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3.1.2　椭圆的简单几何性质
基础过关练
题组一　由椭圆的标准方程探究其几何性质
1.已知椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　B.2　　C.　　D.4
2.已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1,则两个椭圆(　　)
A.有相同的长轴与短轴
B.有相同的焦距
C.有相同的焦点
D.有相同的离心率
3.椭圆+=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=,则m=　　(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.2
4.设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且∠CBA=45°,若AB=4,BC=,则椭圆的焦距等于(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
题组二　由椭圆的几何性质求标准方程
5.已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆C的长轴长为4,焦距为2,则C的方程为(　　)
A.+=1　　　　
B.+=1或+=1
C.+=1 　　　　
D.+=1或+=1
6.过点(2,),焦点在x轴上且与椭圆+=1有相同的离心率的椭圆方程为(　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.+=1　　　　D.+=1
7.以椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形,且椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6,则椭圆C的标准方程为(　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.+=1　　　　D.+=1
8.若椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,焦距为2,椭圆C上的两点P,Q关于原点对称,|PF|-|QF|=a,且PF⊥QF,则椭圆C的方程为　　　　.
题组三　椭圆的离心率
9.设e是椭圆+=1的离心率,且e∈,则实数k的取值范围是(　　)
A.(0,3)　　　　B.
C.(0,2)　　　　D.(0,3)∪
10.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,A是椭圆上位于x轴上方的一点,且|AF1|=|F1F2|,则直线AF1的斜率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.1
11.已知椭圆+=1(a>b>0)上存在点P,使得|PF1|=3|PF2|,其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
12.已知F是椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,若过原点的直线与椭圆相交于 A,B两点,且∠AFB=120°,则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
题组四　直线与椭圆的位置关系
13.直线y=x+1与椭圆+=1的位置关系是(　　)
A.相交　　　　B.相切
C.相离　　　　D.无法判断
14.直线y=x+m与椭圆+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=,则实数m的值为(　　)
A.±　　B.±1　　C.±　　D.±2
15.直线y=x+1被椭圆+=1所截得的线段的中点的坐标是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
16.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为　　　　.
17.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,B1为椭圆的上顶点,△B1F1F2的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,P,|MP|=|NP|,求实数m的取值范围.
能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　椭圆的几何性质及其应用
1.已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆+=1上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上的一点(不与点P重合),且·=0,则||的取值范围为(　　)
A.[0,3)　　　　B.(0,2)
C.[2,3)　　　　D.[0,4]
2.(多选)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2且|F1F2|=2,点 P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是(　　)
A.|QF1|+|QP|的最小值为 2a-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为
D.若=,则椭圆 C的长轴长为+
3.已知A,B为椭圆+=1(a>b>0)上的两点,F1,F2分别为其左、右焦点,且满足=2,当∠F1AF2=时,椭圆的离心率为　　　　.
4.已知椭圆+=1(a>b>0)的短轴长为8,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且△F1AB的面积为4,P为椭圆上的任意一点,则+的取值范围为　　　　.
5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).过F1且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点A,以F1A,F1O(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OF1AB,点B恰好也在椭圆上,则b2=　　　　　.
题组二　直线与椭圆的位置关系
6.(多选)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点 P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”,下列直线是“椭型直线”的是(　　)
A.x-2y+6=0　　　　B.x-y=0
C.2x-y+1=0　　　　D.x+y-3=0
7.已知椭圆G:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点的坐标为(,-),则椭圆G的方程为(　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.+=1　　　　D.+=1
8.已知曲线C上任意一点P(x,y)满足+=2,则曲线C上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
9.已知点P(0,1)为椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,且直线x+2y-2=0过椭圆C的一个焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不经过点P(0,1)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,记直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=-2,则直线l是否过定点 若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
10.如图,已知动圆M过点E(-1,0),且与圆F:(x-1)2+y2=8内切,设动圆圆心M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过圆心F的直线l交曲线C于A,B两点,问:在x轴上是否存在定点P,使得当直线l绕点F任意转动时,·为定值 若存在,求出点P的坐标和·的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　易知长轴长2a=2,短轴长2b=2,
所以4=2,解得m=4.故选D.
2.D　将椭圆方程x2+2y2=2整理得+y2=1,其焦点在x轴上,a1=,b1=1,则c1==1,所以e1===.
将椭圆方程2x2+y2=1整理得+y2=1,其焦点在y轴上,a2=1,b2=,则c2==,
所以e2===,故选D.
3.C　由题意得a=,b=m,c=1,∠F1AO=(O为坐标原点),则tan ===,所以m=.故选C.
