(n).
解析　由题图得, f(1)=1,
f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3,
f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5,
f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7,
故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.
当n=6时, f(6)=2×6×5+1=61.
5.解析　(1)由题可得an===,
令=,解得n=.
因为不是正整数,所以不是数列{an}中的项.
(2)由(1)可得an===1-,
因为n∈N+,所以0<<1,所以0所以数列{an}中的各项都在区间(0,1)内.
(3)在区间内有数列{an}中的项.
令即解得又因为n∈N+,所以n=2.
故区间内有且仅有一个数列{an}中的项,是第2项,且a2=.
6.D　∵a3n+2=an+2,a3n+1=a3n=an,∴a2 021=a3×673+2=a673+2=a3×224+1+2=a224+2=a3×74+2+2=a74+4=a3×24+2+4=a24+6=a8+6=a2+8,∵a2=2,∴a2 021=a2+8=10.故选D.
7.C　设雪花曲线的边长分别为a1,a2,a3,a4,a5,边数分别为b1,b2,b3,b4,b5,周长为Sn(n=1,2,3,4,5),由题图可得,a2=a1×=1,a3=a2=,a4=a3=,a5=a4=,b1=3,b2=3×4,b3=3×4×4,b4=3×4×4×4,b5=3×4×4×4×4,则S1=9,S2=12,S3=16,S4=,S5=.故选C.
8.D　由题意知,
n∈N+,an=
由a7=1,得a6=2,∴a5=4,∴a4=1或a4=8.
①当a4=1时,a3=2,∴a2=4,∴a1=1或a1=8,∴a0=2或a0=16.
②当a4=8时,a3=16,∴a2=5或a2=32.当a2=5时,a1=10,此时a0=3或a0=20;当a2=32时,a1=64,此时a0=21或a0=128.
综上,满足条件的a0的值共有6个.故选D.
9.D　∵数列{an}对任意的n∈N+都有an+1<,∴an+2-an+1>an+1-an,
∴{an+1-an}为单调递增数列,
∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,同理可得,2a5∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1.故选D.
10.答案　(1)　(2)5
解析　(1)因为am+n=am·an,a1=,所以a4=a2·a2==(a1·a1)2===.
(2)因为am+n=am·an,
所以an=an-1·a1=an-2·a1·a1=…=a2·=(a1)n=,所以n2an=n2.
设数列{n2·an}的第k项最大,
则有
即
解得k∈[2+,3+].
因为k∈N+,所以k=5,所以第5项最大.
11.解析　(1)解法一:∵a=-7,∴an=1+.
结合函数y=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N+),
∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.
解法二:∵a=-7,∴an=1+.
设数列中的最大项为an,
则(n≥2且n∈N+),
即解得又∵n≥2且n∈N+,∴n=5,即数列{an}中的最大项为a5=2.
同理可得,数列{an}中的最小项为a4=0.
(2)an=1+=1+.
∵对任意的n∈N+,都有an≤a6成立,
∴结合函数y=1+的单调性,知5<<6,
∴-1016

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