资源简介

专题强化练3　数列的递推公式及通项公式
已知数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,则
a2 020=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.6　　B.-6　　C.3　　D.-3
2.已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则数列{an}的通项公式为an=(　　)
A.2n-1　　B.2n-1　　C.　　D.n2
3.记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且n≥2时,an(2Sn-1)=2,则S10的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.数列{an}的首项a1=2,且an+1=4an+6,令bn=log2(an+2),则=(　　)
A.2 020　　B.2 021　　C.2 022　　D.2 023
5.在数列{an},{bn}中,an+1=an+bn+,bn+1=an+bn-,a1=1,b1=1,设cn=,则数列{cn}的前2 020项和为(　　)
A.2 016　　B.4 020　　C.2 020　　D.4 040
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=3,且Sn+1+Sn-1=2n+2Sn(n≥2),若λ(Sn-an)+λ+7≥(2-λ)n对任意n∈N+都成立,则实数λ的最小值为(　　)
A.-　　B.　　C.　　D.1
7.已知在数列{an}中,a1=2,a1+++…+=an+1-2,则an=　　　　.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,Sn+1=4an+2,则an=　　　　.
9.已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an.
(1)证明:数列{an+an+1}为等比数列;
(2)若a1=,a2=,求{an}的通项公式.
10.在①nan+1-(n+1)an=n2+n,②3Sn=(n+2)an,③Tn+1=这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并解答.
设首项为2的数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,且　　　　.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和.
答案与分层梯度式解析
1.D　因为an+2=an+1-an①,
所以an+3=an+2-an+1②,
①+②并化简得an+3=-an,则an+6=-an+3=an,
即数列{an}是周期为6的周期数列.
因为a1=3,a2=6,所以a3=a2-a1=3,a4=-a1=-3,a5=-a2=-6,a6=-a3=-3,则a2 020=a6×336+4=a4=-3,故选D.
2.C　易知an>0,且an≠1,在an+1=的两边同时取常用对数,得lg an+1=2lg an,故=2,所以数列{lg an}是以lg 2为首项,2为公比的等比数列,所以lg an=2n-1×lg 2=lg ,所以an=,故选C.
3.D　当n≥2时,an(2Sn-1)=2,则(Sn-Sn-1)(2Sn-1)=2,即Sn+2SnSn-1=Sn-1,可得-=2,
所以是首项为1、公差为2的等差数列,
所以=1+2(n-1)=2n-1,所以Sn=,
所以S10==,故选D.
4.C　∵an+1=4an+6,∴an+1+2=4(an+2)>0,即=4,又∵a1=2,∴数列{an+2}是以4为首项、4为公比的等比数列,故an+2=4n.由bn=log2(an+2),得bn=log24n=2n,设数列{bn}的前n项和为Sn,则S2 021=2×(1+2+3+…+2 020+2 021)=2 021×2 022,
∴=2 022,故选C.
5.D　an+1=an+bn+①,bn+1=an+bn-②,①+②,得an+1+bn+1=2(an+bn),又因为a1=1,b1=1,所以{an+bn}是以2为首项、2为公比的等比数列,所以an+bn=2n.①×②,得an+1bn+1=2anbn,又因为a1=1,b1=1,所以{anbn}是以1为首项、2为公比的等比数列,所以anbn=2n-1.所以cn==2,所以数列{cn}的前2 020项和为2×2 020=4 040,故选D.
6.C　由题意得Sn+1-Sn=2n+Sn-Sn-1(n≥2),故an+1-an=2n(n≥2),因为a2-a1=2,所以an+1-an=2n(n≥1),所以an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-2,……,a2-a1=2,则an-a1=21+22+…+2n-1,
故an=1+21+22+…+2n-1==2n-1,所以Sn=21+22+23+…+2n-n=-n=2n+1-n-2,
所以Sn-an=2n-n-1.因为λ(Sn-an)+λ+7≥(2-λ)·n对任意n∈N+都成立,所以λ≥.
设cn=,则cn+1-cn=-=,当n≤4时,cn+1>cn,当n≥5时,cn+1c6>c7>…,即λ≥c5=,故λ的最小值为.故选C.
7.答案　2n
解析　因为a1+++…+=an+1-2①,所以当n=1时,a1=a2-2,得a2=4;当n≥2时,a1+++…+=an-2②,①-②,得=an+1-an,
即nan+1=(n+1)·an,易知an≠0,所以=(n≥2).
因为=2,所以=(n≥1),所以···…·=×××…×=n,所以=n,所以an=2n.
8.答案　n·2n
解析　由题意得S2=4a1+2,所以a1+a2=4a1+2,解得a2=8,又因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),因此数列{an+1-2an}是以a2-2a1=4为首项、2为公比的等比数列,故an+1-2an=4×2n-1=2n+1,于是-=1,因此数列是以1为首项、1为公差的等差数列,故=1+(n-1)=n,故an=n·2n.
9.解析　(1)证明:∵an+2=2an+1+3an,∴an+2+an+1=3(an+1+an),易知an+an+1≠0,∴{an+an+1}是以a1+a2为首项、3为公比的等比数列.
(2)由题意得a1+a2=2,
∴an+1+an=2·3n-1,
∴an=2·3n-2-an-1=2·3n-2-(2·3n-3-an-2)=4·3n-3+an-2(n≥3).
当n≥3且n为奇数时,an=4·3n-3+4·3n-5+…+4·30+a1=4·+=·3n-1,当n=1时,a1=满足此式;
当n≥3且n为偶数时,an=4·3n-3+4·3n-5+…+4·31+a2=4·+=·3n-1,当n=2时,a2=满足此式.
综上,an=·3n-1(n∈N+).
10.解析　(1)选①.
因为nan+1-(n+1)an=n2+n,所以-=1,
因为a1=2,所以=2,所以数列是以2为首项、1为公差的等差数列,所以=n+1,即an=n2+n.
选②.
因为3Sn=(n+2)an,所以3Sn+1=(n+3)an+1,
两式相减,可得3an+1=(n+3)an+1-(n+2)an,
即nan+1=(n+2)an,
所以=,所以是常数列,因为=1,所以=1,即an=n2+n.
选③.
因为Tn+1=,所以=an+1=,即=,所以是常数列,因为=1,所以=1,即an=n2+n.
(2)由(1)可知,an=n2+n,所以bn=(-1)n(n2+n).设{bn}的前n项和为Bn,
则b2k-1+b2k=-[(2k-1)2+2k-1]+(2k)2+2k=4k,
所以当n=2k(k∈N+)时,Bn=B2k=4+4×2+…+4×k==2k2+2k=+n;
当n=2k-1(k∈N+)时,n+1=2k,
Bn=Bn+1-bn+1=+(n+1)-[(n+1)2+n+1]=-.
综上,Bn=
7

展开更多......

收起↑