4.A　不妨设椭圆的方程为+=1(a>b>0),A,B分别为长轴的左、右端点,则2a=4,C(1,1)或C(1,-1),所以a2=4,于是+=1,解得b2=,所以c==,所以焦距2c=.
5.D　由题意得a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3.
当焦点在x轴上时,椭圆的方程为+=1,当焦点在y轴上时,椭圆的方程为+=1.故选D.
6.D　设所求椭圆方程为+=λ(λ>0),将(2,)代入可得+=λ,即λ=2,所以所求椭圆方程为+=1.故选D.
7.C　由题意可得解得所以椭圆C的标准方程为+=1.
8.答案　+=1
解析　设椭圆C的左焦点为F',则F'(-c,0),由椭圆的对称性可知|PF|-|QF|=|QF'|-|QF|=a,又因为|QF'|+|QF|=2a,所以|QF'|=,|QF|=,由PF⊥QF得∠F'QF=90°,在Rt△F'QF中,由勾股定理得|QF|2+|QF'|2=|FF'|2,
即+=(2c)2=20,解得a2=8,又因为c=,所以b2=a2-c2=3,因此椭圆C的标准方程为+=1.
9.D　当椭圆的焦点在x轴上时,k>4,e=∈,∴∈,∴k∈;当椭圆的焦点在y轴上时,010.B　依题意e==,即a=2c.又因为|AF1|+|AF2|=2a,|F1F2|=2c,|AF1|=|F1F2|,所以|AF2|=2c,所以△AF1F2是等边三角形,所以∠AF1F2=60°,所以=tan∠AF1F2=tan 60°=,故选B.
11.D　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,
又∵|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a,
而|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c,当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立,即a-a≤2c,解得e=≥,即≤e<1,故选D.
12.D　设椭圆的另一个焦点为F',连接AF',BF',则四边形AFBF'为平行四边形,∠FAF'=60°,在△AFF'中,由余弦定理得|FF'|2=|AF|2+|AF'|2-2|AF|·|AF'|cos∠FAF'=(|AF|+|AF'|)2-3|AF|·|AF'|,所以(|AF|+|AF'|)2-|FF'|2=3|AF|·|AF'|≤3,即(|AF|+|AF'|)2≤|FF'|2,当且仅当|AF|=|AF'|时等号成立,则×4a2≤4c2,可得椭圆的离心率e=≥,所以e∈,故选D.
13.A　直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入+=1,得0+<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.
14.B　设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0,则x1+x2=-,x1x2=,所以弦长|AB|=·=·=·=,解得m=±1,故选B.
15.C　联立消去y并整理,得3x2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-,x0==-,y0=x0+1=,
∴所截得的线段的中点的坐标为.
16.答案　
解析　由题意知,椭圆右焦点的坐标为(1,0),又因为直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-1),将其与方程+=1联立,消去y并整理,得3x2-5x=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=0,所以|AB|=·|x1-x2|=·=×=.设原点到直线的距离为d,则d==.所以S△OAB=|AB|·d=××=.
17.解析　(1)=·2c·b=bc=,又∵=,a2=b2+c2,∴a=2,b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由消去y并整理,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,
由Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,得4k2>m2-1.
设MN的中点D的坐标为(x0,y0),
则x0==,y0=kx0+m=+m=,即D.
∵|MP|=|NP|,∴DP⊥MN,即=-,
∴4k2=-6m-1,
∴解得-6∴实数m的取值范围是.
能力提升练
1.B　如图,延长PF2,F1M交于点N,则△PF1N为等腰三角形,M为F1N的中点,||=||=|-|=|||-|||.由图可知,当P在短轴端点时,||取得最小值,此时||=0;当P在长轴端点时,||取得最大值,此时||=2,又因为点P不能在坐标轴上,所以||的取值范围为(0,2).
2.ACD　因为|F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1,当点Q在F2P的延长线上时取等号,故A正确;若椭圆C的短轴长为2,即2b=2,则b2=1,a2=2,所以椭圆的方程为+y2=1,又因为+12>1,则点P在椭圆外,所以短轴长不可能为2,故B错误;因为点P(1,1)在椭圆内部,所以+<1,又因为a2-b2=1,所以+<1(a>1),即a4-3a2+1>0(a>1),所以a2>,所以a>,所以e=<,所以e∈,故C正确; 若=,则F1为线段PQ的中点,所以Q(-3,-1),又因为点Q在椭圆上,所以+=1,又因为a2-b2=1,所以+=1(a>1),即a4-11a2+9=0(a>1),所以a2==,所以a=,所以椭圆C的长轴长为+,故D正确.故选ACD.
