资源简介

1.2　等差数列　
1.2.1　等差数列及其通项公式
1.2.2　等差数列与一次函数
基础过关练
题组一　等差数列的概念
1.下列数列不是等差数列的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.1,1,1,1,1　　　　B.4,7,10,13,16
C.,,1,,　　　　D.-3,-2,-1,1,2
2.已知数列{an},若对任意的n∈N+,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,则{an}(　　)
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为1的等差数列
C.是公差为-2的等差数列
D.不是等差数列
3.设{an}是等差数列,则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a=　　　　.
5.已知数列{an}中,点(an,an+1)(n∈N+)在直线x-y+1=0上,且a2=2.求证:数列{an}是等差数列.
题组二　等差数列的通项公式
6.已知{an}是首项为-24的等差数列,且从第10项起为正数,则公差d的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　D.
7.在数列{an}中,若=+,a1=8,则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an=2(n+1)2　　　　B.an=4(n+1)
C.an=8n2　　　　D.an=4n(n+1)
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,它讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 019这2 019个数中,能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列的所有项中,中间项的值为(　　)
A.992　　　　B.1 022
C.1 007　　　　D.1 037
9.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章,卷第六《均输》中有一问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问中间二节欲均容,各多少 ”其意思为:“今有竹九节,下三节容量和为4升,上四节容量和为3升,使中间两节也均匀变化,每节容量是多少 ”这一问题中从下部算起第五节容量是　　　升.(结果用分数表示)
10.已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
题组三　等差中项
11.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是(　　)
A.2　　B.3　　C.6　　D.9
12.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z=(　　)
A.26　　B.29　　C.39　　D.52
13.(多选)下列命题中,正确的是(　　)
A.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列
B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列
C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列
D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列
题组四　等差数列的性质
14.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则数列{an+bn}的第37项为(　　)
A.0　　　　B.37
C.100 　　　　D.-37
15.在等差数列{an}中,a1+3a7+a13=120,则3a9-a13=(　　)
A.6　　　　B.12
C.24　　　　D.48
16.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为(　　)
A.7　　B.5　　C.3　　D.1
17.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,求k的值.
18.在等差数列{an}中,公差为d.
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.
能力提升练
题组一　等差数列的通项公式及其应用
1.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.161　　B.155　　C.141　　D.139
2.已知等差数列{an}的首项为a,公差为1,bn=,若对任意的正整数n都有bn≥b5,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-4)∪(-3,+∞)　　　　
B.(-4,-3)
C.(-∞,-5)∪(-4,+∞)　　　　
D.(-5,-4)
3.已知数列{an},{bn}均为等差数列,若a1b1=3,a2b2=7,a3b3=13,则a4b4=(　　)
A.19　　　　B.21
C.23　　　　D.27
4.(多选)已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N+),则下列说法正确的有(　　)
A.数列{an}是等差数列
B.a2k=7-2k(k∈N+)
C.a2k-1=12-2k(k∈N+)
D.an+an+1=18-3n
5.如果x=[x]+{x},[x]∈Z,0≤{x}<1,就称[x]表示x的整数部分,{x}表示x的小数部分,已知数列{an}满足a1=,an+1=[an]+,则
a2 019-a2 018=(　　)
A.2 019-　　　　B.2 018+
C.6+　　　　D.6-
6.已知数列{an}满足a1=,且当n>1,n∈N+时,有=.设bn=,n∈N+.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)试问a1a2是不是数列{an}中的项 如果是,是第几项 如果不是,请说明理由.
题组二　等差数列的性质及其应用
7.为鼓励外出能人返乡创业,某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{an}(单位:万元,n∈N+),每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍,已知+=72,则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为(　　)
A.72万元　　　　B.96万元
C.120万元　　　　D.144万元
8.数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N+),实数k为常数.
①数列{an}有可能是常数列;
②k=1时,数列为等差数列;
③若a3>a1,则k的取值范围是(-2,0);
④k>0时,数列{an}单调递减.
则以上说法正确的序号是　　　　.
9.已知两个等差数列{an}:5,8,11,…与{bn}:3,7,11,…,它们的公共项组成数列{cn},则数列{cn}的通项公式cn=　　　　;若数列{an}和{bn}的项数均为100,则{cn}的项数是　　　　.
