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重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
5．估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
6．服装车间有70名工人，缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条，设名工人缝制上衣，名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，正方形，分别取和边的中点，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．式子中的a，b、c、d是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“＋”“－”“×”“÷”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在a添加“×”，在d添加“＋”，b，c不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法：
①添加“×”“÷”两个运算符号，得到的算式有12种不同的结果：
②存在一种添加“＋”“－”“×”“÷”四个符号的算式，其结果为；
③只添加“＋”“－”“×”三个符号，得到的算式中，结果最大为1
其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
11． ．
12．如图，点A是反比例函数的图象上的一点过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，，若的面积为5，则k的值是 ．
13．若是方程的两个实数根，则代数式，的值等于 ．
14．若二次函数的图象过点三点，则的大小关系是 ．
15．如图，菱形的边长为4，且是对角线上的两个动点，且，连接，则的最小值为 ．
16．如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ．
17．已知关于的一元一次不等式组有且仅有2个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值之积为 ．
18．阅读材料：一个四位自然数的千位为，百位为，十位为，个位为，若关于的一元一次方程的解为，则称这个四位自然数为方程的“顺承数”．如：方程的解是所以2317就是方程的“顺承数”．判断5138 （填“是”或“否”）为某个方程的“顺承数”；方程的解是（且为整数），若是该方程的“顺承数”，交换的百位和个位数字得到新数，且能被3整除，则满足条件的的最大值与最小值之和为 ．
三、解答题
19．化简．
(1)；
(2)
20．如图，四边形中，，连接．
(1)尺规作图：作的平分线交点E（只保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，试探究与的数量关系，并说明理由补全下面的解题过程：
证明：平分
∴①___________，
又
②___________
∵在和中
∴④___________
21．如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长，
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点．
(1)求此一次函数和反比例函数的表达式：
(2)求的面积；
(3)在的部分，直接写出的解集．
23．如图1．矩形中，交于点，动点沿按每秒2个单位长度运动，动点沿按每秒个单位长度运动，两点同时运动，当运动至点时，点也停止运动，在整个运动过程中，记，记点到点的距离为，设运动时间为秒．
(1)直接写出和关于的函数关系，并注明自变量的取值范围；
(2)如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质；
(3)根据所画出的函数图像，直接写出当．时，所对应的取值范围．
24．炎炎夏日，吃上一块甘甜多汁的西瓜绝对是一种享受、某水果店出售特小凤西瓜和彩虹西瓜两个品种，其中彩虹西瓜售价比特小凤西瓜每斤高出6元．
(1)该水果店第一周卖出特小凤西瓜300斤，彩虹西瓜600斤．这两种西瓜的销售总额为11700元．请问特小凤西瓜和彩虹西瓜每斤售价分别为多少元；
(2)根据第一周的销售情况，该水果店对特小凤西瓜的售价进行了调整，第二周与第一周相比，该水果店的特小凤西瓜每斤售价降低，销量增加斤；彩虹西瓜售价不变，销量增加．于是这两种西瓜的第二周销售总额比第一周的销售总额多．求a的值．
25．如下图所示，二次函数与轴相交于两点，与轴相交于点．已知点，抛物线的对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式：
(2)连结，点是抛物线上一点，在直线下方移动，过点分别向轴，轴做垂线，与交于两点，求周长的最大值．
(3)将抛物线沿着射线的方向平移个单位，点是平移后抛物线上任意一点，若，直接写出点的坐标．
26．已知为等边三角形，是平面内的一个动点．
(1)如图1，点在内部，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的度数；
(2)如图2，点，在外部，满足，连接，其中为中点，连接；若，求证：；
(3)如图3，点在外部，，将沿着翻折，得到，连接，为线段上一点，且，连接；若，当线段的长取最小值时，直接写出的面积．
重庆市北碚区西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C C D B B C B
1．A
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．C
【详解】解：抛物线，
当时，，
抛物线的顶点坐标是，
故选：C
3．D
【详解】解∵已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若
∴，，
∴，，
∴，
解得，
故选：D．
4．C
【详解】A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故正确；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故错误．
故选：C．
5．C
【详解】，
∵，
∴，
∴，即在8到9之间，
故选：C．
6．D
【详解】服装车间有70名工人，
∴；
∵缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条，
∴．
根据题意可列二元一次方程组．
故选：D．
7．B
【详解】根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，，
一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合，
故选：B．
8．B
【详解】当时，有，解得，
，
四边形是正方形，
，
当时，解得，
∴，
同理可得出：，，，
对应的点，．，，
，，
点的坐标为．
故选：B．
9．C
【详解】解：过点作于，如图所示：
四边形为正方形，
，，
点，为，的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
为的垂直平分线，
，
∴．
故选：C．
10．B
【详解】①添加“×”“÷”两个运算符号，运算结果为：