3.答案　
解析　由题意得A,F1,B三点共线,设|F1B|=m(m≠0),则|AF1|=2m,|AB|=3m.在椭圆中,|F1F2|=2c,∠F1AF2=,由椭圆的定义可得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m,在△F1AF2中,由余弦定理得=+|AF2|2-2|AF1||AF2|·cos∠F1AF2,即4c2=4m2+(2a-2m)2-2·2m·(2a-2m)·cos ,化简得c2=a2+3m2-3am.在△ABF2中,由余弦定理得=|AB|2+|AF2|2-2|AB|·|AF2|cos∠BAF2,即(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2-2·3m·(2a-2m)·cos,化简得9m2-5am=0,因为m≠0,所以m=a,所以c2=a2+3·a2-3a·a=a2,所以=.
4.答案　
解析　由已知得2b=8,故b=4,∵△F1AB的面积为4,∴(a-c)b=4,∴a-c=2,又∵a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=16,故a+c=8,∴a=5,c=3,
∴+=
==
==,
又∵a-c≤|PF1|≤a+c,即2≤|PF1|≤8,∴当|PF1|=5时,-+25有最大值,为25;当|PF1|=2或|PF1|=8时,-+25有最小值,为16,即16≤-+25≤25,∴≤+≤,即≤+≤.
5.答案　2
解析　依题意可知c=2,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为四边形OF1AB为平行四边形,所以y1=y2,又因为+=1,+=1,所以x2=-x1,因为F1A∥OB,且直线F1A的倾斜角为60°,所以==,所以x1=-1,x2=1,y1=y2=,所以A(-1,),将其代入+=1,得+=1,又因为a2-b2=c2=4,所以a2=4+2,b2=2.
6.BC　|PM|+|PN|=4>|MN|=2,根据椭圆的定义可得点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为+=1.由题意知“椭型直线”与椭圆有公共点,对于A,联立消去x并整理,得2y2-9y+12=0,所以Δ<0,方程组无解,所以A中直线不是“椭型直线”;同理,D中直线也不是“椭型直线”;对于B,直线x-y=0过原点,必与椭圆相交,所以是“椭型直线”;对于C,因为直线2x-y+1=0过点(0,1),且点(0,1)在椭圆内部,则该直线必与椭圆相交,是“椭型直线”.故选BC.
7.D　设点A(x1,y1),B(x2,y2),则两式作差得+=0,整理可得=-,设线段AB的中点为M,则M(,-),则kAB·kOM=·=-,又因为kAB=kMF==,kOM=-1,所以-=×(-1)=-,所以解得因此椭圆G的方程为+=1.
故选D.
8.B　原等式可化为+=2,设F1(0,-1),F2(0,1),则|F1F2|=2,∴|PF1|+|PF2|=2>|F1F2|=2,∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且c=1,a=,∴b2=1,
∴曲线C的方程是x2+=1,设与直线2x-y-4=0平行且与曲线C相切的直线方程为2x-y+t=0(t≠-4).联立消去y并整理,得6x2+4tx+t2-2=0,∴Δ=16t2-24(t2-2)=0,∴t=±,
易知当t=-时,切点到直线2x-y-4=0的距离最近,此时可求得x=,y=-,故所求点的坐标是.故选B.
9.解析　(1)由题意知P(0,1)为椭圆的上顶点,则b=1,在x+2y-2=0中,令y=0,可得x=2,即c=2,
所以a2=b2+c2=1+4=5,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,
设A(x0,y0),B(x0,-y0)(-则k1+k2=+=-2,解得x0=1,所以直线方程为x=1;
当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y并整理,可得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,则x1+x2=,x1x2=,所以k1+k2=+==-2,整理,得(2k+2)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,
所以(k+1)·=,
即(m-1)(k+m+1)=0,
因为直线l不过点P(0,1),所以m≠1,
所以k+m+1=0,即m=-k-1,
所以y=kx+m=kx-k-1=k(x-1)-1,
当x=1时,y=-1,所以直线l过定点(1,-1).
又因为直线x=1也过点(1,-1),所以直线l恒过定点(1,-1).
10.解析　(1)由圆F的方程知,其圆心为F(1,0),半径为2.
设圆M和圆F内切于点D,则D,M,F三点共线,且|DF|=2.因为圆M过点E,所以|ME|=|MD|,所以|ME|+|MF|=|MD|+|MF|=|DF|=2>|EF|=2,
所以圆心M的轨迹是以E,F为焦点的椭圆.
因为2a=2,所以a=,又因为c=1,则b2=a2-c2=1,所以曲线C的方程是+y2=1.
