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1.2.3　等差数列的前n项和
基础过关练
题组一　与等差数列前n项和有关的计算
1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S5=S2+a11,且a1=1,则S8=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.42　　B.56　　C.64　　D.82
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,若am-1+am+am+1=18,且Sm=28,则m的值为(　　)
A.7　　B.8　　C.14　　D.16
3.“嫦娥”奔月,举国欢庆.根据科学家计算,运载“嫦娥”飞船的“长征三号甲”火箭点火1 min内通过的路程为2 km,以后每分钟通过的路程增加2 km,在到达离地面240 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间是(　　)
A.10 min　　B.13 min　　C.15 min　　D.20 min
4.设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S2=2,S4=16,则a6=　　　　.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+4,则an=　　　　.
题组二　等差数列前n项和的性质
6.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若S3=6,S6=18,则S9=(　　)
A.30　　B.36　　C.40　　D.48
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若m>1,且am-1+am+1-=0,S2m-1=38,则m=(　　)
A.38　　　　B.20
C.10　　　　D.9
8.已知等差数列{an}共有(2n+1)项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则an+1的值为(　　)
A.30　　　　B.29
C.28　　　　D.27
9.等差数列{an}中,a1=-2 018,前n项和为Sn,若-=4,则S2 021=(　　)
A.-4 042　　　　B.-2 021
C.2 021　　　　D.4 042
题组三　等差数列前n项和的最值
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,当且仅当n=6时Sn取得最大值,若a1=30,则公差d的取值范围为(　　)
A.(-6,-5)　　　　
B.[-6,-5]
C.(-∞,-6)∪(-5,+∞)　　　　
D.(-∞,-6]∪[-5,+∞)
11.在数列{an}中,a1=19,an+1=an-3(n∈N+),当数列{an}的前n项和最大时,n的值为(　　)
A.6　　B.7　　C.8　　D.9
12.某大楼共有12层,有11人在第一层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”为0,每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人“不满意度”之和最小,电梯应该停在第几层(　　)
A.7　　　　B.8
C.9　　　　D.10
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5-S2=3,且公差d=a3+3,则Sn的最小值为　　　　.
14.已知Sn为数列{an}的前n项和,且an+1=an+d(n∈N+,d为常数),若S3=12,a3a5+2a3-5a5-10=0.求:
(1)数列{an}的通项公式;
(2)Sn的最值.
题组四　裂项相消法求和
15.在数列{an}中,an=++…+(n∈N+),bn=,则数列{bn}的前n项和Sn=(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
16.知Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=24,S10=120.
(1)求Sn;
(2)记数列的前n项和为Tn,证明:Tn<.
能力提升练
题组一　求等差数列的前n项和
1.已知数列{an}的各项均为正数,且++…+=n2+n,则数列的前n项和Sn=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.n2+2n+1　　　　B.2n2+2n
C.3n2+n　　　　D.3n2-n
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=S5,S6=21,若++…+<λ恒成立,则λ的最小值为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S9=126,a4+a10=40,则的最小值为　　　　.
4.在“①an+1>an,a2a9=51,a4+a7=20;②S5=25a1,a2=3;③Sn=n2”这三个条件中任选一个,补充到下面问题中,并解答.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且　　　　,n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a5=12,S4=4S2.
(1)求an及Sn;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
题组二　等差数列前n项和的性质
6.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(多选)已知首项为正数,公差不为0的等差数列{an},其前n项和为Sn,则下列四个命题中正确的有(　　)
A.若S10=0,则a5>0,a6<0
B.若S4=S12,则使Sn>0的最大的n为15
C.若S15>0,S16<0,则{Sn}中S7最大
D.若S88.在等差数列{an}中,前m(m为奇数)项和为135,其中偶数项之和为63,且am-a1=14,则a100=　　　　.
题组三　等差数列前n项和的应用
9.数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N+),若b3=-2,b10=12,则a8=(　　)
A.0　　B.3　　C.8　　D.11
10.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:“今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.”问:良马与驽马　　　日相逢 (用数字作答)
11.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且S2=2,S3=-6.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn;
(2)是否存在n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列 若存在,求出n;若不存在,请说明理由.
12.为了净化环境,保护水资源,某化工企业在2020年年底投入100万元购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.
(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元);
(2)问:该企业污水处理设备使用几年时年平均污水处理费用最低 最低年平均污水处理费用是多少万元
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　设等差数列{an}的公差为d,则5+d=2+d+1+10d,解得d=2,因此S8=8+×2=64,故选C.