题组三　等差数列的综合应用
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,依次成等差数列,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.a,b,c依次成等差数列
B.,,依次成等差数列
C.a2,b2,c2依次成等差数列
D.a3,b3,c3依次成等差数列
11.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n∈N+),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;
(2)判断是否存在实数λ,使得数列{an}为等差数列,并说明理由.
12.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+).
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　
2.A　由题意知an=2n+1,则an+1-an=2,故选A.
3.C　由题意可得公差d=a2-a1=a3-a2>0,所以数列{an}是递增数列,充分性成立;
若数列{an}是递增数列,则必有a14.答案　0
解析　∵{an}是等差数列,∴an+1-an=常数,即[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数,
∴2a=0,∴a=0.
5.证明　∵点(an,an+1)(n∈N+)在直线x-y+1=0上,
∴an-an+1+1=0,即an+1-an=1(n∈N+),
又∵a2=2,∴a1=1.
∴数列{an}是公差、首项均为1的等差数列.
6.C　设{an}的公差为d,则an=-24+(n-1)d,n∈N+,
由解得7.A　由题意得-=,故数列{}是首项为=2,公差为的等差数列,所以=2+(n-1)=n+,故an=2(n+1)2.
8.C　由题意可知an-2既是3的倍数,又是5的倍数,所以an-2是15的倍数,即an-2=15(n-1),n∈N+,故an=15n-13,易求得a135=15×135-13=
2 012<2 019,a136=15×136-13=2 027>2 019,
故n=1,2,3,…,135,所以数列{an}共有135项,中间项为第68项,且a68=15×68-13=1 007,故选C.
9.答案　
解析　记从下部算起第n节的容量为an,则数列{an}为等差数列,设其公差为d,则解得∴a5=a1+4d=,即从下部算起第五节容量是升.
10.解析　(1)证明:∵(an+1-1)(an-1)=3[(an-1)-(an+1-1)],
∴-=,即bn+1-bn=,
又∵a1=2,∴b1=1.
∴{bn}是以1为首项,为公差的等差数列.
(2)由(1)得bn=n+=,∴an-1=,
∴an=.
11.B　由已知得解得
所以m和n的等差中项为=3.
12.C　∵5,x,y,z,21成等差数列,
∴y既是5和21的等差中项,也是x和z的等差中项,∴5+21=2y,x+z=2y,
∴y=13,x+z=26,∴x+y+z=39.
13.AC　∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴2×(2b)=2a+2c,∴2a,2b,2c成等差数列,故A正确;取a=1,b=2,c=3,得log2a,log2b,log2c分别为0,1,log23,不成等差数列,故B错误;∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴2(b+2)=(a+2)+(c+2),∴a+2,b+2,c+2成等差数列,故C正确;取a=1,b=2,c=3,得21=2,22=4,23=8,不成等差数列,故D错误.故选AC.
14.C　∵{an},{bn}是等差数列,∴{an+bn}是等差数列.∵a1+b1=100,a2+b2=100,∴数列{an+bn}的公差为0,∴a37+b37=100.
15.D　由题意得a1+3a7+a13=5a7=120,所以a7=24,所以3a9-a13=a9+2a9-a13=a9+a5=2a7=2×24=48,故选D.
16.D　由于{an},{bn}为等差数列,
故数列{2an-3bn}的公差d=(2an+1-3bn+1)-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=1.
17.解析　设数列{an}的公差为d,∵a4+a7+a10=3a7=17,∴a7=.∵a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=11a9=77,∴a9=7,∴d==.∴ak-a9=(k-9)d,即13-7=(k-9)×,解得k=18.
18.解析　解法一:(1)由a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12.
(2)由a2+a3+a4+a5=34,
得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17,
由解得或
由d=得d=3或d=-3.
解法二:(1)由题意得(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48,
∴4a13=48,∴a13=12.
(2)由题意得
解得或
∴d=3或d=-3.
能力提升练
1.B　设该高阶等差数列的第8项为x,根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到另一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:
由图可得解得故选B.
2.D　依题意得,an=a+(n-1)×1=n+a-1,
∴bn==1+.
解法一:设函数y=+1,画出图象,如图.