(2)当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=ty+1,代入+y2=1,得(ty+1)2+2y2=2,
即(t2+2)y2+2ty-1=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-,y1y2=-.
设点P(m,0),则=(x1-m,y1),=(x2-m,y2),
·=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(ty1+1-m)(ty2+1-m)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(1-m)(y1+y2)+(1-m)2
=--+(1-m)2
=-+(1-m)2.
若·为定值,则=,解得m=,此时·=-+=-.
当直线l与x轴重合时,点A(-,0),B(,0).对于点P,则=,=,此时·=-2=-.
综上所述,存在点P,使得·=-为定值.
方法技巧
　　在解决直线和椭圆的位置关系问题时,直线的方程可设为x=ty+m,这种设法避免了对斜率是否存在的讨论.
17第3章　圆锥曲线与方程
3.1　椭圆　　
3.1.1　椭圆的标准方程
基础过关练
题组一　椭圆的定义及其应用
1.已知平面内两定点A,B及动点P,命题甲:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙:“点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆”,那么甲是乙的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=10,则|AB|=(　　)
A.2　　B.4　　C.6　　D.10
3.设P是椭圆C:+=1上一点,F1(-3,0),F2(3,0)分别是C的左、右焦点,|PF1|=3,则|PF2|=(　　)
A.5　　　　B.10-3
C.4　　　　D.2-3
4.已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.28　　B.16　　C.12　　D.9
5.已知P是圆C:(x+2)2+y2=64上的动点,A(2,0).若线段PA的中垂线交CP于点N,则点N的轨迹方程为　　　　　　　.
题组二　椭圆的标准方程
6.已知椭圆的标准方程为+=1,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是(　　)
A.4C.k>3　　　　D.37.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q,则此椭圆的标准方程是(　　)
A.+x2=1　　　　
B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1　　　　
D.以上都不对
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1的直线l垂直于x轴且交椭圆于A,B两点,|AB|=3,椭圆与y轴正半轴交于点D,|DF1|=2,则椭圆C的方程为(　　)
A.+y2=1　　　　B.x2+=1
C.+=1　　　　D.+=1
9.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点为P,则椭圆的方程为　　　　　.
10.过点(,-)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为　　　　　　　.
题组三　椭圆的标准方程的应用
11.已知椭圆+=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.4　　　　B.5
C.7　　　　D.8
12.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
13.设F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,O为坐标原点,点P在椭圆C上,且满足|OP|=4,则△PF1F2的面积为(　　)
A.3　　　　B.3
C.6　　　　D.9
14.已知点P(n,1),椭圆+=1,点P在椭圆外,则实数n的取值范围为　　　　.
15.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2=　　　　.
16.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,|F1F2|=2,P是椭圆C上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在第一象限,且·≤,求点P的横坐标的取值范围.
17.设O为坐标原点,动点M在椭圆E:+=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设A(1,0),在x轴上是否存在一定点B,使|BP|=2|AP|恒成立 若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.
能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　椭圆的定义及其应用
1.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点,P是椭圆C上的任意一点且不在x轴上,M是线段PF的中点,O为坐标原点.连接OM并延长,交圆x2+y2=a2于点N,则△PFN的形状是(　　)
A.锐角三角形　　　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　　　D.由点P的位置决定
2.已知定圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=49,定点M(2,1),动圆C满足与C1外切且与C2内切,则|CM|+|CC1|的最大值为(　　)
A.8+　　　　B.8-
C.16+　　　　D.16-
3.(多选)已知P是椭圆E:+=1上一点,F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,且△F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是(　　)
A.点P的纵坐标为3
B.∠F1PF2>
C.△F1PF2的周长为4+4
D.△F1PF2的内切圆半径为-
4.已知椭圆C:+=1,M,N是坐标平面内的两点,且点M与C的焦点不重合,若点M关于C的左、右焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|=　　　　.
题组二　椭圆的标准方程及其应用
5.椭圆+=1的焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°,则点P到x轴的距离为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点C,若F1,C是线段AB的三等分点,△F2AB的周长为4,则椭圆E的标准方程为(　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.+=1　　　　D.+y2=1
7.椭圆+=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上的动点,当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围是　　　　.
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点是F1,F2,点P(,1)
在椭圆C上,且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P关于x轴的对称点为Q,M是椭圆C上不同于P,Q的一点,直线MP和MQ与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:|OE|·|OF|为定值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　当|PA|+|PB|=|AB|时,动点P的轨迹为线段AB,当|PA|+|PB|>|AB|时,动点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,充分性不成立;由椭圆的定义可知必要性成立.故甲是乙的必要不充分条件,故选B.