2.B　因为{an}是等差数列,所以am-1+am+am+1=3am=18,解得am=6,所以Sm===28,解得m=8.故选B.
3.C　由题意知,火箭每分钟通过的路程数构成以2为首项,2为公差的等差数列,设其前n项和为Sn,则Sn=2n+×2=n2+n,令Sn=240,解得n=15或n=-16(舍去).
4.答案　
解析　设等差数列{an}的公差为d,
∵S2=2,S4=16,∴
解得∴a6=a1+5d=-+15=.
5.答案　
解析　当n=1时,a1=S1=5,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+4-(n-1)2-4=2n-1,此时a1=5不成立,所以an=
6.B　由等差数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),所以2×(18-6)=6+(S9-18),解得S9=36.故选B.
7.C　根据等差数列的性质可得am-1+am+1=2am,
∵am-1+am+1-=0,∴am=0或am=2.
若am=0,则S2m-1=(2m-1)am=38显然不成立,
∴am=2.
∴S2m-1=(2m-1)am=38,解得m=10.故选C.
8.B　解法一:由已知得数列{an}中奇数项共有(n+1)项,其和为·(n+1)=·(n+1)=290,∴(n+1)an+1=290,偶数项共有n项,其和为·n=·n=nan+1=261,∴an+1=290-261=29.故选B.
解法二:∵等差数列{an}有(2n+1)项,∴S奇-S偶=an+1=29,故选B.
9.D　设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+d =a1+d,∴-=4 -=2,即-=d=2,∴S2 021=2 021a1+d=2 021×(-2 018)+2 021×2 020=4 042.故选D.
10.A　由已知可得即解得-611.B　由题意得,an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项、-3为公差的等差数列,所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n,n∈N+.
设前k(k∈N+)项和最大,则有
所以解得≤k≤,
又因为k∈N+,所以k=7,故选B.
12.C　设电梯所停的楼层是n(2≤n≤12,n∈N+),“不满意度”之和为S,则S=1+2+…+(n-2)+2[1+2+…+(12-n)]=+2×=+157=-+157,其图象开口向上,对称轴为直线n==8,
因为n∈N+,所以S在n=9时取最小值,故选C.
13.答案　-9
解析　依题意及等差数列的性质知3=S5-S2=a3+a4+a5=3a4,解得a4=1.
又因为d=a3+3,所以a4=a3+d=(d-3)+d=1,解得d=2.
由a4=a1+3d=1,得a1=-5.
所以Sn=-5n+×2=(n-3)2-9.当n=3时,(Sn)min=-9.
14.解析　(1)由已知得数列{an}是等差数列,公差为d,
由S3=a1+a2+a3=3a2=12,得a2=4,
又因为a3a5+2a3-5a5-10=0,即(a3-5)(a5+2)=0,
所以a3=5或a5=-2.
由得d=a3-a2=1,a1=3,此时an=n+2,
由得d==-2,a1=6,此时an=-2n+8,
所以数列{an}的通项公式是an=n+2或an=-2n+8.
(2)当an=n+2时,Sn=,显然Sn=是关于正整数n的增函数,
所以S1=3为Sn的最小值,Sn无最大值;
当an=-2n+8时,Sn=-n2+7n=-+,而n为正整数,所以当n=3或n=4时,Sn有最大值,最大值为S3=S4=12,Sn无最小值,
所以S3=S4=12是Sn的最大值,Sn无最小值.
15.A　因为an=++…+=(1+2+…+n)=·=,
所以bn====4,
所以Sn=4=.
故选A.
16.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,
则解得
∴Sn=3n+×2=n2+2n.
(2)证明:∵==,
∴Tn=+++…+=×+++…++=×<×=.
能力提升练
1.B　∵++…+=n2+n①,
∴当n=1时,=2,
当n≥2时, ++…+=(n-1)2+(n-1)②,
①-②,得=2n(n≥2),此式对n=1也适用,
∴当n∈N+时,=2n,即an=4n2,
∴=4n,∵-=4(n+1)-4n=4,=4,
∴是首项为4、公差为4的等差数列,
∴=4n,∴Sn==2n2+2n.
2.A　设等差数列{an}的公差为d,则4a1+d=,整理得a1=d,由S6=21,可得6a1+d=21,即2a1+5d=7,所以a1=d=1,所以Sn=n+=,所以==-,
所以++…+=1-+-+…+-=1-<1,
因为++…+<λ恒成立,所以λ≥1,故选A.