先乘后除，，，，， ，
先除后乘，，，，，，
总共12种结果，故①正确；
②存在一种添加“＋”“－”“×”“÷”四个符号的算式，其结果为；
，故②正确；
③只添加“＋”“－”“×”三个符号，得到的算式中，结果最大为1；
，故③错误；
综上，正确的个数是2，
故选：B．
11．
【详解】，
故答案为：．
12．
【详解】解：连接，如图，
∵轴，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
13．
【详解】∵，是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【详解】∵二次函数的图象过点三点，
∴，，，
∴，
故答案为：．
15．
【详解】如图，作，使得，连接交于，则的值最小．
，，
四边形是平行四边形，
，
菱形的边长为4，，
， 垂直平分，，，
∴为等边三角形，
，
∵，
，
，
在中，，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴当三点共线时的值最小，最小值为，
故答案为：．
16．
【详解】如图，作于，过点作于．
，，
∴，
，，
到的距离和到的距离都是平行线、间的距离，
点到的距离是，
四边形是平行四边形，
，，，
由折叠可知，，，，
，，，
，
在和中，
，
∴；
，
，，
，
，
设，则，
，
由折叠可知，，
，
，
，
，
在中，
由勾股定理得，
解得，
，
．
∴
故答案为：．
17．
【详解】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是：
不等式组有且仅有2个整数解，
，
；
，
，
，
当时，原分式方程无解，
当时，即时，，
，
，
解得：，即
分式方程有正整数解，即有正整数解，
∴或或或，
解得：或（舍去）或或，
∵，
或，
∴满足条件的整数的值之积为．
故答案为：．
18． 是 4146
【详解】解：是方程，
是“顺承数”；
方程的解是，，且，，为整数），若是该方程的“顺承数”，
四位数是：2204，2124，2044，2033，2011，2113，2022，2102，2000，
四位数是：2402，2421，2440，2330，2110，2311，2220，2201，2000，
是4606，4545，4484，4363，4121，4424，4242，4303，4000，
能被3整除，
有4545，4242两个数能被3整除，
满足条件的的值为2124和2022，
最大值与最小值之和为
故答案为：是；4146
19．(1)
(2)
【详解】（1）
．
（2）
．
20．(1)见解析
(2)①；②；③；④
【详解】（1）解：如图，射线即为所求作：
（2）证明：平分
∴，
又
∵在和中
∴
．
故答案为：①；②；③；④．
21．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：平分，
，
垂直平分，
，，
，，
，
∴，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：如图，过点作，
四边形是菱形，
∴，，，
，
又∵，
∴，，
，，
，
，
．
22．(1)
(2)的面积为
(3)或
【详解】（1）解：把点代入反比例函数中得，，
解得，，
∴反比例函数解析式为：，
把点代入反比例函数得，，
∴，
把点代入一次函数解析式得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：如图所示，设直线与轴交于点，
∵一次函数解析式为，
∴令时，，令时，，
∴，则，
∴，，，
∴；
（3）解：根据图示，且，，
∴当或时，；
∴的解集为：或．
23．(1)，
(2)作图见详解，当 时， 随 的增大而增大；
(3)当时，
【详解】（1）解：如图所示，四边形是矩形，，
∴，，
∴点从的运动时间为（秒），点从的运动时间为（秒），运动时间为秒，
∴当时，即点在上时，如图所示，
∴，；
当时，即点在上时，如图所示，过点作于点，且，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
综上所述，
，；
（2）解：由（1）可得，作图如下，
∴当时，随的增大而增大；
（3）解：根据题意，如图所示，函数、的图象，
∴，
解得，，
∴当时，．
24．(1)特小凤西瓜每斤售价9元，则彩虹西瓜每斤售价15元；
(2)
【详解】（1）解：设特小凤西瓜每斤售价x元，则彩虹西瓜每斤售价元，
根据题意，得，
解得，
，
答：特小凤西瓜每斤售价9元，则彩虹西瓜每斤售价15元；
（2）解：根据题意，得，
解得或（舍去）．
25．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：根据题意，把点，对称轴为直线代入抛物线得，
，
解得，，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：由（1）可得抛物线解析式为，
∴令，则，
∴，
令，则，
解得，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，则，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
∵点是抛物线上一线，且在直线下方，
∴设，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴点的横坐标为，代入直线的解析式得，，
∴，
点的纵坐标为，代入直线的解析式得，，
∴，
∴，，
∴在等腰直角中，，
∴的周长为：，
∵，
∴有最大值，
∵对称轴为，
∴，
∴周长的最大值为：；
（3）解：已知抛物线解析式为，是等腰直角三角形，
∵将抛物线沿着射线的方向平移个单位，即向右平移个单位，向上平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为，
如图所示，
第一种情况，点在的位置，，延长交轴于点，
由（2）可得，，
∴，
∴在中，，
∴，则，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴联立直线与平移后新的抛物线解析式为方程组得，，
解得，（不符合题意，舍去），，
∴；
第二种情况，当在的位置时，，延长交轴于点，
∴，则，
由第一种情况可得，，
∴，则，
∴，则，
同理，设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立直线与平移后新的抛物线解析式为方程组得，，
解得，（不符合题意，舍去）或，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
26．(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：延长至，使，连接，如图2，
∵为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：取的垂直平分线交点，连接，如图3，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴为定值，
又∵为定点，为定点，
∴为定长，
由两点之间线段最短知，
即，当在一条直线时有最小值，
设交于，由折叠知，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．

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