2.C　由题意知a=4,由椭圆的定义知|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=4a=16,∵|F2A|+|F2B|=10,∴|AB|=|F1A|+|F1B|=6.故选C.
3.A　依题意得椭圆C的焦点在x轴上,且c=3,b2=7,所以m=7+32=16,又因为|PF1|=3,|PF1|+|PF2|=2=8,所以|PF2|=5,故选A.
4.B　易知a2=16,所以a=4,因为点M在C上,所以|MF1|+|MF2|=2a=8,所以|MF1|·|MF2|≤==16,当且仅当|MF1|=|MF2|=4时等号成立,故|MF1|·|MF2|的最大值为16,故选B.
5.答案　+=1
解析　圆C的圆心为C(-2,0),半径r=8,由线段PA的中垂线交CP于点N,可得|NA|=|NP|,所以|NA|+|NC|=|NP|+|NC|=|CP|=8>|CA|=4,故点N的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且2a=8,2c=4,因此b2=a2-c2=12,所以点N的轨迹方程为+=1.
6.A　∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,∴解得47.A　设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得
∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.
8.C　把x=-c代入椭圆方程,得y=±,所以|AB|==3,即=.易知D(0,b),F1(-c,0),所以|DF1|==2,即a=2,故b2=3,故椭圆C的方程为+=1.故选C.
9.答案　+=1
解析　根据题意知|PO|===c,
故F1(-,0),F2(,0).
∴|PF1|+|PF2|
=+
=4+2=6=2a,∴a=3,∴b2=a2-c2=4,
∴椭圆的方程为+=1.
10.答案　+=1
解析　由题意知所求椭圆的焦点在y轴上,设其标准方程为+=1(a>b>0),则c2=a2-b2=16①,把(,-)代入椭圆方程,得+=1②,由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为+=1.
11.D　依题意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,解得212.D　由已知得a=5,b=3,椭圆的焦点坐标为(-4,0)和(4,0),恰好是A,C两点,则|AC|=2c=8,|BC|+|BA|=2a=10,由正弦定理可得===,故选D.
13.D　由题意得c==4,则|F1F2|=2c=8,设点P(x0,y0),则+=1,可得=25-,
∴|OP|===4,∴=,∴|y0|=,因此=|F1F2||y0|=×8×=9.故选D.
14.答案　∪
解析　因为点P(n,1)在椭圆+=1外,所以+>1,解得n<-或n>,故实数n的取值范围为∪.
15.答案　120°
解析　由椭圆的标准方程知a2=9,b2=2,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,即c=,∴|F1F2|=2.
∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.
∴cos∠F1PF2==-,
又∵0°≤∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.
16.解析　(1)由题意得解得
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),
∵c=,∴F1(-,0),F2(,0),
∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),
∴·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=+-3.
∵点P在椭圆C上,∴+=1,即=1-,
∴·=+-3=+1--3≤,
解得-≤x0≤,又∵x0>0,∴0∴点P的横坐标的取值范围是(0,].
17.解析　(1)设P(x,y),M(x1,y1),则N(x1,0),=(x-x1,y),=(0,y1).
∵点M在椭圆E上,∴+=1(*),
由=,得即
代入(*)式,得x2+y2=4,
即点P的轨迹方程为x2+y2=4.
(2)假设存在点B(m,0)满足条件,
∵|BP|=2|AP|,∴=2,
即点P的轨迹方程为3x2+3y2+(2m-8)x=m2-4,
由(1)知点P的轨迹方程为x2+y2=4,
故解得m=4,
∴存在点B(4,0)满足条件.
能力提升练
1.B　不妨设F是椭圆C的右焦点,左焦点为F1,
则|PF1|+|PF|=2a.如图,在△PFF1中,O,M分别是FF1,PF的中点,∴|PF1|=2|OM|,|PF|=2|PM|,
∴|PF1|+|PF|=2|OM|+2|PM|=2a,即|OM|+|PM|=a,∴|MN|=|ON|-|OM|=a-(a-|PM|)=|PM|,
∴|MN|=|PM|=|MF|,∴N在以线段PF为直径的圆上,∴∠PNF=90°,故△PFN的形状是直角三角形.故选B.