3.答案　28
解析　设等差数列{an}的公差为d.
由题设知可得
∴Sn=2n+×3=,∴=3n++1≥2+1=12+1,当且仅当n=2时等号成立,而n∈N+,且4<2<5,当n=4时,=28,当n=5时,=28.
故当n=4或n=5时,取得最小值,为28.
4.解析　(1)若选择①.
易知a4+a7=a2+a9=20,联立
结合an+1>an,解得
设{an}的公差为d,则解得
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
若选择②.
设{an}的公差为d,由S5=25a1,得5a3=25a1,即a3=5a1,
则解得
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
若选择③.
当n=1时,a1=S1=1;当n≥2,n∈N+时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,a1=1满足上式.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由题意得bn==-,
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=1-+-+-+…+-==.
5.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,
则解得
∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,
Sn=na1+=1×n+=n2.
(2)bn===-,
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=-+-+-+…+-=1-.
6.A　由题意得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,因为=,所以=,
则数列S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12是以S4为首项,S4为公差的等差数列,
则S8-S4=S4,S12-S8=2S4,S16-S12=S4,
所以S8=S4,S12=S4,S16=7S4,所以=.故选A.
7.ABD　对于A,易知公差d<0,所以S10==0,即a1+a10=0,
根据等差数列的性质可得a5+a6=a1+a10=0,
又因为d<0,所以a5>0,a6<0,故A正确;
对于B,因为S4=S12,所以S12-S4=0,所以a5+a6+…+a11+a12=4(a8+a9)=0,又因为a1>0,所以a8>0,a9<0,
所以S15===15a8>0,S16===0,所以使Sn>0的最大的n为15,故B正确;
对于C,S15===15a8>0,则a8>0,S16==<0,则a8+a9<0,即a9<0,所以{Sn}中S8最大,故C错误;
对于D,因为S80,又因为a1>0,所以a8=S8-S7>0,即S8>S7,故D正确.故选ABD.
8.答案　101
解析　设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,由题意可知,Sm=135,前m项中偶数项之和S偶=63,∴奇数项之和S奇=135-63=72,∴S奇-S偶=a1+===72-63=9,即a1+am=18.
又∵am-a1=14,∴a1=2,am=16.
∵Sm==135,∴m=15,
∴d===1,∴a100=a1+99d=101.
9.B　设数列{bn}的公差为d.
∵b3=-2,b10=12,∴解得
∴bn=-6+(n-1)×2=2n-8,
∴an+1-an=2n-8,
∴a2-a1=2×1-8,
a3-a2=2×2-8,
a4-a3=2×3-8,
……
a8-a7=2×7-8,
以上各式相加,得a8-a1=2×(1+2+3+…+7)-8×7=0,又∵a1=3,∴a8=a1=3.
10.答案　9
解析　由题可知,良马每日行程an构成一个首项为103、公差为13的等差数列;驽马每日行程bn构成一个首项为97、公差为-的等差数列.则an=103+13(n-1)=13n+90,bn=97-(n-1)=-n,数列{an}与数列{bn}的前n项和为1 125×2=2 250,又∵数列{an}的前n项和为(103+13n+90)=(193+13n),数列{bn}的前n项和为·=,∴(193+13n)+=2 250,整理得n2+31n-360=0,解得n=9或n=-40(舍去),即良马与驽马9日相逢.
11.解析　(1)设{an}的公差为d,
则解得
∴an=4-6(n-1)=10-6n,
Sn=4n+×(-6)=7n-3n2.
(2)存在.由(1)可得Sn+Sn+3=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2=-6n2-4n-6,
Sn+2=7(n+2)-3(n+2)2=-3n2-5n+2,
∴2(Sn+2+2n)=2(-3n2-5n+2+2n)=-6n2-6n+4.
若存在n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,
则Sn+Sn+3=2(Sn+2+2n),即-6n2-4n-6=-6n2-6n+4,解得n=5,
∴存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列.
12.解析　(1)设该企业第x年使用该设备的维护费为ax 万元,依题意得,a1=2,ax+1=ax+2,
因此数列{ax}是以a1=2为首项、2为公差的等差数列,故该企业使用该设备x年的总维护费为(2+4+6+…+2x)万元,
则总费用为[100+0.5x+(2+4+6+…+2x)]万元,
因此y==x++1.5(x∈N+).
(2)由(1)及x∈N+可得,y=x++1.5≥2+1.5=21.5, 当且仅当x=,即x=10时,等号成立,即当x=10时,y取得最小值.
