资源简介

专题强化练2　等比数列的综合应用
　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若++2a2a6=8 100,S4-S2=36,则S2 021=(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
2.我国古代数学典籍《九章算术》卷七中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问几何日相逢 ”翻译过来就是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙.大、小鼠第一天都前进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,问几天后两鼠相遇 现将墙的厚度改为200尺,则打穿此墙至少需要的天数为(结果取整数)(　　)
A.6　　B.7　　C.8　　D.9
3.已知数列{an}满足a1=,an+1=an(n∈N+).设bn=(n∈N+),且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围是(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.
C.　　　　D.(-1,2)
4.等比数列{an}的前n项和为Sn,其中n∈N+,则下列说法正确的是(　　)
A.若a3>a1>0,则an>0
B.若a3>a1>0,则Sn>0
C.若a3+a2+a1>a2+a1>0,则an>0
D.若a3+a2+a1>a2+a1>0,则Sn>0
5.(多选)已知Sn是数列{an}的前n项和,且a1=a2=1,an=an-1+2an-2(n≥3),则下列结论正确的是(　　)
A.数列{an+1+an}为等比数列
B.数列{an+1-2an}为等比数列
C.an=
D.S20=×(410-1)
6.数列{an}是以a为首项、q为公比的等比数列,数列{bn}满足bn=1+a1+a2+…+an(n=1,2,…),数列{cn}满足cn=3+b1+b2+…+bn(n=1,2,…),若{cn}为等比数列,则 a+q=　　　　.
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=,an+1=an(n∈N+).
(1)证明数列为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=n(2-Sn),求数列的前n项和Tn.
答案与分层梯度式解析
1.C　设{an}的公比为q,由++2a2a6=8 100得++2a3a5=8 100,即=8 100,
因为an>0,所以a3+a5=90,又因为S4-S2=a3+a4=36,所以===,由q>0得q=3,
带入a3+a4=a1q2+a1q3=36,得a1=1,
所以S2 021==,故选C.
2.C　设需要n天才能打穿,则+≥200,化简并整理得2n--199≥0,令f(n)=2n--199,则f(7)=27--199<0, f(8)=28--199>0,
又f(n)连续变化且在[1,+∞)上单调递增,
∴f(n)在(7,8)内存在唯一零点,
∴打穿此墙至少需要8天.故选C.
3.C　由a1=,an+1=an(n∈N+)可知数列{an}是首项为、公比为的等比数列,
∴an=×=,
∴bn==(n-2λ)2n.
∵数列{bn}是递增数列,
∴bn+1>bn对于任意的n∈N+恒成立,
即(n+1-2λ)2n+1>(n-2λ)2n对于任意的n∈N+恒成立,
整理得λ<对于任意的n∈N+恒成立,
∴λ<,故选C.
4.D　若an=(-2)n-1,则满足a3>a1>0,但an>0,Sn>0不一定成立,故A,B错误.
对于C, 若an=,满足a3+a2+a1>a2+a1>0,但an>0不一定成立,故C错误.
对于D,设等比数列{an}的公比为q,
因为a3+a2+a1>a2+a1 a3>0 a1q2>0 a1>0,
a2+a1>0 a2>-a1 a1q>-a1 q>-1,
所以当0<|q|<1时,Sn=>0,
当q=1时,Sn=na1>0,
当q>1时,Sn=>0.
综上,Sn>0.故D正确.
5.ABD　因为an=an-1+2an-2(n≥3),所以an+an-1=2an-1+2an-2=2(an-1+an-2),又因为a1+a2=2≠0,所以{an+1+an}是首项为2、公比为2的等比数列,A正确;同理an-2an-1=-an-1+2an-2=-(an-1-2an-2)(n≥3),而a2-2a1=-1≠0,所以{an+1-2an}是首项为-1、公比为-1的等比数列,B正确;若an=,则a2==3,与已知矛盾,C错;由{an+1+an}是等比数列,且公比为2,因此数列a1+a2,a3+a4,a5+a6,…仍然是等比数列,且公比为4,所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)==×(410-1),D正确.故选ABD.
6.答案　2
解析　当q=1时,bn=1+a1+a2+…+an=1+na,
cn=3+b1+b2+…+bn=3+(1+a)+(1+2a)+…+(1+na)=3+n+,则c1=4+a,c2=5+3a,c3=6+6a,
因为{cn}为等比数列,所以c1c3=,此时无解;
当q≠1时,bn=1+a1+a2+…+an=1+-,
cn=3+b1+b2+…+bn=3+n-+·qn,因为{cn}为等比数列,所以1+=0,3-=0,则q=,a=,所以a+q=2.
7.解析　(1)因为an+1=an,所以=,
又因为=a1=,所以数列是首项为、公比为的等比数列,
从而=×=,故an=.
(2)由(1)可知,
Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×①,
所以Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×②,
①-②,得Sn=+++…+-n×=-n×,
化简并整理得Sn=2-,
所以bn=n(2-Sn)=,
故==-=-,
所以Tn=-+++…++=-=-4.
6

展开更多......

收起↑