结合题意知,1-a∈(5,6),
∴5<1-a<6,解得-5解法二:若对任意的正整数n都有bn≥b5,
则有(bn)min=b5=1+,
结合数列{bn}的单调性可知,
即
解得-53.B　设等差数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+b,bn=cn+d,则anbn=(an+b)(cn+d)=acn2+(ad+bc)n+bd,令cn=anbn=acn2+(ad+bc)n+bd,则cn+1-cn=ac(n+1)2+(ad+bc)(n+1)+bd-acn2-(ad+bc)n-bd=2acn+(ac+ad+bc),易知数列{cn+1-cn}为等差数列,设为{dn}.又∵c1=a1b1=3,c2=a2b2=7,c3=a3b3=13,∴d1=c2-c1=4,d2=c3-c2=6,可得数列{dn}的公差为2,d3=c4-c3=a4b4-a3b3=d2+2=8,∴a4b4=a3b3+8=13+8=21.故选B.
4.BC　由an-an+2=2得a3=a1-2=8,由于2a2≠a1+a3,所以{an}不是等差数列,故A不正确;由an-an+2=2,知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列,公差都为-2,当n=2k(k∈N+)时,a2k=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,当n=2k-1(k∈N+)时,a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B,C都正确;当n=2时,a2+a3=5+8=13,不满足an+an+1=18-3n,故D错误.故选BC.
5.D　∵a1=,an+1=[an]+,∴a2=2+=6+2,a3=10+=12+,a4=14+=18+2,a5=22+=24+,……,∴a2 018=6×2 017+2,a2 019=6×2 018+,则a2 019-a2 018=6-,故选D.
6.解析　(1)证明:当n>1,n∈N+时,
= = -2=2+ -=4 bn-bn-1=4,
又∵b1==5,
故{bn}是首项为5、公差为4的等差数列.
(2)由(1)知bn=5+4(n-1)=4n+1,
∴an==,n∈N+.
∴a2=,又∵a1=,∴a1a2=.
令an==,解得n=11,即a1a2=a11,
∴a1a2是数列{an}中的项,是第11项.
7.C　由题意,得五年累计总投入资金为a1+a2+a3+a4+a5+5×3a1=5a3+15a1=5(a3+3a1)=10(a1+a2),
又∵10(a1+a2)=10≤10×=120,当且仅当a1=a2时等号成立,
∴预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元.故选C.
8.答案　①②④
解析　当k=0时,数列{an}是常数列,故①正确;当k=1时,原式整理得-=1,所以数列为等差数列,故②正确;若a3>a1,则a3==>1,解得-1由k>0得>>0,故an+19.答案　12n-1;25
解析　由于数列{an}和{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,且公差为3×4=12,又因为c1=11,故cn=11+12(n-1)=12n-1.而a100=302,b100=399,所以解得1≤n≤25.25,故{cn}的项数为25.
10.C　由已知得=+,
所以=+,
利用正弦定理及余弦定理得2·=+,整理得2b2=a2+c2,
即a2,b2,c2依次成等差数列.此时对等差数列a2,b2,c2的每一项取相同的运算得到数列a,b,c或,,或a3,b3,c3,这些数列一般都不可能是等差数列,除非a=b=c,但题目中没有说△ABC是等边三角形,故选C.
11.解析　(1)因为an+1=(n2+n-λ)an(n∈N+),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,所以λ=3.
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)不存在实数λ,使得数列{an}为等差数列.
理由如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在实数λ,使得数列{an}为等差数列,
则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,所以λ=3.
于是a2-a1=1-λ=-2,
a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24,
a2-a1≠a4-a3,这与{an}为等差数列矛盾.
所以不存在实数λ,使得数列{an}为等差数列.
12.解析　(1)证明:由3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+),得-=3(n≥2,n∈N+).
因为=1,所以数列是以1为首项、3为公差的等差数列.
(2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=(n∈N+).
(3)因为λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,即+3n-2≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,所以只需λ≤对任意的n≥2,n∈N+恒成立即可.
令f(n)=(n≥2,n∈N+),则只需满足λ≤f(n)min即可.
因为f(n+1)-f(n)=-==3-,
所以当n≥2时, f(n+1)-f(n)>0,
即f(2)所以f(n)min=f(2).
又因为f(2)=,所以λ≤.
所以实数λ的取值范围为.
19(共17张PPT)
1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,
那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的公差.
2.求公差d时,可以用d=an-an-1(n≥2,n∈N+)或d=an+1-an来求.