2.A　由题意知圆C1的圆心为C1(-3,0),半径为1,圆C2的圆心为C2(3,0),半径为7.设动圆C的半径为r,由动圆C满足与C1外切且与C2内切,知|CC1|=r+1,|CC2|=7-r,所以|CC1|+|CC2|=8>|C1C2|=6,所以动点C的轨迹是以C1和C2为焦点、8为长轴长的椭圆[除去点(-4,0)],如图,易得其方程为+=1(x≠-4),由椭圆的定义可得|CC1|=2a-|CC2|=8-|CC2|,所以|CM|+|CC1|=8+|CM|-|CC2|,又因为|CM|-|CC2|≤|MC2|=(当点C在MC2的延长线上时取等号),所以|CM|+|CC1|≤8+,故选A.
3.CD　由已知得a=2,b=2,c=2,F1(-2,0),F2(2,0).不妨设P(m,n),m>0,n>0,
则=×2c×n=3,∴n=,
∴+=1,∴m=,∴P,
∴=+=+2,=+=-2,|F1F2|2=16,
∴+-|F1F2|2=>0,
∴cos∠F1PF2=>0,
∴∠F1PF2<,故A,B错误;
△F1PF2的周长为2a+2c=4+4,故C正确;
设△F1PF2的内切圆半径为r,则r·(4+4)=3,
∴r=-,故D正确.故选CD.
4.答案　12
解析　设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,∵F1,D分别是MA,MN的中点,∴|DF1|=|AN|,同理|DF2|=|BN|,∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),∵点D在椭圆上,∴|DF1|+|DF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.
5.C　易得c==6.设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=20.在△PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=+-2r1r2cos 60°,即144=+-r1r2=-3r1r2=400-3r1r2,则r1r2=,所以=r1r2sin 60°=××=.设点P到x轴的距离为d,则=×|F1F2|×d=6d,故6d=,解得d=.故选C.
6.A　由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,△F2AB的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,所以a=,所以椭圆E:+=1.不妨令点A在第一象限,C是F1A的中点,则A,所以C,又因为F1是BC的中点,所以B,把点B的坐标代入椭圆E的方程,得+=1,化简得b2=20-16c2,又因为b2=5-c2,所以c2=1,b2=4.所以椭圆E的方程为+=1.故选A.
7.答案　(-,)
解析　由已知得c=2,不妨令F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则+=1,即=2-,=(x0+2,y0),=(x0-2,y0),当∠F1PF2为钝角时,·=(x0+2)(x0-2)+=-4+2-=-2<0,解得-8.解析　(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,即a=2,则椭圆C:+=1.
将点P(,1)的坐标代入+=1,得+=1,∴b2=2,∴椭圆C的方程是+=1.
(2)证明:由点P,Q关于x轴对称,得Q(,-1).
设M(x0,y0),则有+2=4,x0≠,y0≠±1.
直线MP的方程为y-1=(x-),
令y=0,得x=,∴|OE|=.
直线MQ的方程为y+1=(x-),
令y=0,得x=,∴|OF|=.
∴|OE|·|OF|=·===4,
∴|OE|·|OF|为定值.
15(共30张PPT)
　　平面上到两个定点F1,F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.
这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距.
3.1　椭圆
1 | 椭圆的定义
2 | 椭圆的标准方程及简单几何性质
焦点的 位置 焦点 在x轴上 焦点
在y轴上
图形
标准方程 + =1 (a>b>0) + =1
(a>b>0)
范围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b,
-a≤y≤a
对称性 对称轴为x轴、y轴; 对称中心为(0,0) 顶点 A1(-a,0), A2(a,0), B1(0,-b), B2(0,b) A1(0,-a),
A2(0,a),
B1(-b,0),
B2(b,0)
轴长 长轴长为2a,短轴长为2b 离心率 e= (0
1.椭圆的通径
　　过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫作椭圆的通径,其长
度为 .
2.焦点弦
　　过焦点的弦,焦点弦中通径最短.
3.焦半径
　　椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫作椭圆的焦
半径,记r1=|PF1|,r2=|PF2|.
(1) + =1(a>b>0),则r1=a+ex0,r2=a-ex0;
(2) + =1(a>b>0),则r1=a+ey0,r2=a-ey0.
1.点P(x0,y0)与椭圆 + =1(a>b>0)的位置关系
　　点P在椭圆上 + =1;点P在椭圆内部 + <1;点P在椭圆外部 +
>1.
2.代数法判断直线与椭圆的位置关系
　　把椭圆方程与直线方程联立,消去y(x),整理得到关于x(y)的方程Ax2+Bx+C=0
(Ay2+By+C=0),该一元二次方程根的判别式为Δ,①若Δ>0,则直线与椭圆相交;②若
Δ=0,则直线与椭圆相切;③若Δ<0,则直线与椭圆相离.