∴该企业污水处理设备使用10年时年平均污水处理费用最低,最低年平均污水处理费用是21.5万元.
17(共12张PPT)
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn= =na1+ d.
2.公式Sn= 反映了等差数列的性质,任意第k项与倒数第k项的和都等于首
末两项之和,因此常与性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq结合使用.
1.2.3 等差数列的前n项和
1 | 等差数列前n项和公式的理解
　　等差数列{an}的前n项和公式可化成关于n的表达式Sn=na1+ = n2+
n.
(1)当d≠0时,Sn可看成关于n的二次函数,注意其常数项为0.点(n,Sn)是抛物线Sn=
n2+ n上一系列离散的点.
(2)当d≠0时, = n+ 可看成关于n的一次函数,则 是公差为 的等差
数列.
2 | 等差数列前n项和公式的函数特征
性质1 公差为d的等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S
2k,…组成公差为k2d的等差数列
性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N+),则S2n=n(an+an+1),S
偶-S奇=nd, = (S奇≠0,an≠0);
若等差数列的项数为2n-1(n∈N+),则S2n-1=(2n-1)
an,S奇-S偶=an, = (S奇≠0)
性质3 {an}为等差数列 为等差数列
性质4 若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则Sn,
Tn 之间的关系为 = (bn≠0,T2n-1≠0)
3 | 等差数列前n项和的性质
1.若一个数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数,则这个数列一定是等差数列
吗
不一定.当二次函数的常数项为0时才为等差数列.
2.若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),则其最大值或最小值一定在n=-
处取得吗
不一定.只有当- 是正整数时才成立.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则S3,S6-S3,S12-S9成等差数列吗
不是.由等差数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.
知识辨析
　　在等差数列问题中共涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,这五个量可以“知三求二”.解
决等差数列问题的一般思路为:设出基本量a1,d,构建方程组,利用方程思想求解.
　　当已知首项、末项和项数时,用公式Sn= 较简便,使用此公式时注意
结合等差数列的性质;当已知首项、公差和项数时,用公式Sn=na1+ d较简便.
1 等差数列前n项和公式及性质
典例　已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求S3m .
思路点拨　思路一:用方程思想求出a1,d,再代入公式求解.
思路二:利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m或 , , 成等差数列解题.
解析 解法一:设等差数列{an}的公差为d,
由 得
解得
故S3m=3ma1+ d=210.
解法二:由等差数列前n项和的性质可知,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴30,70,S3m-100成等差数列,
∴2×70=30+(S3m-100),
∴S3m=210.
解法三:由等差数列前n项和的性质可知, , , 成等差数列,
∴ = + ,
即S3m=3(S2m-Sm)
=3×(100-30)=210.
　　求等差数列{an}(公差d≠0)的前n项和Sn的最大(小)值的常用方法如下:
(1)函数法:将求Sn的最大(小)值问题转化为求二次函数的最大(小)值问题,解题时
注意n∈N+;
(2)利用 或 寻找正、负项的分界点,当a1>0,d<0时,正项和最大,当a1
<0,d>0时,负项和最小,进而得到Sn的最大(小)值.
2 等差数列前n项和最值的求法
典例　在等差数列{an}中,a1=25,S8=S18,求其前n项和Sn的最大值.
解析 解法一:设等差数列{an}的公差为d.
因为S8=S18,a1=25,
所以8×25+ d=18×25+ ×d,解得d=-2.
所以Sn=25n+ ×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169,
所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为169.
解法二:同解法一,求出公差d=-2,所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.
由
得
因为n∈N+,所以当n=13时,Sn取得最大值,最大值为 =169.
1.倒序相加求和
　　等差数列前n项和公式的推导过程采用了倒序相加求和.
2.裂项相消求和
(1)裂项相消求和就是将某些特殊数列的每一项拆成两项的差,并使它们求和的
过程中出现相同的项,这些相同的项能够相互抵消,从而达到求和的目的.
(2)常见的裂项技巧:
①已知{an}是等差数列,其公差为d(d≠0),则bn= = × .
②an= = .
③an=
3 与等差数列有关的数列求和
= .
④an= = - .
⑤an=loga =loga(n+1)-logan,其中a>0,且a≠1.
典例　在等差数列{an}中,a1=3,公差d=2,Sn为其前n项和,求 + +…+ .
解析 由题意得Sn=na1+ d=3n+ ×2=n2+2n(n∈N+),
∴ = = = ,
∴ + +…+ = 1- + - + - +…+ - + - =

= - .

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