3.2M =a+b a,M,b成等差数列,即两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数.
4.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中的四个量a1,an,n,d,只要知道任意三个量,
就可以求出第四个量.
1.2 等差数列
1.2.1 等差数列及其通项公式
1.2.2 等差数列与一次函数
1 | 等差数列相关概念的理解
若数列{an}是公差为d的等差数列,则
1.当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.
2. =d(m,n∈N+且n≠m).
3.an=am+(n-m)d(n,m∈N+).
4.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N+),则am+an=
2ap.
5.在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
6.ak, ,ak+2m,…(k,m∈N+)成公差为md的等差数列.
7.{c+an}是公差为d的等差数列;{c·an}是公差为cd的等差数列;{an+an+k}是公差为2
d的等差数列;{pan+qbn}是公差为pd+qd'的等差数列(其中c,k,p,q为常数,k∈N+,d'是
2 | 等差数列的性质
等差数列{bn}的公差) .
1.公差为d的等差数列{an}的图象由直线上横坐标为正整数n的孤立点(n,an)组成,
这些点均匀分布在直线y=dx+(a1-d)上.当d>0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右上升,等
差数列{an}递增;当d<0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右下降,等差数列{an}递减;当d=0
时,y=a1为水平方向的直线,数列为常数列.
2.任给一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数),则f(1)=k+b, f(2)=2k+b,……, f(n)=nk+b构成
一个等差数列{nk+b},其首项为k+b,公差为k.
3 | 等差数列与一次函数的关系
1.若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列一定是
等差数列吗
不一定.差都是同一个常数时才是等差数列.
2.等差数列去掉前面若干项后,剩下的项是否还构成等差数列
是.改变了首项,公差不变.
3.等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列
是.公差为原来的2倍.
4.若数列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6,…都是公差为d的等差数列,则a1,a2,a3,…也是等差数
列吗
不一定.反例:设两数列分别为1,3,5,…和4,6,8,…,显然1,4,3,6,5,8,…不是等差数列.
知识辨析
1.定义法:an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+) 数列{an}是等差数列.
2.定义变形法:验证数列的通项an是否满足an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N+).
3.等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+) 数列{an}为等差数列.
4.通项公式法:数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数且p≠0) 数列{an}为
等差数列.
　　其中定义法和等差中项法是证明一个数列为等差数列的直接依据,通项公式
法不能作为证明方法.
1 等差数列的判定(证明)
典例1　已知数列{an}满足2an+(n-1)·an-1=nan+a1(n≥2,n∈N+),证明数列{an}为等
差数列.
思路点拨　先由条件建立an+1,an,an-1三者之间的关系,再利用等差中项法证明.
证明 由2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2,n∈N+),得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1,
两式相减并整理得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2,n∈N+).
由n≥2得n-1≥1,所以an+1=2an-an-1,即2an=an-1+an+1,
因此an是an-1与an+1的等差中项,故数列{an}为等差数列.
典例2　已知数列{an}满足an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N+),且a3=95.
(1)求a1,a2的值;
(2)是否存在一个实数t,使得bn= (an+t)(n∈N+),且{bn}为等差数列 若存在,求出t
的值;若不存在,请说明理由.
思路点拨 (1)利用递推关系,逐项求解.(2)思路一:利用等差数列的定义,计算bn-bn-
1(n≥2),若存在t使bn-bn-1为常数,则{bn}为等差数列,否则不存在.思路二:假设存在t
使{bn}为等差数列,利用b1,b2,b3的关系求出t的值验证即可.
解析 (1)当n=3时,a3=3a2+26=95,
∴a2=23.当n=2时,a2=3a1+8=23,∴a1=5.
(2)解法一:由题意得an-3an-1=3n-1(n≥2,n∈N+),
∴当n≥2时,bn-bn-1= (an+t)- (an-1+t)= (an+t-3an-1-3t)= (3n-1-2t)=1- .
要使{bn}为等差数列,则bn-bn-1为常数,即1+2t=0,解得t=- .
∴存在t=- ,使{bn}为等差数列.
解法二:假设存在实数t,使得{bn}为等差数列,则2b2=b1+b3,①
由(1)及题意知,a1=5,a2=23,a3=95,
∴b1= (5+t),b2= (23+t),b3= (95+t),
代入①,得 (23+t)= (5+t)+ (95+t),
解得t=- ,此时bn= .