3 | 点与椭圆、直线与椭圆的位置关系
3.弦长公式
　　设直线y=kx+b与椭圆有两个公共点M(x1,y1),N(x2,y2),则弦长公式为|MN|=
或|MN|= (k≠0).
1.平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹一定是椭圆吗
不一定.当2a>|F1F2|时,是椭圆;当2a=|F1F2|时,是线段;当2a<|F1F2|时,点的轨迹不存
在.
2.椭圆的离心率e越大,椭圆就一定越扁吗
一定.e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆.
知识辨析
1.定义法
　　根据椭圆的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出标准方程.
2.待定系数法.其步骤为:
(1)作判断.由题意判断焦点在x轴还是y轴上,还是都有可能.
(2)设方程.依据判断设方程,特别地,如果中心在原点,焦点位置不明确时方程可设
为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
(3)找关系.由条件找关系,建立方程组.
(4)求解.解方程组,代入所设方程即可.
1 椭圆的标准方程的求解
3.两种特殊方程的设法
(1)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程可设为 + =k1(k1>0,a>
b>0)或 + =k2(k2>0,a>b>0).
(2)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程可设为 + =1(k 典例　求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)过点( ,- ),且与椭圆 + =1有相同的焦点;
(2)焦点在坐标轴上,且经过两点(2,- ), .
解析 (1)解法一:因为所求椭圆与椭圆 + =1的焦点相同,所以所求椭圆的焦
点在y轴上,且c2=25-9=16.
设所求椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0).
因为c2=16,且c2=a2-b2,所以a2-b2=16.①
因为点( ,- )在椭圆上,
所以 + =1,即 + =1.②
由①②得b2=4,a2=20,
所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
解法二:设所求椭圆的方程为 + =1(λ>-9),
因为点( ,- )在椭圆上,所以 + =1,化简得λ2+26λ+105=0,解得λ=-5或λ=
-21(舍去).
所以所求椭圆的方程为 + =1.
(2)解法一:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0).
由已知条件得 所以
所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0).
由已知条件得 解得
则a2b>0矛盾,舍去.
综上,所求椭圆的标准方程为 + =1.
解法二:设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
由已知条件得 解得
所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
1.椭圆上异于长轴端点的点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三
角形.解关于椭圆的焦点三角形问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、
余弦定理等知识求解.
2 椭圆的焦点三角形问题
2.焦点三角形的常用结论
(1)焦点三角形的周长C=2a+2c.
(2)设P(xP,yP),焦点三角形的面积 =c|yP|= |PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan .
(3)设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则e= .
典例　设P是椭圆 + =1上异于长轴端点的一动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,
求cos∠F1PF2的最小值.
思路点拨　将cos∠F1PF2用|PF1|,|PF2|表示出来 利用基本不等式求最值.
解析 由题意得a=3,b=2,c= ,因此|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=2 ,
所以cos∠F1PF2=
= = -1.
因为|PF1|·|PF2|≤ =9,当且仅当|PF1|=|PF2|=3时取等号,
所以cos∠F1PF2≥ -1=- ,
所以cos∠F1PF2的最小值为- .
1.当a,c易求时,直接代入e= 求解;当b,c易求时,利用e= 求解;当a,b易求时,
利用e= 求解.
2.若a,c的值不可求,则可列出只含a,c的齐次方程(不等式),列式时常用公式b=
代替式子中的b,然后将等式(不等式)两边同时除以a的最高次幂,得到关
于e的方程(不等式)求解即可.此时要注意03 求椭圆的离心率
典例　已知椭圆 + =1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上存在
点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为　　　 .
思路点拨　由条件列出关于a,c的不等式,将其转化为关于e的不等式,结合e∈(0,
1)求解.
解析 连接OP(O为坐标原点).由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c
≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤ c,所以e= ≥ ,因为01.求相交弦的长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点间距离公式求弦长.
(2)当直线斜率存在时,利用弦长公式求弦长.
2.与椭圆中点弦有关问题的三种题型及解法
(1)利用根与系数的关系求中点坐标:联立直线和椭圆方程,消去x(y)得到关于y(x)
的一元二次方程,利用根与系数的关系以及中点坐标公式求解.
(2)利用点差法求直线斜率或方程.其步骤为:
①设点.设出弦的两端点坐标.
②代入.将端点坐标代入曲线方程.
4 直线与椭圆的相交弦问题
③作差.两式相减,利用平方差公式把式子展开.
④整理.转化为中点坐标和斜率的关系式求解.
