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*1.4　数学归纳法
基础过关练
题组一　利用数学归纳法证明等式
1.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…+-=2时,若已假设n=k(k≥2)为偶数时命题为真,则还需要用归纳假设再证(　　)　　　　　　　　　　　　
A.n=k+1时等式成立
B.n=k+2时等式成立
C.n=2k+2时等式成立
D.n=2(k+2)时等式成立
2.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)(n∈N+)时,从n=k到n=k+1,等式左边需增添的项是(　　)
A.2k+2　　　　
B.2(k+1)+1
C.(2k+2)+(2k+3)　　　　
D.[(k+1)+1][2(k+1)+1]
3.用数学归纳法证明×…×=(n≥2,n∈N+).
题组二　利用数学归纳法证明不等式
4.用数学归纳法证明++…+>1(n∈N+),在验证n=1时,左边的代数式为(　　)
A.++　　　　B.+
C.　　　　D.1
5.对于不等式(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时,不等式成立,即则当n=k+1时,
=<
==(k+1)+1,
所以当n=k+1时,不等式成立.
则上述证法(　　)
A.过程全部正确
B.n=1验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
6.用数学归纳法证明“1+++…+1)”的过程中,从n=k(k∈N+,k>1)到n=k+1时,左边增加的项数为(　　)
A.k　　　　B.2k
C.2k-1　　　　D.2k-1
7.用数学归纳法证明:++…+>1-+-+…+-(n∈N+).
题组三　归纳—猜想—证明解决与递推公式有关的数列问题
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=14,且an=Sn-2n-1(n∈N+).
(1)求,,;
(2)由(1)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明.
9.在数列{an}中,a1=,an+1=.
(1)求出a2,a3,并猜想{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　因为n为正偶数,所以当n=k时,下一个偶数为k+2.
2.C　当n=k(k∈N+,k>1)时,左边=1+2+3+…+(2k+1),当n=k+1时,左边=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),故选C.
3.证明　(1)当n=2时,左边=1-=,右边==,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,等式成立,
即×…×=,
那么当n=k+1时,
×…×==·==,即当n=k+1时,等式也成立.
综合(1)(2)知,对任意n≥2,n∈N+等式恒成立.
4.A　
5.D　在n=k+1时,没有应用n=k时的归纳假设,不是数学归纳法.
6.B　由题意知,当n=k(k∈N+,k>1)时,左边=1+++…+,当n=k+1时,左边=1+++…++++…+,所以从n=k到n=k+1时,左边增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k.
7.证明　(1)当n=1时,左边=1,右边=1-=,左边>右边,所以不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,
即++…+>1-+-+…+-.
则当n=k+1时,
++…++
>1-+-+…+-+
>1-+-+…+-+
=1-+-+…+-+-,
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)知,不等式对任何n∈N+都成立.
8.解析　(1)∵an=Sn-2n-1(n∈N+),
∴当n=1时,a1=S1=S1-1,解得S1=2,则=1;
当n=2时,a2=S2-2=14,解得S2=16,则=4;
当n=3时,a3=S3-S2=S3-22,解得S3=72,则=9.
(2)由(1)猜想数列的通项公式为=n2(n∈N+).
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,由(1)可得=1,结论成立.
当n=2时,由(1)可得=4,结论成立.
②假设当n=k(k∈N+,k≥2)时,=k2,
则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1-2k+1-1,
即Sk+1=Sk-2k=2k·k2-2k=(k2-1)·2k,
则Sk+1=(k+1)(k-1)·2k.
因为k≥2,所以Sk+1=2(k+1)2·2k=(k+1)2·2k+1,
即=(k+1)2,
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②可知,对任何n∈N+,=n2恒成立.
9.解析　(1)∵a1=,an+1=,
∴a2===,a3===.
猜想: an=(n∈N+).
(2)证明:①当n=1时,a1==,猜想成立,
②假设当n=k(k∈N+)时,猜想成立,即ak=,
则当n=k+1时,ak+1===
=,
即当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可知,对任意n∈N+,an=.
7(共13张PPT)
　
　　记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如
下:
　　条件:(1)P(n0)为真;(2)若P(k)(k∈N+,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真.结论:P(n)为
真.
(1)第一步验证(或证明)了当n=n0时结论成立,即命题P(n0)为真;
(2)第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:若P(k)(k∈N+,k≥n0)
为真,则P(k+1)也为真.
　　只要将这两步交替使用,就有P(n0)为真,P(n0+1)为真,……,P(k)为真,P(k+1)为
真,…….从而完成证明.
| 数学归纳法
*1.4 数学归纳法
1.数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1吗
不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°时,初始值n0=3.
2.用数学归纳法证明等式时,由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1,等式的项数一定增加了
一项吗
不一定.如用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1= (a≠1)”时,由n=k(k∈N+,k
≥n0)到n=k+1,等式左边增加了两项.
知识辨析
　　利用数学归纳法证明与正整数n有关的一些恒等式问题时,关键是看清等式
两边的项,弄清等式两边项的构成规律,进而利用当n=k(k≥n0,k∈N+)时的假设.证
明恒等式的一个重要技巧就是两边“凑”.
1 利用数学归纳法证明等式
典例　用数学归纳法证明1- + - +…+ - = + +…+ (n∈N+).
思路点拨 (1)验证当n=1时等式成立;(2)由n=k(k∈N+)时等式成立推出n=k+1时等
式也成立.
证明 (1)当n=1时,
等式左边=1- = ,
右边= ,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,等式成立,
即1- + - +…+ -
= + +…+ ,
那么当n=k+1时,
1- + - +…+ - + -
= + +…+ + -
= + +…+ + ,
所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)知,等式对一切正整数均成立.
　　证明不等式往往比证明恒等式难度更大,方法更灵活,除了综合法外,作差比
较法、分析法、反证法也是常用的方法,另外恰当地放缩是证明不等式特有的技
巧.
2 利用数学归纳法证明不等式
典例　用数学归纳法证明:
1+ + +…+ ≤ +n(n∈N+).
思路点拨　分别确定当n=k(k∈N+),n=k+1时不等式的左边的值,找到它们之间的
关系,运用数学归纳法证明.
证明 (1)当n=1时,
1+ = ,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,
即1+ + +…+ ≤ +k,
则当n=k+1时,
1+ + +…+ + + +…+
< +k+2k·
= +(k+1),
即当n=k+1时,不等式成立.
由(1)(2)可知,
不等式对任意n∈N+都成立.
“归纳—猜想—证明”的解题步骤
3 归纳—猜想—证明解决与递推公式有关的数列问题
典例　已知数列{an}满足a1=a(a>0),an= (n≥2,n∈N+).
(1)用a表示a2,a3,a4;
(2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明.
思路点拨 (1)利用递推公式求出a2,a3,a4.(2)结合(1)归纳出an的通项公式,再用数
学归纳法证明结论.
解析 (1)由已知得,a2= = ,
a3= = = ,
a4= = = .
(2)因为a1=a= ,
a2= ,
……
所以猜想an= .
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,
因为a1=a= ,
所以当n=1时,猜想成立.
②假设当n=k(k∈N+)时,猜想成立,
即ak= ,
所以当n=k+1时,
ak+1= =
=
=
= ,
所以当n=k+1时,猜想也成立.
根据①②可知,猜想对任意n∈N+都成立.

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