经检验,bn+1-bn= -
= -
= an+1- × - an+ × =1,是常数.
故存在t=- ,使得{bn}是以1为公差的等差数列.
名师点拨 (1)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;由an+1-an=an-an-1(n
≥2,n∈N+)无法确定等差数列{an}的公差.
(2)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列
是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
1.求等差数列通项公式的一般思路
(1)方程思想:设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d即可.
(2)利用变形公式求解:
①an=kn+b(n∈N+,k,b为常数);
②an=am+(n-m)d(n,m∈N+);
③d= (m≠n,n,m∈N+);
④ = (m≠n,p≠q,m,n,p,q∈N+).
2.设等差数列中项的方法
(1)通项公式法,即an=a1+(n-1)d.
(2)对称设法.若所给等差数列有2n(n∈N+)项,则可设为a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a
2 等差数列的通项公式及其应用
+3d,…,a+(2n-1)d,数列的公差为2d;若所给等差数列有(2n+1)(n∈N+)项,则可设为a
-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a+nd,数列的公差为d.
3.当已知数列不是等差数列时,需构造与之相关的等差数列求通项公式.将递推关
系式转化为等差数列的常见形式如下:
(1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数,则数列{an+1-an}是等差数列.
(2)转化为 - =常数,则数列 是等差数列.
(3)转化为 - =常数,则数列 是等差数列,其中c为常数.
(4)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列.
(5)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列.
典例 (1)在公差为d的等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,则其通项公式为an=
　　　　 ;
(2)已知数列{an}满足an+1=3an+3n,且a1=1,求数列{an}的通项公式.
思路点拨 (1)思路一:由已知列方程组 求出a1,d 求出{an}的通项公式.思
路二:利用an=am+(n-m)d(m,n∈N+)求出d 求出{an}的通项公式.
(2)将递推公式的两边同时除以3n+1,通过观察发现数列 为等差数列,求其通项
公式后易得数列{an}的通项公式.
2n(n∈N+)
解析 (1)解法一:由题意可得 解得
∴an=2+(n-1)×2=2n(n∈N+).
解法二:∵a18=a6+(18-6)d,∴d= =2,
∴an=a6+(n-6)d=12+(n-6)×2=2n(n∈N+).
(2)由an+1=3an+3n,两边同时除以3n+1,
得 = + ,即 - = .
由等差数列的定义知,数列 是以 = 为首项, 为公差的等差数列,
∴ = +(n-1)× = ,
故an=n·3n-1(n∈N+).
　　运用等差数列的性质解题可以起到化繁为简、优化解题过程的作用,但使用
时要注意性质的限制条件,若不能用性质,则化基本量求解.
3 等差数列性质的应用
典例　在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
解析 设等差数列{an}的公差为d.
解法一:由a1+a4+a7=15,得a1+a1+3d+a1+6d=15,即a1=5-3d.①
由a2a4a6=45,得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45,②
将①代入②,得(5-2d)×5×(5+2d)=45,
即(5-2d)(5+2d)=9,
解得d=±2.
当d=2时,a1=-1,所以an=-1+2(n-1)=2n-3,n∈N+;
当d=-2时,a1=11,所以an=11-2(n-1)=-2n+13,n∈N+.
综上,an=2n-3,n∈N+或an=-2n+13,n∈N+.
解法二:因为a1+a7=2a4,所以a1+a4+a7=3a4=15,所以a4=5.
又因为a2a4a6=45,
所以a2a6=9,
所以(a4-2d)(a4+2d)=9,
即(5-2d)(5+2d)=9,
解得d=±2.
当d=2时,an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N+;
当d=-2时,an=a4+(n-4)d=-2n+13,n∈N+.
因此,an=2n-3,n∈N+或an=-2n+13,n∈N+.
解法三:同解法二,求出a4=5,a2a6=9,
又a2+a6=2a4=10,
所以a2=1,a6=9,或a2=9,a6=1.
当a2=1,a6=9时,a6=a2+4d=1+4d=9,
解得d=2,
所以an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N+;
当a2=9,a6=1时,a6=a2+4d=9+4d=1,
解得d=-2,
所以an=a4+(n-4)d=-2n+13,n∈N+.
因此,an=2n-3,n∈N+或an=-2n+13,n∈N+.

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