(3)利用共线法求直线方程:设椭圆 + =1(a>0,b>0)与直线的一个交点为A(x,y),
另一个交点为B,如果弦AB的中点为P(x0,y0),则利用中点坐标公式可得B(2x0-x,2y0
-y),则有 + =1, + =1,两式作差即可得所求直线方程.
这三种方法中“点差法”最常用,“点差法”体现了“设而不求,整体代入”的
解题思想;“点差法”还可用于解决对称问题,因为此类问题一般也与弦的中点
和直线斜率有关.
典例　已知椭圆 + =1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.
(1)当直线l的斜率为 时,求线段AB的长度;
(2)当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程.
思路点拨 (1)求出直线方程 联立,得方程组 得交点坐标 求得弦长.
(2)设A,B的坐标 利用“点差法”求出kAB 得出直线l的方程.

解析 (1)由已知可得直线l的方程为y-2= (x-4),即y= x.
由 得 或
不妨令A ,B ,
所以|AB|=
=3 .
所以线段AB的长度为3 .
(2)由题意知直线l的斜率存在.
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,
则有
两式相减,得 + =0,
整理,得kAB= =- .
又P(4,2)是线段AB的中点,
所以x1+x2=8,y1+y2=4,
于是kAB=- =- ,
于是直线l的方程为y-2=- (x-4),
即y=- x+4.
1.解决与椭圆有关的最大(小)值问题的常用方法
(1)定义法:利用定义转化为常见问题来处理.
(2)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性
质来解决,解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助
相应曲线的定义及对称知识求解.
(3)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可先建立目标函数,再
根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判
别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
2.与椭圆有关的定值、定点问题
(1)解决定点问题,需要注意两个方面:
　　一是抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以先从斜率不存在
5 与椭圆有关的最值、定值及定点问题
或斜率为0的特殊情况入手找出定点,为解题指明方向.
　　二是抓“参数之间的关系”,定点问题多是直线过定点,实质就是求解直线
方程中参数之间的关系,熟悉直线方程的特殊形式是关键.
(2)解决定值问题的常用方法:
①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
典例1　已知椭圆 + =1的上焦点为F,M是椭圆上一点,点A(2 ,0),当点M在
椭圆上运动时,|MA|+|MF|的最大值为　10　　 .
解析 由题意得a=3,b= ,
∴c= =2.
如图所示,设椭圆的下焦点为F',
则F'(0,-2).连接MF',AF'.
∵|MF|+|MF'|=2a=6,即|MF|=6-|MF'|,
∴|MA|+|MF|=|MA|-|MF'|+6,
又∵|MA|-|MF'|≤|AF'|= =4,当且仅当A,F',M共线且F'在线段AM上时,等
号成立,
∴|MA|+|MF|的最大值为4+6=10.
典例2　已知椭圆E: + =1(a>b>0)经过点 ,离心率为 .
(1)求E的方程;
(2)若点P是椭圆E的左顶点,直线l交E于A,B两点(异于点P),直线PA和PB的斜率之
积为- .
①证明:直线l恒过定点;
②求△PAB面积的最大值.
解析 (1)由题意得 所以
所以E的方程为 + =1.
(2)①证明:由题意知P(-2,0).
当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1,x2≠-2,l:y=kx+m,
由
消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
则x1+x2= ,x1x2= ,
则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= .
因为kPA·kPB= · =- ,
所以(x1+2)(x2+2)+4y1y2=0,且x1,x2≠-2,
则x1x2+2(x1+x2)+4+4y1y2=0,
所以 + +4+ =0,整理得m2-km-2k2=0,
所以(m-2k)(m+k)=0,得m=2k或m=-k.
当m=2k时,直线l的方程为y=kx+2k=k(x+2),此时直线l恒过定点(-2,0),显然不符合题
意;
当m=-k时,直线l的方程为y=kx-k=k(x-1),此时直线l恒过定点(1,0).
当直线l的斜率不存在时,设l:x=t(-2分别为 , ,
由kPA·kPB=- ,得 · =- ,解得t=1或t=-2(舍去),此时直线l的方程为x
=1,过点(1,0).
综上,直线l恒过定点(1,0).
②当直线l的斜率存在时,由①知x1+x2= ,x1x2= ,
因为|AB|= ·
= ·
= ,
点P(-2,0)到直线l:y=kx-k的距离d= ,
所以S△PAB= × × = =18 .
令u=4k2+3,则u>3,k2= ,
所以S△PAB= =
= ,
由u>3得0< < ,
所以0< < ,
即S△PAB∈ .
当直线l的斜率不存在时,由①知直线l:x=1.此时|AB|=3,
所以S△PAB= ×3×3= .
综上所述,△PAB面积的最大值为 .

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